مسائل آزمون پیشرفت تحصیلی هشتم سمپاد (فروردین ۹۴)

۲۱. $\frac{2}{3}$ عددی از $\frac{1}{5}$ آن $\frac{2}{7}$ بیشتر است. آن عدد کدام است؟
۱) $‎\frac{30}{49}$
۲)$‎30$
۳)$‎\frac{30}{91}$
۴) $-\frac{30}{49}$

پاسخ تشریحی

۲۲. با قرار دادن دو علامت ضرب و دو علامت جمع در جاهای خالی عبارت $5\bigcirc4\bigcirc3\bigcirc2\bigcirc1$، چندتا از اعداد $15$، $30$، $27$، و $29$ می‌تواند حاصل عبارت داده شده باشد؟
۱) یکی
۲) دو تا
۳) سه تا
۴) چهار تا

پاسخ تشریحی

۲۳. چند تا عدد طبیعی وجود دارد که حاصل‌ضرب آن عدد در عدد قبلی‌اش برابر حاصل‌ضرب آن عدد در عدد بعدی‌اش شود؟
۱) هیچی
۲) یکی
۳) ده تا
۴) بی‌شمار

پاسخ تشریحی

۲۴. چند تا چندضلعی منتظم درون هشت‌ضلعی منتظم زیر می‌توان رسم کرد که همهٔ رأس‌های هریک از آنها روی رأس‌هایی از هشت‌ضلعی منتظم زیر باشد؟

۱) یکی
۲) دو تا
۳) سه تا
۴) چهار تا

پاسخ تشریحی

۲۵. عدد $9^9$ را به چه توانی برسانیم تا به عدد $27^{12}$ برسیم؟
۱) \(4\)
۲)‌ \(2\)
۳) \(18\)
۴) \(25\)

پاسخ تشریحی

۲۶. می‌دانیم $x$، $y$ و $z$ سه عدد متفاوت هستند و یکی از آنها $3$، دیگری $4$، و یکی دیگر $5$ است. بیشترین مقدار عبارت $-x^y-\frac{1}{z}$ کدام است؟
۱)$-\frac{3073}{3}$
۲) $-64.2$
۳) $-81.2$
۴) $-36.25$

پاسخ تشریحی

۲۷. روی محور اعداد صحیح چند عدد بین $-1394.1$ و $2015.4$ قرار دارد؟
۱) $3410$
۲) $3409$
۳) $3408$
۴) $-3409$

پاسخ تشریحی

$\bullet$ باتوجه‌به متن زیر به سؤال‌های ۲۸، ۲۹، و ۳۰ پاسخ دهید.

اگر $a$ و $b$ دو عدد باشند، حاصل $a\bot b$ برابر $a-\frac{b}{2}$ می‌شود و حاصل $a\top b$ برابر $\frac{a}{2}-b$ می‌شود. برای مثال:
\[2\bot 4=2-\frac{4}{2}=0,\quad 2\top 4=\frac{2}{2}-4=-3.\]

۲۸. حاصل $x+y$ با کدام‌یک از گزینه‌های زیر برابر نیست؟
۱)$(2x)\top(-y)$
۲) $(x)\bot(-2y)$
۳) $2\big(x\bot(x-y)\big)$
۴) $2\big(x\top(x-y)\big)$

پاسخ تشریحی

۲۹. درباره دو ادعای زیر، چه می‌توان گفت؟
ادعای اول: اگر $a\top b=a\bot b$، آنگاه $a$ و $b$ قرینه یکدیگرند.
ادعای دوم: اگر $a\top b=b\top a$، آنگاه $a$ و $b$ باهم برابرند.
۱) هر دو ادعا درست هستند.
۲) فقط ادعای اول درست است.
۳) فقط ادعای دوم درست است.
۴) هر دو ادعا نادرست هستند.

پاسخ تشریحی

۳۰. با پرانتزگذاری عبارت $2\bot2\top2\bot2$،‌ حاصل حداکثر کدام است؟
۱) $\frac{3}{2}$
۲) $2$
۳) $3$
۴) $\frac{7}{2}$

پاسخ تشریحی

۳۱. یک ماشین‌حساب خراب داریم که نمی‌تواند همزمان بیش از دو عدد را باهم جمع کند و هرگاه حاصل‌جمع اعداد از $9$ بیشتر شود، حاصل‌جمع را $-3$ اعلام می‌کند. به نظر شما با پرانتزگذاری روی عبارت زیر و محاسبه آن، حاصل حداقل چقدر می‌شود؟
\[1+2+1+2+1+2+1+2\]
۱) \(-1\)
۲) \(-2\)
۳) \(-3\)
۴) \(-4\)

