مسئلهٔ ازدواج

مسئلهٔ ازدواج یکی از مسائل بسیار معروف احتمالات است. در زیر، صورت این مسئله را از کتاب فنون مسئله حل کردن آورده‌ایم.

مسئلهٔ ازدواج. مرد جوانی می‌خواهد ازدواج کند. او تصمیم می‌گیرد به خواستگاری حداکثر $100$ دختر خانم برود. او پس از آشنا شدن با هر دختر تصمیم می‌گیرد که با او ازدواج کند یا به خواستگاری دختر دیگری برود. هربار که دختری را نپذیرد دیگر نمی‌تواند دوباره از آن دختر خواستگاری کند. نهایتاً او باید فقط یک دختر را انتخاب و با او ازدواج کند.

نکتهٔ جالب این مسئله این است که مرد جوان می‌تواند به گذشته بنگرد ولی هیچ اطلاعی از آینده ندارد. او هر لحظه می‌تواند بگوید «دختری که اکنون از او خواستگاری کرده‌ام زیباتر و سازگارتر از همهٔ دختران قبلی است». بر این‌ اساس ممکن است تصمیم بگیرد که با این دختر ازدواج کند. یا ممکن است فکر کند که «این دختر عالی است ولی دل به دریا می‌زنم و به امید اینکه به‌زودی همسر بهتری پیدا می‌کنم با او ازدواج نمی‌کنم».

«مسئلهٔ ازدواج» تعیین بهترین راه‌کار برای این مرد جوان است.

استیون ج. کرانتس، فنون مسئله حل کردن، ترجمهٔ مهران اخباریفر، انتشارات فاطمی، صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰.

در ویدئوی زیر، مسئلهٔ ازدواج به شکل دیگری مطرح و حل می‌شود.

در کتاب فنون مسئله حل کردن، مسئلهٔ ازدواج با صورت دیگری نیز آمده است.

در کلاهی $100$ نوار کاغذی ریخته‌ایم و روی هر نوار عددی طبیعی نوشته‌ایم (توجه کنید که عددهای رو نوارها فقط عددهای از $1$ تا $100$ نیستند، بلکه هر عدد طبیعی ممکن است روی نوارها نوشته شده باشد). عددها لزوماً ترتیب یا الگوی مشخصی ندارند. روی هیچ دو نواری یک عدد نوشته نشده است، و بنابراین نواری هست که عدد روی آن بزرگترین عدد است.

شخصی که هیچ اطلاع قبلی از اینکه چه عددهایی روی نوارها نوشته‌ایم ندارد (ولی می‌داند که $100$ نوار در کلاه هست) با چشمان بسته نوارها را یکی‌یکی از کلاه بیرون می‌آورد. او هر بار عدد روی نوار را نگاه می‌کند و تصمیم می‌گیرد که بازی را تمام کند و به‌اندازهٔ عدد روی نوار پول بگیرد یا اینکه به بازی ادامه دهد و نوار دیگری را بیرون آورد.

توجه کنید که بازیکن هر نوار را نگاه می‌کند و سپس تصمیم می‌گیرد که بازی را تمام کند یا ادامه دهد. او می‌تواند به پیش برود ولی نمی‌تواند به عقب برگردد. اگر تا وقتی که $100$اُمین نوار را بیرون می‌آورد انتخابی نکرده باشد اجباراً باید عدد روی $100$اُمین نوار را بپذیرد و به‌اندازهٔ آن پول بگیرد.

بهترین راه‌کار برای بازیکن چیست؟ (در اینجا «بهترین راه‌کار» یعنی اینکه بازیکن بیشترین پول ممکن را بگیرد.)