مسائل ریاضی آزمون پیشرفت تحصیلی هشتم سمپاد (بهمن ۹۶)

۶۱. حاصل‌جمع اعداد زیر که در \(11\) سطر نوشته شده‌اند، برابر کدام گزینه است؟
\[\begin{matrix}111&&&&\\111&111&&&\\111&111&111&&\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\111&111&111&\cdots&111\end{matrix}\]
۱) $11\times 11\times 111$
۲) $11\times 12\times 111$
۳) $11\times 5\times 111$
۴) $11\times 6\times 111$

پاسخ تشریحی

۶۲. در تساوی داده شده مقدار $x$ برابر چه عددی است؟
\[\Big(\frac{5}{2}x-\frac{2}{5}\Big)=\Big(\frac{3}{7}x+\frac{7}{3}\Big)\]
۱) $\dfrac{41\times 14}{29\times 15}$

۲) $\dfrac{29\times 14}{41\times 15}$

۳) $\dfrac{41\times 15}{29\times 14}$

۴) $\dfrac{29\times15}{41\times14}$

پاسخ تشریحی

۶۳. تنها با گذاشتن تعدادی پرانتز، کمترین مقداری که از عبارت زیر می‌‌توانید به‌دست آورید، چه عدد خواهد بود؟
(دقت کنید که در این سؤال منظور از پرانتزگذاری فقط تعیین اولویت عمل است و نمی‌توانید از پرانتزها برای عمل ضرب استفاده کنید.)
\[12-8+5\times 6-2\times3\]
۱) عددی بین صفر و $-10$
۲) عددی بین $-35$ و $-45$
۳) عددی بین $-75$ و $-85$
۴) عددی کمتر از $-100$

پاسخ تشریحی

۶۴. در یک مربع جادویی $3\times 3$ که با اعداد \(1\) تا \(9\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهار گوشه کدام است؟
(در مربع جادویی مجموع اعداد در هر سطر و هر ستون و هر قطر عددی ثابت است.)
۱) \(20\)
۲) \(25\)
۳) \(30\)
۴) نمی‌توان مشخص کرد.

پاسخ تشریحی

۶۵. در چند تا از عبار‌ت‌های زیر سمت راست تساوی تجزیه شده و سمت چپ تساوی تجزیه نشده است؟
عبارت اول: $8x=2^3x$
عبارت دوم: $8x^2=8xx$
عبارت سوم: $x^2+2x=(x+2)x$
عبارت چهارم: $x-y=x\big(1-\dfrac{y}{x}\big)$

۱) یکی
۲) دوتا
۳) سه‌تا
۴) چهارتا

پاسخ تشریحی

۶۶. اگر $a>0$، $b<0$ و $c<0$، آنگاه چندتا از عبارت‌های زیر منفی هستند؟
$\bullet\quad$ $ab^2c$
$\bullet\quad$ $(b-a)^3$
$\bullet\quad$ $(ac-b^2c)$
$\bullet\quad$ $\dfrac{a^3b^3}{b^6c^2}$
۱) حداقل سه تا
۲) حداکثر سه تا
۳) بیشتر از سه تا
۴) کمتر از سه تا

پاسخ تشریحی

۶۷. باتوجه‌به شکل زیر کدام گزینه درست نیست؟

۱) اگر سه‌تا از زاویه‌های مشخص شده برحسب درجه مضرب ۴ باشند، زاویهٔ چهارم هم برحسب درجه مضرب ۴ است.
۲) اگر سه‌تا از زاویه‌های مشخص شده برحسب درجه مضرب ۸ باشند، زاویهٔ چهارم هم برحسب درجه مضرب ۸ است.
۳) اگر سه‌تا از زاویه‌های مشخص شده برحسب درجه مضرب ۱۲ باشند، زاویهٔ چهارم هم برحسب درجه مضرب ۱۲ است.
۴) اگر سه‌تا از زاویه‌های مشخص شده برحسب درجه مضرب ۱۶ باشند، زاویهٔ چهارم هم برحسب درجه مضرب ۱۶ است.

