۱۶. با توجه به مجموعه‌های زیر، تعیین کنید که حاصل \(\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}\) کدام است؟
\[\begin{aligned}A&=\{3k+2\mid k\in\mathbb{N},1\leq k\leq100\}\\B&=\{5k\mid k\in\mathbb{Z},-100<k\leq100\}.\end{aligned}\]
۱) \(\frac{100}{201}\)
۲) \(\frac{1}{10}\)
۳) \(\frac{20}{201}\)
۴) \(\frac{5}{101}\)
۱۷. چندتا از گزاره‌های زیر درست است؟
\(\bullet\) هر عدد اعشاری غیر مختوم، یک عدد گنگ است.
\(\bullet\) حاصل‌جمع دو عدد گنگ مثبت، ممکن است گنگ نباشد.
\(\bullet\) مساحت مستطیلی به ابعاد \(\sqrt{a}\) و \(\sqrt{b}\)، همواره عددی اصم است.
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) صفر
۱۸. چند زیرمجموعه از مجموعهٔ \(A=\{a,b,c,d,e,f\}\) می‌توان نوشت که حداقل در \(2\) عضو مشترک باشند؟
۱) \(24\)
۲) \(23\)
۳) \(22\)
۴) \(21\)
۱۹. تفاضل صورت و مخرج کسر متعارفی مولد \(1.2\overline{3}\)، حتماً مضرب کدام‌یک از اعداد زیر است؟
۱) \(7\)
۲) \(2\)
۳) \(5\)
۴) \(9\)
۲۰. اگر نامساوی‌های زیر معادل یکدیگر باشند، مقدار \(A+B\) چیست؟
\[\big|2x-3\big| < 1,\; A < 5x+4 < B\]
۱) \(14\)
۲) \(8\)
۳) \(23\)
۴) \(6\)
۲۱. مجموعهٔ \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) را یک «مجموعهٔ جذاب» می‌نامیم در صورتی‌که سه شرط زیر را دارا باشد:
شرط اول: \(A\subseteq\mathbb{N}\)
شرط دوم: اعضای مجموعهٔ \(A\)، از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
شرط سوم: به‌ازای هر دو عضو متوالی آن مانند \(a_i\) و \(a_{i+1}\) داشته باشیم: \(\big(a_i,a_{i+1}\big)=1\).
چندتا از مجموعه‌های زیر جذاب هستند؟
\[\begin{aligned}&\bullet\;\big\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\end{aligned}\]
۱) \(3\)
۲) \(2\)
۳) \(1\)
۴) صفر
۲۲. اگر \(A=\Big[{m\atop n}\Big]\) محل برخورد دو خط \(d_1:y=-3x-2\) و \(d_2:\frac{y}{4}-2=\frac{x}{2}\) و \(O\) مبدأ مختصات باشد، کدام گزینه برابر است با محیط مثلث \(OAB\) که در آن \(B=\Big[{0\atop n}\Big]\)؟
۱) \(4+2\sqrt{5}\)
۲) \(4\sqrt{5}\)
۳) \(2+2\sqrt{5}\)
۴) \(6+2\sqrt{5}\)
۲۳. چند عدد صحیح می‌توان به‌جای \(m\) در نابرابری زیر قرار داد؟
\[0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)
۲۴. قرینهٔ معکوس عبارت \(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{147}+\sqrt{48}}{-3\sqrt{3}}\) چیست؟
۱) \(-3^{-1}\)
۲) \(-3\)
۳) \(-\sqrt{3}\)
۴) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
۲۵. خط \(d\) از نقطهٔ \(M=\Big[{-3\atop4}\Big]\) می‌گذرد و محور عرض‌ها را در نقطهٔ \(-1\) قطع می‌کند. کدام‌یک از خط‌های زیر با خط \(d\) موازی است؟
