مسائل آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (بهمن ۹۴)

۱۶. در شکل زیر، مجموعه‌های \(A_7\)، \(A_9\)، و \(A_{12}\) به‌ترتیب مجموعهٔ مضرب‌های \(7\)، مضرب‌های \(9\)، و مضرب‌های \(12\) هستند. نقطه‌ای که در نمودار نشان داده شده است، نمایانگر کدام‌یک از عددهای زیر می‌تواند باشد؟

۱) \(49\)
۲)‌ \(60\)
۳) \(168\)
۴) \(252\)

پاسخ تشریحی

۱۷. در کدام گزینه، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) نیست؟

پاسخ تشریحی

۱۸. اگر عدد \(5\)، عضو مجموعهٔ \((A\cap B)-C\) باشد، عدد \(5\) عضو کدام مجموعه نیز هست؟
۱) \(A-(B\cup C)\)
۲)‌ \((A-B)\cup C\)
۳)‌ \(A-(B\cap C)\)
۴) \((A-B)\cap C\)

پاسخ تشریحی

۱۹. در مورد مجموعه‌های \(A\)، \(B\)،‌ و \(X\) فقط می‌دانیم که \(A\cap X=B\cap X\). چندتا از موارد زیر قطعاً درست‌اند؟
\[\begin{aligned}&\bullet X-A=X-B\\&\bullet A\cup X=B\cup X\\&\bullet X\subset(A\cap B)\\&\bullet A=B\end{aligned}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۲۰. کدام گزینه نمایش مجموعهٔ \(\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\dots\}\) با نمادهای ریاضی است؟
۱) \(\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{N}\}\)
۲) \(\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{N},b > a\}\)
۳) \(\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{N}, b\geq2\}\)
۴) \(\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{N},b=a+1\}\)

پاسخ تشریحی

۲۱. در کیسه‌ای \(12\) توپ قرمز، \(6\) توپ آبی، و \(6\) توپ سبز داریم که فقط از نظر رنگ متفاوت‌اند. به‌تصادف یک توپ خارج می‌کنیم، بعد از دیدن رنگش آن را داخل کیسه می‌گذاریم و دوباره به‌تصادف یک توپ خارج می‌کنیم. کدام گزینه درست است؟
۱) احتمال اینکه یک توپ آبی باشد و دیگری سبز باشد \(=\) احتمال اینکه هر دو توپ سبز باشند.
۲) احتمال اینکه هر دو توپ قرمز باشند \(>\) احتمال اینکه یک توپ آبی باشد و دیگری سبز باشد.
۳) احتمال اینکه هر دو توپ قرمز باشند \(<\) احتمال اینکه یک توپ آبی باشد و دیگری سبز باشد.
۴) احتمال اینکه هر دو توپ قرمز باشند \(=\) احتمال اینکه یک توپ آبی و دیگری سبز باشد.

پاسخ تشریحی

۲۲. چندتا از اعداد زیر گویا هستند؟
\[\begin{aligned}&\bullet4.5678678678\cdots\\&\bullet\sqrt{6.25}\\&\bullet 3.14\\&\bullet-17\end{aligned}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۲۳. اگر روی محور اعداد، تمام نقاطی که عدد گنگی بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) را نمایش می‌دهند به‌اضافهٔ نقاطی که خود \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) را نمایش می‌دهند، رنگ کنیم، چندتا از جمله‌های زیر درست‌اند؟
\(\bullet\) نقاط رنگ‌شده یک پاره‌خط به‌وجود می‌آورند.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که رنگ‌کرده‌ایم بی‌شمار است.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) هستند و رنگ نشده‌اند، بی‌شمار است.
\(\bullet\) تمام نقاطی که اعدادی با بی‌شمار رقم اعشاری را نمایش می‌دهند، رنگ شده‌اند.
۱)‌ \(1\)
۲) \(2\)
۳)‌ \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۲۴. در عبارت \(|a|+|b|=\sqrt{3}+\sqrt{5}\)، چند جفت عدد می‌توان جای \(a\) و \(b\) قرار داد که تساوی برقرار باشد؟
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) بی‌شمار

