قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویه ۳۰ درجه نصف وتر است. (چرا؟)
در مثلث \(ABC\)، فرض کنیم که \(\widehat{A}=90^\circ\)، \(\widehat{B}=60^\circ\)، و \(\widehat{C}=30^\circ\).
می‌خواهیم ثابت کنیم که طول \(AB\) نصف طول \(BC\) است.
ضلع \(AB\) را از طرف \(A\) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(D\) به‌دست آید.
دو مثلث \(ABC\) و \(ADC\) در حالت ض‌زض همنهشت هستند، زیرا:
\(\bullet\) \(AC\) ضلع مشترک است.
\(\bullet\) \(AB=AD\).
\(\bullet\) \(C\widehat{A}B=C\widehat{A}D=90^\circ\).
از همنهشتی این دو مثلث نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&\widehat{D}=\widehat{B}=60^\circ\\&D\widehat{C}A=B\widehat{C}A=30^\circ.\end{aligned}\]
پس هر سه زاویهٔ مثلث \(BCD\) برابر \(60\) درجه است. بنابراین، مثلث \(BCD\) متساوی‌الاضلاع است. پس داریم:
\[\left.\begin{aligned}BC&=BD\\AB&=\frac{1}{2}BD\end{aligned}\right\}\Rightarrow AB=\frac{1}{2}BC.\]
یعنی در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه ۳۰ درجه نصف وتر است.
نتیجهٔ قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه، و اندازهٔ وتر برابر \(a\) باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویهٔ \(60\) درجه برابر است با \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\). (چرا؟)
بنابه قضیهٔ مثلث 90، 60، 30، ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) درجه برابر است با \(\frac{1}{2}a\). پس، اگر اندازهٔ ضلع مقابل به زاویهٔ \(60\) درجه را \(x\) در نظر بگیریم، آن‌وقت بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&x^2=a^2-\big(\frac{1}{2}a\big)^2\\&\Rightarrow x^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\&\Rightarrow x^2=\frac{3}{4}a^2\\&\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}a.\end{aligned}\]
عکس قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از ضلع‌های قائمه، نصف وتر باشد، آن‌وقت زاویهٔ روبه‌رو به آن ضلع قائمه برابر \(30\) درجه است. (چرا؟)
در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(ABC\)، فرض می‌کنیم که \(\widehat{A}=90^\circ\) و طول \(BC\) دو برابر طول \(AB\) باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم که \(B\widehat{C}A=30^\circ\).
ضلع \(AB\) را از طرف \(A\) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(D\) به‌دست آید.
دو مثلث \(ABC\) و \(ADC\) در حالت ض‌زض همنهشت هستند، زیرا:
\(\bullet\) \(AC\) ضلع مشترک است.
\(\bullet\) \(AB=AD\).
\(\bullet\) \(C\widehat{A}B=C\widehat{A}D=90^\circ\).
از همنهشتی این دو مثلث نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}BC&=CD\quad(1)\\B\widehat{C}A&=D\widehat{C}A\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطهٔ \((1)\) و اینکه \(BC=BD\)(؟)، نتیجه می‌شود که مثلث \(BCD\) متساوی‌الاضلاع است. پس اندازهٔ هریک از زاویه‌های مثلث \(BCD\) برابر \(60\) درجه است. بنابراین، با توجه به رابطهٔ \((2)\) داریم:
\[\left.\begin{aligned}B\widehat{C}D&=60^\circ\\B\widehat{C}A&=D\widehat{C}A\end{aligned}\right\}\Rightarrow B\widehat{C}A=30^\circ.\]
سلام. ضلع رو به روی ۲۰ درجه در مثلث قائم الزاویه نیز رابطه‌ای دارد؟
سلام
قطعاً برای همهٔ زاویه‌ها رابطه‌ای وجود دارد؛ ولی نه به‌سادگی ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) یا \(60\) درجه.
سلام این قضیه در واقع اثباتی هست برای اینکه چرا سینوس 90 = 1 سینوس 30 = یک دوم ( 0.5 ) و سینوس 60= رادیکال 3 تقسیم بر دو
درسته؟!
سلام
شما تاوقتی که دایرهٔ مثلثاتی را به‌طور دقیق نیاموخته باشید، حرف زدن از سینوس و کسینوس و … برایتان سم است! لطفاً به خودتان رحم کنید!
خیلی خیلی منون
عالی بود
مفید و مختصر?
عالی بود
بااینکه کوتاه بود ولی منظور اصلی رو رسوند و خیلی به دردم خورد.
ممنون از سایت خوبتون.❤❤❤❤❤❤❤❤❤
ممنون واقعا خیلی به دردم خورد