قضیهٔ میانه-مساحت و عکس آن

قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.

اثبات. در مثلث \(ABC\)، میانهٔ \(AM\) و ارتفاع \(AH\) را رسم می‌کنیم.

چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=CM\). بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}S_{ABM}&=\frac{1}{2}AH\times BM\\[7pt]&=\frac{1}{2}AH\times CM\\[7pt]&=S_{ACM}.\end{aligned}\]
یعنی \(AM\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABM\) و \(ACM\) تقسیم کرده است.

عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.

اثبات. فرض کنید \(AD\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABD\) و \(ACD\) تقسیم کرده باشد.

اگر \(AH\) ارتفاع مثلث \(ABC\) باشد، آن‌وقت داریم: \[\begin{aligned}&S_{ABD}=S_{ACD}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}AH\times BD=\frac{1}{2}AH\times CD\\[7pt]&\Rightarrow BD=CD.\end{aligned}\]
یعنی \(AD\) میانهٔ مثلث \(ABC\) است.