مسئلهٔ ۳ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مهر ۹۸

در سال $66$ قبل از میلاد مسیح، رومیان شهر جوتاپاتا را تسخیر کردند. یهودیان پس $47$ روز مقاومت مجبور به فرار شدند. در میان گروهی از یهودیان، مورخ مشهوری به‌نام ژوزفوس فلاویوس بود، که همراه $40$ نفر دیگر در غاری پناه گرفتند. اینان ترجیح می‌دادند کشته شوند تا اینکه اسیر رومیان شوند. ژوزفوس با این تصمیم مخالف بود ولی این موضوع را علنی نمی‌کرد.

قرار بر این شد که این $41$ نفر، با شماره‌های $1$ تا $41$، دایره‌وار (و در جهت عقربه‌های ساعت) مرتب شوند. ابتدا شمارهٔ $1$، شمارهٔ $2$ را بكُشد، سپس شمارهٔ $3$، شمارهٔ $4$ را بكُشد، بعد شمارهٔ $5$، شمارهٔ $6$ را بکُشد و به‌همین‌ترتیب هركس در نوبتش نفر زندهٔ سمت چپش را بكشد. در پایان نیز آخرین نفری که زنده می‌ماند، خودش را بکشد.

كُشتار به همین‌ترتیب ادامه پیدا کرد، اما در پایان ژوزفوس زنده ماند و خودش را نکشت!

شمارهٔ ژوزفوس چند بود؟

در این مسئله، اگر به‌جای \(41\) نفر، \(4111\) نفر دایره‌وار نشسته باشند، در پایان عملیاتی که در بالا گفته شد، نفر چندم باید خودش را بکشد؟

راهنمای حل

در ویدئوی زیر، دانیل ارمن (DANIEL ERMAN)، استاد ریاضی دانشگاه ویسکانسین-مدیسن (Wisconsin-Madison) مسئلهٔ بالا را برای \(41\) نفر حل می‌کند. ادامهٔ مطلب…

برای نوشتن پاسخ این مسئله، لازم نیست راه‌حل کامل را بنویسید؛ فقط نوشتن جواب آخر کافی است؛ یعنی برای \(41\) نفر و برای \(4111\) نفر تعیین کنید که شمارهٔ آخرین نفر (کسی که باید خودش را بکشد)، چیست.

پاسخ خود را در قسمت دیدگاه‌های زیر بنویسید.

توجه کنید که فقط اولین کامنت هر نفر تأیید می‌شود. بنابراین در نوشتن پاسخ دقت کنید. و حتماً شرایط و قوانین این مسابقه را بخوانید.

مهلت پاسخ‌گویی به این مسئله تا ساعت ۱۷ روز چهارشنبه ۲۴اُم مهر ۹۸ است.

شرایط و قوانین مسابقهٔ ریاضی تکمیلی مهرماه ۹۸

$\bullet$ این مسابقه، چهار مسئله دارد.

$\bullet$ مسئله‌های این مسابقه، روزهای چهارشنبه ۳اُم، ۱۰اُم، ۱۷اُم، و ۲۴اُم مهر ۹۸، رأس ساعت ۱۷ روی سایت تکمیلی بارگذاری می‌شوند.

$\bullet$ فرصت پاسخ‌گویی به هر مسئله، یک هفته است.

$\bullet$ پس از تمام شدن فرصت پاسخ‌گوییِ هر سؤال، پاسخ آن سؤال روی سایت قرار داده می‌شود و به پنج نفری که زودتر از بقیه، پاسخ درست را در بخش دیدگاه‌ها (کامنت‌ها) نوشته باشند، به‌ترتیب ۱۰ امتیاز، ۸ امتیاز، ۶ امتیاز، ۴ امتیاز، و ۲ امتیاز تعلق می‌گیرد.

$\bullet$ روز جمعه، سوم آبان ۹۸، مجموع امتیازها محاسبه می‌شود و به رتبهٔ اول، شش‌ماه اشتراک رایگان سایت تکمیلی هدیه داده خواهد شد.

$\bullet$ توجه کنید که برای هر مسئله، فقط اولین کامنت هر نفر پذیرفته می‌شود. بنابراین در نوشتن پاسخ دقت کنید.

$\bullet$ شرکت در این مسابقه برای همهٔ افراد آزاد است.
شرایط استفاده از جایزه به آدرس ایمیل دوستانی که عضو سایت نیستند، ارسال می‌شود. بنابراین، دوستانی که عضو سایت نیستند، حتماً‌ هنگام نوشتن پاسخ، آدرس ایمیل خود را به‌دقت و به‌درستی وارد کنند.