قضیه دوجمله‌ای

اگر \(n\) یک عدد طبیعی باشد، آنگاه:
\[\begin{aligned}(x+y)^n&=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\dots+\binom{n}{n}y^n\\&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^n.\end{aligned}\]

چند مثال.
\[\begin{aligned}(x+y)^1&=x+y,\\(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2,\\(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3,\\(x+y)^5&=\binom{5}{0}x^5+\binom{5}{1}x^4y+\binom{5}{2}x^3y^2+\binom{5}{3}x^2y^3+\binom{5}{4}xy^4+\binom{5}{5}y^5\\&=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5.\end{aligned}\]

اثبات.
\[(x+y)^n=\underbrace{(x+y)(x+y)\dots(x+y)}_{تاn}.\]
هر جمله از این حاصل‌ضرب به فرم \(x^ay^b\) است. در ضمن چون تعداد پرانتزهای برابر \(n\) است، بنابراین، \(a+b=n\) یعنی هر جمله از حاصل‌ضرب \(n\) پرانتز به فرم \(x^{n-k}y^k\) است.
برای اینکه ضریب \(x^{n-k}y^k\) را بیابیم باید ببینیم این جمله چندبار در حاصل‌ضربِ
\[\underbrace{(x+y)(x+y)\dots(x+y)}_{تاn}\] ظاهر می‌شود. برای تولید جمله \(x^{n-k}y^k\) باید از \(k\) پرانتز \(y\) را انتخاب کنیم و از بقیه \(n-k\) پرانتز \(x\) را انتخاب کنیم به \(\binom{n}{k}\) طریق می‌توانیم پرانتزهایی را که از آنها \(y\) باید انتخاب شود مشخص کنیم، بنابراین \(x^{n-k}y^k\)، \(\binom{n}{k}\)بار تولید می‌شود. بنابراین:
\[\begin{aligned}(x+y)^n&=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\dots+\binom{n}{n}y^n\\&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^n.\end{aligned}\]