پاسخ تشریحی

۳۲. برای چند تا از عبارت‌های زیر، می‌توان مثال آورد؟
\(\bullet\) جذر عددی با خود عدد مساوی باشد.
\(\bullet\) جذر عددی از خود عدد کوچک‌تر باشد.
\(\bullet\) جذر عددی از خود عدد بزرگ‌تر باشد.
\(\bullet\) جذر عددی مثبت نباشد.
۱) یکی
۲) دو تا
۳) سه تا
۴) چهار تا

پاسخ تشریحی

۳۳. اگر یک قطر چهارضلعی $ABCD$، آن را به دو مثلث همنهشت تقسیم کند، آنگاه چند تا از عبارت‌های زیر همواره درست است؟
\(\bullet\) $‌B\widehat{A}D=B\widehat{C}D$
\(\bullet\) $A\widehat{B}D=C\widehat{D}B$
\(\bullet\) $AB=CD$
\(\bullet\) $AB=BC$
۱) هیچی
۲) یکی
۳) دو تا
۴) سه تا

پاسخ تشریحی

۳۴. می‌خواهیم در جدول زیر به‌جای $x$، $y$، و $z$ اعداد طبیعی قرار دهیم به‌طوری‌که شرایط زیر برقرار باشد.
\(\bullet\) حاصل‌ضرب عددهای دو سطر یکسان باشد.
\(\bullet\) در هر سطر اعداد از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.

حاصل $x+y-z$ کدام است؟
۱) $140$
۲) $-36$
۳) $4$
۴) $35$

پاسخ تشریحی

۳۵. الگوی زیر را با دقت ببینید. مریم می‌خواست تعداد چوب‌کبریت‌های شکل $15$ و آزاده می‌خواست تعداد چوب‌کبریت‌های شکل $10$ را حساب کند. کدام گزینه درباره راه‌حل مریم و آزاده درست است؟

راه‌حل مریم:
\[15\times(6\times 15)-(1\times 6)-(2\times6)-(3\times6)-(4\times6)-\dots-(13\times6)\]
راه‌حل آزاده:
\[6+(2\times6+6)+(3\times6+6)+(4\times 6+6)+\cdots+(10\times 6+6)\]
۱) هر دو راه‌حل درست هستند.
۲) فقط راه‌حل مریم درست است.
۳) فقط راه‌حل آزاده درست است.‌
۴) هر دو راه‌حل نادرست هستند.

پاسخ تشریحی

۳۶. نمودار درختی زیر برای تجزیه عدد $a$ رسم شده است. کدام‌یک نمی‌تواند برابر $a$ باشد؟

۱) $64$
۲) $99\times 130$
۳) $36\times 35$
۴) $168$

پاسخ تشریحی

۳۷. بردارهای $\overset{\rightarrow}{a}$، $\overset{\rightarrow}{b}$، و $\overset{\rightarrow}{c}$ به‌صورت زیر هستند. اگر از مبدأ مختصات با بردار انتقال $13\overset{\rightarrow}{a}-20\overset{\rightarrow}{b}+14\overset{\rightarrow}{c}$ حرکت کنیم، مجموع طول و عرض نقطه انتهایی کدام است؟

۱) $-42$
۲) $42$
۳) $56$
۴) $-56$

پاسخ تشریحی

۳۸. اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن چندتا نمی‌تواند باشد؟
۱) دو تا
۲) سه تا
۳) چهار تا
۴) پنج تا

پاسخ تشریحی

۳۹. اگر $a>0$، $b<0$، و $c<0$، آنگاه چندتا از عبارت‌های زیر منفی هستند؟
\(\bullet\) $ab^2c$
\(\bullet\) $(b-a)^3$
\(\bullet\) $(ac-b^2c)$
\(\bullet\) $\frac{a^3b^3}{b^6c^2}$
۱) حداقل سه تا
۲) حداکثر سه تا
۳) بیشتر از سه تا
۴) کمتر از سه تا

پاسخ تشریحی

۴۰. چندتا از تساوی‌های زیر، تجزیه یک عبارت جبری را نشان می‌دهد؟
تساوی اول: $x^2+x+1=x(x+1)+1$
تساوی دوم: $2y^2+5y=2y\big(y+\frac{5}{2}\big)$
۱) تساوی اول و تساوی دوم
۲) فقط تساوی اول
۳) فقط تساوی دوم
۴) هیچ‌کدام از دو تساوی

پاسخ تشریحی