پاسخ تشریحی

۶۸. کدام‌یک از اعداد زیر شمارنده‌ای برای عدد $1\times 2\times 3\times \dots\times  1396$ نیست؟
۱) \(1401\)
۲) \(1400\)
۳) \(1399\)
۴) \(1398\)

پاسخ تشریحی

۶۹. اگر یک سه‌جمله‌ای را در یک سه‌جمله‌ای ضرب کنیم، تعداد جملات حاصل چه عددی نمی‌تواند باشد؟
۱) دو
۲) سه
۳) نُه
۴) ده

پاسخ تشریحی

۷۰. در شکل زیر می‌دانیم که دو خط $d$ و $d’$ موازی هستند. مجموع زاویه‌های $a$، $b$، و $c$ چقدر است؟

۱) $180^\circ$
۲) $270^\circ$
۳) $360^\circ$
۴) $400^\circ$

پاسخ تشریحی

۷۱. عبارت داده شده با کدام گزینه برابر است؟
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]

۱) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}$

۲) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}$

۳) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

۴) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

پاسخ تشریحی

۷۲. با تعدادی کاشی به شکل  کدام‌‌یک از زمین‌های زیر ممکن است بتواند کاشی‌کاری شود؟ (ابعاد زمین از ابعاد کاشی بسیار بزرگتر است.)

۱) یکی
۲) دوتا
۳) سه‌تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی

۷۳. با تعدادی کاشی از یک نوع می‌خواهیم زمینی به شکل  را کاشی‌کاری کنیم. با چند نوع از کاشی‌های زیر این کار امکان‌پذیر است؟ (ابعاد زمین از ابعاد کاشی بسیار بزرگتر است.)

۱) یکی
۲) دوتا
۳) سه‌تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی

۷۴. اگر $a$، $b$، و $c$ سه عدد طبیعی باشند، کدام‌یک از معادله‌های زیر جواب دارد؟

معادلهٔ اول: $\dfrac{41}{42}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

معادلهٔ دوم: $\dfrac{41}{42}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

۱) فقط معادلهٔ اول
۲) فقط معادلهٔ دوم
۳) هر دو معادله
۴) هیچ‌کدام از معادله‌ها

پاسخ تشریحی

۷۵. مجموع زاویه‌های مشخص شده در شکل زیر چند درجه است؟

۱) \(180\) درجه
۲) \(270\) درجه
۳) \(360\) درجه
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

۷۶. برای روشن کردن تمام فضاهای موزه‌ای که نقشهٔ آن به‌صورت زیر است، حداقل به چند لامپ نیاز است؟ (خطوط ضخیم دیوار هستند و دیوارها ضخامت دارند و لامپ‌ها نقطه‌ای هستند.)

۱) \(3\)
۲) \(4\)
۳) \(5\)
۴) \(6\)

پاسخ تشریحی

۷۷. اگر تعداد اعداد اول بین $n$ و $m$ را با $p(n,m)$ نشان بدهیم، کدام‌یک نادرست است؟
۱) $p(20,30)>p(40,50)$
۲) $p(50,100)>p(80,110)$
۳) $p(1,50)>p(50,100)$
۴) $p(1,50)>p(150,200)$

پاسخ تشریحی

۷۸. در شکل زیر، مجموع زاویه‌های مشخص شده چقدر است؟ ($AB=AC$)

۱) $80^\circ$
۲) $180^\circ$
۳) $200^\circ$
۴) $500^\circ$

پاسخ تشریحی

۷۹. اگر $a+b=10$ باشد، آنگاه حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ چه عددی است؟
۱) \(250\)
۲) \(450\)
۳) \(500\)
۴) \(550\)

پاسخ تشریحی

۸۰. معادله‌ای که نشان‌دهندهٔ عبارت زیر باشد چیست؟
«اگر سه برابر عددی را از نصف آن عدد کم کنیم، حاصل از \(100\) به اندازهٔ $x$ واحد کمتر است.»

۱) $3x-\dfrac{1}{2}x=100-x$

۲) $\dfrac{1}{2}x-3x=100-x$

۳) $3y-\dfrac{1}{2}y=100-x$

۴) $\dfrac{1}{2}y-3y=100-x$

پاسخ تشریحی