قضیهٔ نسبت در میانه‌های مثلث

قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات. در مثلث \(ABC\) سه میانهٔ \(AM\)، \(BN\)، و \(CK\) را رسم می‌کنیم.

بنابه نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها، شش مثلث ایجاد شده در شکل بالا هم‌مساحت‌اند. پس: \[\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}=\frac{2}{1}\cdot\quad(1)\] از \(C\) خطی بر \(AM\) عمود می‌کنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم.

چون \(CH\) ارتفاع مثلث‌های \(ACG\) و \(CGM\) است، پس داریم: \[\begin{aligned}\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}&=\frac{\frac{1}{2}CH\times AG}{\frac{1}{2}CH\times CM}\\[9pt]&=\frac{AG}{GM}.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:\[\frac{AG}{GM}=\frac{2}{1}\cdot\] پس میانه‌ها یکدیگر را به نسبت \(2\) به \(1\) قطع می‌کنند.