مقدمات المپیاد کامپیوتر و ریاضی

در ابتدای هفته، آنیا یک کتاب و سپس فاطمه یک کتاب قرض گرفت. با نگاهی به نحوه چیدمان کتاب‌ها در ابتدا، این به ما می گوید که آنیا کتاب «بره ناقلا، روباه بلا» و فاطمه کتاب «بُزبُز قندی، چرا نمی‌خندی؟» را قرض گرفته است. در پایان هفته، سارا بلافاصله پس از بازگشت کتاب فاطمه، کتابی را امانت گرفت. از آن‌جایی که کتاب‌ها از بالای ستون گرفته می‌شوند و به بالای ستون بازگردانده می‌شوند، این بدان معناست که سارا همان کتابی را که فاطمه بازگردانده است به امانت گرفته است. از آن‌جایی که فاطمه در آن هفته فقط یک کتاب به امانت گرفته، می‌دانیم که او باید «بُزبُز قندی، چرا نمیخندی؟» را پس داده باشد. بنابراین، سارا «بُزبُز قندی، چرا نمیخندی؟» را قرض گرفت. جالب است بدانید که لازم نیست همه کتاب‌هایی را که به امانت گرفته شده و برگردانده شده‌اند در نظر بگیریم. به عنوان مثال، مهم نیست که مریم کدام کتاب را به امانت گرفته است.

از آنجایی که دو خانه در کنار یکدیگر نمی توانند یک رنگ باشند، دو خانه سفید در امتداد بالای خیابان باید به رنگ سبز و قرمز همانطور که در اینجا نشان داده شده است:
با دانستن این موضوع و این واقعیت که خانه‌های روبروی هم باید دقیقاً رنگ‌های متفاوتی داشته باشند، می‌توانیم تعیین کنیم که خانه دوم در سمت چپ خانه سگ آبی باید قرمز باشد:به همین ترتیب، خانه اول در سمت چپ خانه سگ آبی باید سبز باشد:ما مشخص کردیم که دو خانه کنار خانه سگ آبی باید سبز و قرمز باشد و خانه روبروی آن باید قرمز باشد. بنابراین خانه سگ آبی باید آبی رنگ شود.

جملۀ گزینۀ \(1\)، “حلزون و پروانه همزمان روی صحنه هستند”، درست است. در قسمت دوم نمایش، حلزون وارد صحنه می‌شود. پرنده از صحنه خارج می‌شود، و پروانه روی صحنه می‌آید. بنابراین، حلزون و پروانه همزمان روی صحنه هستند.
جملۀ گزینۀ \(2\)، “لاکپشت و پرنده همزمان روی صحنه هستند”، درست نیست. در قسمت اول نمایش، لاکپشت دقیقاً قبل از ورود پروانه از صحنه خارج می‌شود، و هرگز دوباره به صحنه برنمی‌گردد.
جملۀ گزینۀ \(3\)، “حلزون بعد از زمان استراحت وارد صحنه می‌شود”، درست است. حلزون دومین شخصیتی است که در قسمت دوم نمایش، دقیقاً بعد از پرنده، وارد صحنه می‌شود.
جملۀ گزینۀ \(4\)، “حلزون و پرنده همزمان روی صحنه هستند”، درست است. در شروع قسمت دوم، پرنده وارد صحنه می‌شود و پس از آن حلزون به صحنه می‌آید. بنابراین، حلزون و پرنده همزمان روی صحنه هستند.

تصویر زیر نحوه مونتاژ کاردستی را با هزینه کل 1 + 4 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 13 دلار نشان می دهد. از آنجایی که این کوچکترین گزینه ارائه شده است، می دانیم که گزینه 1 باید پاسخ صحیح باشد.

برای کاملتر شدن، نشان خواهیم داد که چرا حداقل هزینه برای ساخت کاردستی باید حداقل 13 دلار باشد. برای این کار، کاردستی را به قطعات کوچکتر تقسیم می کنیم. فقط از سه شکل با دو طرف منحنی می توان برای تشکیل “سر” کاردستی استفاده کرد و از پنج شکل باقیمانده می‌توان برای تشکیل “بدن” کاردستی (“تنه” و “پاها”) استفاده کرد.
فقط دو راه برای ساختن سر کاردستی وجود دارد: استفاده از یک شکل یکسان با سر، به قیمت 6 دلار، یا با ترکیب دو شکل منحنی دیگر، هزینه 1 + 4 = 5 دلار. بنابراین حداقل هزینه ساخت سر کاردستی 5 دلار است.
اکنون باید نشان دهیم که حداقل هزینه برای ساخت نیم تنه و پاهای کاردستی باید حداقل 8 دلار (بیش از 7 دلار) باشد.
پایین سمت چپ و سمت راست پایین تنه باید هر کدام با استفاده از ذوزنقه ای با قیمت 7 دلار، متوازی الاضلاع با قیمت 3 دلار، یا مثلثی با قیمت 2 دلار ساخته شوند. ما همه احتمالات را در نظر خواهیم گرفت.
در صورت استفاده از ذوزنقه باید از قطعات دیگری نیز برای تکمیل نیم تنه و پاها استفاده شود و بنابراین هزینه ساخت نیم تنه و پاها بیش از 7 دلار خواهد بود.
اگر متوازی الاضلاع استفاده شود، باید از دو مثلث مانند مثال در سوال استفاده شود. این باعث می شود پاها ناقص باشند و بنابراین هزینه ساخت نیم تنه و پاها بیش از 7 دلار خواهد بود.
امکان باقی مانده این است که یک مثلث در هر یک از گوشه های پایین تنه قرار دهید (هزینه 2 + 2 = 4 دلار). دو ناحیه مربعی (در بالای تنه و تشکیل پاها) هنوز باید ساخته شود. ارزان ترین راه برای پوشاندن این مناطق مربع، استفاده از چهار مستطیل است (هزینه 4 دلار دیگر). از این رو، حداقل هزینه برای پوشاندن تنه و پاها حداقل 4 + 4 = 8 دلار است.