نهم. فصل ۳. قضیهٔ کمان و وتر

قضیه کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.

---

فرض. در یک دایره دو وتر، مانند \(AB\) و \(CD\) برابرند.

حکم. در این دایره، کمان‌های \(AB\) و \(CD\) برابرند.

در عکس قضیه، جای فرض و حکم عوض می‌شود.

---

اثبات قضیه کمان و وتر. دایره‌ای به مرکز \(O\) را در نظر بگیرید. فرض کنیم دو وتر \(AB\) و \(CD\) برابرند. می‌خواهیم ثابت کنیم که کمان‌های \(AB\) و \(CD\) نیز برابرند.

دو مثلث \(AOB\) و \(COD\) در حالت ض‌ض‌ض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(AOB\) و \(COD\) نتیجه می‌شود که زاویه‌های \(AOB\) و \(COD\) برابرند و چون این دو زاویه، زاویه‌های مرکزی هستند پس کمان‌های روبه‌رو به آنها نیز برابرند.

---

اثبات عکس قضیهٔ کمان و وتر. دایره‌ای به مرکز \(O\) را در نظر بگیرید. فرض کنیم دو کمان \(AB\) و \(CD\) برابرند.

چون زاویه‌های \(AOB\) و \(COD\) زاویه‌های مرکزی و روبه‌رو به کمان‌های برابر هستند، پس:
\[A\widehat{O}B=C\widehat{O}D.\quad(*)\]
در نتیجه، دو مثلث \(AOB\) و \(COD\) در حالت ض‌زض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(AOB\) و \(COD\) نتیجه می‌شود که \(AB=CD\).