قضیه دوجمله‌ای

اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد، آنگاه:
$$\begin{aligned}(x+y)^n&=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\dots+\binom{n}{n}y^n\\&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^n.\end{aligned}$$

چند مثال.
$$\begin{aligned}(x+y)^1&=x+y,\\(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2,\\(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3,\\(x+y)^5&=\binom{5}{0}x^5+\binom{5}{1}x^4y+\binom{5}{2}x^3y^2+\binom{5}{3}x^2y^3+\binom{5}{4}xy^4+\binom{5}{5}y^5\\&=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5.\end{aligned}$$

اثبات.
$$(x+y)^n=\underbrace{(x+y)(x+y)\dots(x+y)}_{تاn}.$$
هر جمله از این حاصل‌ضرب به فرم $x^ay^b$ است. در ضمن چون تعداد پرانتزهای برابر $n$ است، بنابراین، $a+b=n$ یعنی هر جمله از حاصل‌ضرب $n$ پرانتز به فرم $x^{n-k}y^k$ است.
برای اینکه ضریب $x^{n-k}y^k$ را بیابیم باید ببینیم این جمله چندبار در حاصل‌ضربِ
$$\underbrace{(x+y)(x+y)\dots(x+y)}_{تاn}$$ ظاهر می‌شود. برای تولید جمله $x^{n-k}y^k$ باید از $k$ پرانتز $y$ را انتخاب کنیم و از بقیه $n-k$ پرانتز $x$ را انتخاب کنیم به $\binom{n}{k}$ طریق می‌توانیم پرانتزهایی را که از آنها $y$ باید انتخاب شود مشخص کنیم، بنابراین $x^{n-k}y^k$، $\binom{n}{k}$بار تولید می‌شود. بنابراین:
$$\begin{aligned}(x+y)^n&=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\dots+\binom{n}{n}y^n\\&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^n.\end{aligned}$$