نهم. فصل ۶. شیب و معادلهٔ خط. تمرین ۱۱ (خط d)

مسئلهٔ زیر در فصل معادله خط کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است. در این مسئله، سه فرمول برای معادله خط ارائه شده است و سعی شده که معادلهٔ چهار خط متفاوت را با استفاده از هریک این فرمول‌ها محاسبه کند.

۹. ۶. ۱. ۱۱. هما، فاطمه، و فرخنده می‌خواستند معادله خط های زیر را به‌دست آورند.

پاسخ‌های آنها به‌صورت زیر است. برای پاسخ هریک راه‌حل کامل بنویسید و دربارهٔ هر راه‌حل بحث کنید.

راه هما

معادلهٔ خط در حالت کلی به‌صورت \(y=ax+b\) است که در آن \(a\) شیب خط و \(b\) عرض از مبدأ است.
بنابراین، معادلهٔ این چهار خط به‌صورت زیر است.
$d:\;y=\dfrac{1}{3}x+1$
$\ell:\; y=-\dfrac{3}{2}x$
$k:\; y=2$
? $j:\;$

راه‌حل فاطمه

معادلهٔ خط در حالت کلی به‌صورت $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ است که در آن $a$ طول از مبدأ و $b$ عرض از مبدأ است.
$d:\; \dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{1}=1$
? $\ell:\;$
? $k:\;$
? $j:\;$

راه‌حل فرخنده

معادلهٔ خط در حالت کلی به‌صورت $ax+by+c=0$ است. بنابراین معادلهٔ این چهار خط به‌صورت زیر است.
$d:\; x-3y+3=0$
$\ell:\; 3x+2y=0$
$k:\; y-2=0$
$j:\; x+1=0$

راهنمای حل برای خط \(d\)

در راه‌حل هما، معادله خط به‌صورت $y=ax+b$ است که $a$ شیب خط و $b$ عرض از مبدأ خط است.

راه‌حل هما برای محاسبهٔ معادله خط $d$

دو نقطهٔ $\big[{-3\atop0}\big]$ و $\big[{0\atop1}\big]$ روی خط $d$ قرار دارند. با استفاده از این دو نقطه، شیب خط $d$ را به‌دست می‌آوریم:
\[a=\frac{1-0}{0-(-3)}=\frac{1}{3}.\]
از روی شکل، واضح است که عرض از مبدأ خط $d$ برابر $1$ است. بنابراین معادلهٔ خط $d$ برابر است با:
\[y=\frac{1}{3}x+1.\]

راه‌حل فاطمه برای محاسبهٔ‌ معادله خط $d$

با توجه‌ به شکل بالا، عرض از مبدأ خط $d$ برابر $1$ و طول از مبدأ آن برابر $-3$ است. پس با جایگذاری این دو مقدار در $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ معادله خط $d$ به‌دست می‌آید:
\[\frac{x}{-3}+\frac{y}{1}=1.\]

راه‌حل فرخنده برای محاسبهٔ معادله خط $d$

در معادله $ax+by+c=0$، ابتدا $b$ و $c$ را برحسب $a$ به‌دست می‌آوریم.
نقطهٔ $\big[{0\atop1}\big]$ روی خط $d$ قرار دارد. بنابراین:
\[\begin{aligned}&a(0)+b(1)+c=0\\&\Rightarrow b+c=0\\&\Rightarrow c=-b.\quad (1)\end{aligned}\]
نقطهٔ $\big[{-3\atop0}\big]$ نیز روی خط $d$ قرار دارد. بنابراین:
\[\begin{aligned}&ax+by+c=0\\&\Rightarrow a(-3)+b(0)+c=0\\&\Rightarrow -3a+c=0\\&\Rightarrow c=3a.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ نتیجه می‌شود:
\[-b=3a\Rightarrow b=-3a.\quad(3)\]
حال، اگر برای $a$، هر مقدار ناصفری قرار دهیم، مقدارهای $b$ و $c$ نیز از رابطه‌های $(2)$ و $(3)$ به‌دست می‌آیند و می‌توان معادله خط $d$ را نوشت.
توجه کنید که فرخنده مقدار $a$ را برابر $1$ قرار داده است؛ ولی می‌توان به‌جای $a$ هر مقدار ناصفر دیگری نیز قرار داد(؟).

راهنمای حل برای خط \(\ell\)

پرسش ۱. اگر طول از مبدأ و عرض از مبدأ خطی ناصفر باشند، آنگاه آیا همیشه می‌توان از رابطهٔ فاطمه برای نوشت معادله خط استفاده کرد؟ چرا؟

پرسش ۲. در روش فرخنده، آیا لازم است شرطی برای $a$، $b$، و $c$ قرار دهیم؟

پرسش ۳. در مقالهٔ زیر، ادعا می‌شود که در یک آزمایش (مربوط به کتاب علوم) نسبت تغییرات کاملاً خطی است. به نظر شما آیا اعدادی که در جدول‌های این مقاله هستند، واقعی‌اند؟
حسین نامی ساعی، معادلهٔ خط در آزمایشگاه علوم، برهان ریاضی، دورهٔ ۲۳، شمارهٔ ۴، دی‌ماه ۱۳۹۶.
آیا می‌توانید پدیده‌‌هایی در طبیعت پیدا کنید که تغییرات آنها کاملاً خطی باشند؟