نهم. فصل ۳. قضیهٔ کمان و وتر

قضیه کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.

---

فرض. در یک دایره دو وتر، مانند $AB$ و $CD$ برابرند.

حکم. در این دایره، کمان‌های $AB$ و $CD$ برابرند.

در عکس قضیه، جای فرض و حکم عوض می‌شود.

---

اثبات قضیه کمان و وتر. دایره‌ای به مرکز $O$ را در نظر بگیرید. فرض کنیم دو وتر $AB$ و $CD$ برابرند. می‌خواهیم ثابت کنیم که کمان‌های $AB$ و $CD$ نیز برابرند.

دو مثلث $AOB$ و $COD$ در حالت ض‌ض‌ض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث $AOB$ و $COD$ نتیجه می‌شود که زاویه‌های $AOB$ و $COD$ برابرند و چون این دو زاویه، زاویه‌های مرکزی هستند پس کمان‌های روبه‌رو به آنها نیز برابرند.

---

اثبات عکس قضیهٔ کمان و وتر. دایره‌ای به مرکز $O$ را در نظر بگیرید. فرض کنیم دو کمان $AB$ و $CD$ برابرند.

چون زاویه‌های $AOB$ و $COD$ زاویه‌های مرکزی و روبه‌رو به کمان‌های برابر هستند، پس:
$$A\widehat{O}B=C\widehat{O}D.\quad(*)$$
در نتیجه، دو مثلث $AOB$ و $COD$ در حالت ض‌زض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث $AOB$ و $COD$ نتیجه می‌شود که $AB=CD$.