مرحلهٔ بتا - ریاضیات تکمیلی

تمرین ۱. در شکل زیر، برای رسم نیم‌ساز زاویهٔ \(A\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع دلخواه رسم شده است تا ضلع‌های زاویهٔ‌ \(A\) را در نقاط \(B\) و \(C\) قطع کند. سپس، دایره‌ٔ دوم به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\) رسم شده، و دایرهٔ سوم به مرکز \(C\) و شعاع \(CA\) رسم شده است. دایرهٔ دوم و سوم یکدیگر را در نقاط \(A\) و \(D\) قطع کرده‌اند. ثابت کنید که \(AD\) نیمساز زاویهٔ‌ \(BAC\) است.

در مسئلهٔ ۲ مرحلهٔ بتا باید با دو روش مسئله را حل کنیم.
روش اول: با 2L. برای پیدا کردن محل برخورد نیمسازهای مثلث، کافی است با استفاده از ابزار نیمساز، نیمساز دو زاویه از مثلث داده شده را رسم کنیم. محل برخورد این دو نیمساز، نقطهٔ مورد نظر است.
روش دوم: با 6E. این کار را با رسم چهار دایره و دو خط انجام می‌دهیم. در ادامه توضیحات مفصلی برای این راه‌حل آمده است.

مثلث داده شده را \(ABC\) می‌نامیم.

برای رسم نیمساز زاویهٔ \(A\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AB\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(AC\) را \(P\) می‌نامیم.

حال دو دایره رسم می‌کنیم: دایرهٔ اول به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\)، و دایرهٔ دوم به مرکز \(P\) و شعاع \(PA\). این دو دایره یکدیگر را در نقاط \(A\) و \(X\) قطع می‌کنند. پس با توجه به تمرین ۱، \(AX\) نیم‌ساز زاویه‌ٔ \(BAC\) است. (شکلش چه‌جوری می‌شه؟!)

پاسخ را نشان بده!

اکنون می‌خواهیم نیمساز زاویهٔ \(B\) را رسم کنیم.

برای رسم نیمساز زاویهٔ \(B\)، ابتدا دایره‌ای به مرکز \(B\) و شعاع \(BA\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(BC\) را \(Q\) می‌نامیم. (توجه کنید که این دایره را قبلاً رسم کرده‌ایم.)

حال دو دایره رسم می‌کنیم: دایرهٔ اول به مرکز \(A\) و شعاع \(AB\) (این دایره را قبلاً رسم کرده‌ایم)، و دایرهٔ دوم به مرکز \(Q\) و شعاع \(QB\). این دو دایره یکدیگر را در نقاط \(B\) و \(Y\) قطع می‌کنند. پس با توجه به تمرین ۱، \(BY\) نیم‌ساز زاویه‌ٔ \(ABC\) است. (شکلش چه‌جوری می‌شه؟!)

پاسخ را نشان بده!