پاسخ تشریحی

۲۵. چندتا از اعداد زیر جواب معادلهٔ \(\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\) است؟
\[\begin{aligned}&\bullet\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\bullet\sqrt{2}-\sqrt{3}\\&\bullet\sqrt{3}-\sqrt{2}\\&\bullet-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۲۶. در شکل زیر نقطهٔ \(O\) مرکز دایره است و \(AC\) برابر شعاع دایره است. اگر \(\widehat{C}=15^\circ\)، اندازهٔ زاویه‌ای که با علامت سؤال مشخص شده کدام است؟
۱) \(45^\circ\)
۲)‌ \(50^\circ\)
۳) \(55^\circ\)
۴) \(60^\circ\)

پاسخ تشریحی

۲۷. یک نوار کاغذی را تا می‌کنیم. مثلثی که از روی‌هم افتادن دو لایه نوار ایجاد می‌شود، چه نوع مثلثی است؟

۱) قائم‌الزاویه
۲) متساوی‌الساقین
۳) متساوی‌الاضلاع
۴) نمی‌توان تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

۲۸. در شکل زیر \(ABCD\) و \(AFEC\) مستطیل هستند. اگر عرض \(ABCD\) برابر \(3\) و طول آن برابر \(4\) باشد، مساحت \(AFEC\) کدام است؟
۱) \(10\)
۲) \(12\)
۳) \(14\)
۴) \(5\sqrt{7}\)

پاسخ تشریحی

۲۹. \(ABC\) مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع \(10\) است. از نقطهٔ \(D\) پاره‌خط‌های \(DE\)، \(DF\)، و \(DG\) را موازی اضلاع مثلث رسم کرده‌ایم. حاصل‌جمع طول این سه‌ پاره‌خط کدام است؟

۱)‌ \(10\)
۲) \(7.5\)
۳) \(15\)
۴) \(20\)

پاسخ تشریحی

۳۰. چندتا از جملات زیر درست هستند؟
\(\bullet\) هر دو مربع متشابه هستند.
\(\bullet\) هر دو لوزی متشابه هستند.
\(\bullet\) هر دو مستطیل متشابه هستند.
\(\bullet\) هر دو متوازی‌الاضلاع متشابه هستند.
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۳۱. حاصل چندتا از عبارت‌های زیر مثبت است؟
\[\begin{aligned}&\bullet(-3)^{-4}\\&\bullet(-4)^{-3}\\&\bullet-3^{-4}\\&\bullet4^{-3}\end{aligned}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۳۲. کدام ترتیب برای اعداد زیر درست است؟
\[\begin{aligned}A&=8.75\times10^{-10}\\B&=0.9\times10^{-9}\\C&=0.8\times10^5\\D&=7.43\times10^4\end{aligned}\]
۱) \(D < C < A < B\)
۲) \(C < D < A < B\)
۳) \(B < A < D < C\)
۴) \(A < B < D < C\)

پاسخ تشریحی

۳۳. چندتا از اعداد زیر، جواب معادلهٔ \(x^2=5\) هستند؟
\[\begin{aligned}&\bullet\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\bullet-\sqrt{-5}\\&\bullet-\sqrt{5}\\&\bullet\sqrt{5}\end{aligned}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۳۴. کدام گزینه‌ برای هر مقدار \(a\) درست است؟
۱) \(\sqrt{(-a)^2}=-a\)
۲) \(\sqrt{(-a)^2}=a\)
۳) \(\sqrt[3]{(-a)^3}=-a\)
۴) \(\sqrt[3]{(-a)^3}=a\)

پاسخ تشریحی

۳۵. حاصل عبارت \(\big(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{1024}\big)^3\) برابر است با:
۱) \(-12\)
۲) \((-6)^3\times2\)
۳) \(-1008\)
۴) \((-28)^3\)

پاسخ تشریحی