قضیهٔ همرسی میانه‌ها

قضیه همرسی میانه ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.

اثبات. فرض کنید در مثلث \(ABC\)، دو میانهٔ \(AM\) و \(BN\) یکدیگر را در نقطهٔ \(G\) قطع کرده باشند. پاره‌خط \(CG\) را رسم ‌می‌کنیم و آن را از طرف \(G\) امتداد می‌دهیم تا ضلع \(AB\) را در نقطهٔ \(K\) قطع کند. اگر نشان دهیم که \(K\) وسط \(AB\) است، آن‌وقت ثابت کرده‌ایم که سه میانهٔ \(AM\)، \(BN\)، و \(CK\) در نقطهٔ \(G\) همرسند.

با استفاده از قضیهٔ میانه-مساحت، می‌توان ثابت کرد: \[S_{ABG}=S_{ACG}.\quad(1)\] (چگونه؟)

با استفاده از قضیهٔ میانه-مساحت، می‌توان ثابت کرد: \[S_{ABG}=S_{BCG}.\quad(2)\] (چگونه؟)

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[S_{ACG}=S_{BCG}.\quad(3)\]
حال،‌ از نقطهٔ \(A\) و \(B\) عمود‌هایی بر \(CK\) رسم می‌کنیم و پای این عمودها را به‌ترتیب \(E\) و \(F\) می‌نامیم.

از رابطهٔ \((3)\) نتیجه می‌شود: \[AE=BF.\quad(4)\] (چرا؟)

بنابه رابطهٔ \((3)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S_{ACG}=S_{BCG}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}AE\times CG=\frac{1}{2}BF\times CG\\[7pt]&\Rightarrow AE=BF.\end{aligned}\]

از رابطهٔ \((4)\) نتیجه می‌شود که دو مثلث \(AGK\) و \(BGK\) هم‌مساحت هستند. (چرا؟)

چون \(GK\) مثلث \(ABG\) را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کرده است، پس بنابه عکس قضیهٔ میانه-مساحت، داریم: \[AK=BK.\] یعنی \(CK\) میانهٔ وارد بر ضلع \(AB\) است. و در نتیجه، قضیه همرسی میانه ها ثابت شد.

پرسش. در شکل بالا، \(AE\) داخل مثلث و \(BF\) خارج مثلث است. از ارتفاع‌های \(AE\) و \(BF\)، همواره یکی باید داخل مثلث باشد و دیگر خارج از مثلث. چرا؟

نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد می‌شود.

اثبات. در شکل زیر، \(S_{BGM}=S_{CGM}\) ،\(S_{CGN}=S_{AGN}\)، و \(S_{AGK}=S_{BGK}\).

(چرا؟)

برای سادگی، قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}S_{BGM}&=S_{CGM}=S_1\\S_{CGN}&=S_{AGN}=S_2\\S_{AGK}&=S_{BGK}=S_3.\end{aligned}\]

همان‌طور که در رابطهٔ \((1)\) دیدید (در اثبات قضیهٔ همرسی میانه‌ها)، \(S_{ABG}=S_{ACG}\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&S_{ABG}=S_{ACG}\\&\Rightarrow S_3+S_3=S_2+S_2\\&\Rightarrow S_3=S_2.\quad{\rm (I)}\end{aligned}\]
همچنین، با استفاده از رابطهٔ \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S_{ABG}=S_{BCG}\\&\Rightarrow S_3+S_3=S_1+S_1\\&\Rightarrow S_3=S_1.\quad{\rm (II)}\end{aligned}\]
حال از رابطه‌های \({\rm (I)}\) و \({\rm (II)}\) نتیجه می‌شود:
\[S_1=S_2=S_3.\]