۱) \(3y=-5x+6\)
۲) \(y=3x-1\)
۳) \(y=\frac{3}{5}x-1\)
۴) \(3x-5y=1\)
۲۶. کدام دستگاه بی‌شمار جواب دارد؟
۱) \(\left\{\begin{aligned}&2x-7=y\\&3y-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}x\end{aligned}\right.\)
۲) \(\left\{\begin{aligned}&5-2y=3x\\&4y+6x=10\end{aligned}\right.\)
۳) \(\left\{\begin{aligned}&x-2y=4\\&-\frac{1}{3}y=\frac{-1}{6}x+\frac{2}{5}\end{aligned}\right.\)
۴) \(\left\{\begin{aligned}&\frac{y}{2}+3x=5\\&2y=3-6x\end{aligned}\right.\)
۲۷. حاصل عبارت \(2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\) به‌ازای \(x=2-\sqrt{5}\) کدام است؟
۱) \(7-2\sqrt{5}\)
۲) صفر
۳) \(-2\sqrt{5}+9\)
۴) \(5\)
۲۸. اگر \(m\ne3n\)، آن‌وقت مقدار \(x\) در معادلهٔ زیر چیست؟
\[m(x+2)-3nx-6n=0.\]
۱) \(+2\)
۲) \(-2\)
۳) \(+1\)
۴) \(-1\)
۲۹. اگر داشته باشیم \(2\sqrt[3]{A}=\dfrac{2}{3}\)، مقدار \(3\sqrt{A}\) کدام است؟
۱) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
۲) \(\frac{\sqrt{3}}{9}\)
۳) \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
۴) \(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)
۳۰. محیط مستطیلی \(36\) متر است. اگر قطر آن را \(d\) بنامیم، مساحت مستطیل برابر است با:
۱) \(324-d^2\)
۲) \(36-\sqrt{d}\)
۳) \(324-2\sqrt{d}\)
۴) \(162-\frac{d^2}{2}\)
۳۱. درجهٔ باقی‌ماندهٔ تقسیم \(2a^2-b^2a+2ab-b^3-3\) بر \(a+b\) نسبت به \(a\) چیست؟
۱) \(1\)
۲) صفر
۳) \(2\)
۴) \(3\)
۳۲. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک سه عبارت \(x^2-4y^2\)، \(x^2+4xy+4y^2\)، و \(x^2-xy-6y^2\) کدام است؟
۱) \(x-2y\)
۲) \(x^2\)
۳) \(x+2y\)
۴) \(y^2\)
۳۳. در شکل زیر، \(MN\parallel BC\) و \(\widehat{A}=90^\circ\).
طول‌های \(MN\)، \(BM\)، و \(BN\) به‌ترتیب عبارتند از:
۱) \(5\)، \(6\)، و \(\sqrt{97}\)
۲) \(5\)، \(6\)، و \(\sqrt{153}\)
۳) \(10\)، \(3\)، و \(\sqrt{97}\)
۴) \(10\)، \(9\)، و \(\sqrt{153}\)
۳۴. مریم ارقام \(1\) تا \(9\) را روی نُه کارت نوشته و در کیسه‌ای می‌اندازد. سپس، \(4\) کارت از آن خارج می‌کند و آنها را به‌ترتیب بیرون آمدن کنارهم قرار می‌دهد. احتمال آنکه عدد چهاررقمی به‌دست بیاید که اختلاف رقم‌های یکان و هزارگان آن \(4\) باشد، چقدر است؟
۱) \(\frac{5}{18}\)
۲) \(\frac{5}{36}\)
۳) \(\frac{5}{72}\)
۴) \(\frac{5}{27}\)
۳۵. به‌ازای کدام محدوده برای \(x\)، رابطهٔ زیر تعریف نشده نخواهد بود؟
\[\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{x^2-4}{x}}\]
۱) \(x=0,\;x\ne2\)
۲) \(x=0,\;x\ne-2\)
۳) \(\mathbb{R}-\{-2 < x < 2\}\)
۴) \(x < -3\)
عالی!