نمونه سوال ریاضی دهم فصل ۳

دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۳ ریاضی دهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

1. اگر \(a=\sqrt[3]{5}+1\)، حاصل عبارت \(a(a^2-3a+3)\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

از آنجایی‌که جایگذاری به صورت مستقیم، محاسبات را دشواری می‌کند، سعی می‌کنیم عبارت خواسته شده را تغییر دهیم:
\[\begin{aligned}&a(a^2-3a+3)\\&=a^3-3a^2+3a\\&=a^3-3a^2+3a {\color{red}\,-\,1+1}\\&=(a-1)^3+1\quad (*)\end{aligned}\]
اکنون مقدار \(a=\sqrt[3]{5}+1\) را در رابطه \((*)\) جایگذاری کنیم.
\[\begin{aligned}& ({\color{red}a}-1)^3+1\\&=\big({\color{red}\sqrt[3]{5}+1}-1\big)^3+1\\&=(\sqrt[3]{5})^3+1\\&=6.\end{aligned}\]


---

2. اگر \(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-4}=3\)، حاصل عبارت \(A=\sqrt{a+2}-\sqrt{a-4}\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

چون \(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-4}\) و \(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-4}\) مزدوج یکدیگرند، پس با ضرب طرفین دو عبارت داده شده در یکدیگر داریم:
\[\begin{aligned}& 3A=\big(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-4}\big)\big(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-4}\big)\\&\Rightarrow3A=\big(\sqrt{a+2}\big)^2-\big(\sqrt{a-4}\big)^2\\&\Rightarrow 3A=(a+2)-(a-4)\\&\Rightarrow3A=6\\&\Rightarrow A=2.\end{aligned}\]

---

3. اگر \(\frac{x^{10}}{1+x^{20}}=0.1\) ، آنگاه \(A=x^5+\frac{1}{x^5}\) چه مقادیری می‌تواند داشته باشد؟
پاسخ را نشان بده!

\[\frac{1}{x^{10}}+x^{10}=10.\]

چرا؟

\[\begin{aligned}&\frac{x^{10}}{1+x^{20}}=0.1\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1+x^{20}}{x^{10}}=\frac{10}{1}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{x^{10}}+\frac{x^{20}}{x^{10}}=10\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{x^{10}}+x^{10}=10.\end{aligned}\]

بنابراین،
\[A=x^5+\frac{1}{x^5}=\pm2\sqrt{3}.\]
چرا؟

\[\begin{aligned}&\frac{1}{x^{10}}+x^{10}=10\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{x^{10}}+x^{10}{\color{red}+2-2}=10\\[7pt]&\Rightarrow (x^5+\frac{1}{x^5})^2-{\color{red}2}=10\\[7pt]&\Rightarrow (x^5+\frac{1}{x^5})^2=12\\[7pt]&\Rightarrow x^5+\frac{1}{x^5}=\pm2\sqrt{3}.\end{aligned}\]

---

4. اگر \(\frac{x^2+1}{x}=7\) باشد، حاصل عبارت \(A=\frac{\sqrt x}{x+1}\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&A=\frac{\sqrt x}{x+1}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{A}=\frac{x+1}{\sqrt x}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{A}=\frac{x}{\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{A}={\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}.\end{aligned}\]
با این تغییر، \(\frac{1}{A}=3\).
چرا؟

\[\begin{aligned}&\frac{x^2+1}{x}=7\\[7pt]& \Rightarrow x+\frac{1}{x}=7\\[7pt]&\Rightarrow x+\frac{1}{x}{\color{red}+2}=7{\color{red}+2}\\[7pt]&\Rightarrow (\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x})^2=9\\[7pt]& \Rightarrow (\frac{1}{A})^2=9\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{A}=\pm3. \end{aligned}\]
با توجه به اینکه \(\frac{1}{A}>0\) بنابراین \(+3\) قابل قبول است.

بنابراین، \(A=\frac{1}{3}\).


---

5. اگر \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) باشد، حاصل \(x^3+3x\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

از اتحاد مکعب دو جمله‌ای داریم:
\[(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\]
می‌توانیم صورت اتحاد را با فاکتورگیری از دو جمله وسط به شکل زیر تغییر دهیم.
\[(a\pm b)^3=a^3\pm 3ab(a\pm b)\pm b^3\]
حال به کمک صورت فوق از اتحاد مکعب دو جمله‌ای، می‌توان از \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) نتیجه گرفت که \(x^3+3x=2\sqrt{3}\).
چگونه؟

با در نظر گرفتن \(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\) و \(b=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) داریم:
\[\begin{aligned}& x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\\&\Rightarrow x^{\color{red} 3}=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\right)^{\color{red}3} \\& \Rightarrow x^3={\color{red}(2+\sqrt{3})}-3\left({\color{blue}\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}}\right)\left({\color{blue}\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}}\right)\left({\color{green}\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}}\right)-{\color{red}(2-\sqrt{3})}\\&\Rightarrow x^3={\color{red}(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3})} -3{\color{blue}\sqrt[3]{4-3}}\times{\color{green}x}\\&\Rightarrow x^3={\color{red}2\sqrt{3}}-3{\color{green}x} \\&\Rightarrow x^3+3x=2\sqrt{3}.\end{aligned}\]

---

6. اگر
   \[\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{A}{x-1}\] آنگاه مقدار \(A\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

\[A=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}\]

چرا؟

به کمک اتحاد مزدوج و اتحاد چاق و لاغر عبارت زیر را گویا می‌کنیم.
\[\begin{aligned}\frac{A}{x-1}&=\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\\[7pt]&=\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}\times{\color{red}\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\times{\color{green}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[3]{x})^3-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x})^2-1}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}{x-1}.\end{aligned}\]
بنابراین، \(A=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}\).

---

7. اگر \[a^2+b^2+ab-a+b+1=0\] آنگاه حاصل \(\dfrac{a+2}{b+2}\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

ابتدا عبارت \(a^2+b^2+ab-a+b+1=0\) را تغییر می‌دهیم تا بتوانیم مقادیر \(a\) و \(b\) را بیابیم. داریم:
\[\begin{aligned}&a^2+b^2+ab-a+b+1=0\\&\Rightarrow{\color{red}2\times}(a^2+b^2+ab-a+b+1)={\color{red}2\times}0\\&\Rightarrow{\color{red}2\times}a^2+{\color{red}2\times}b^2+{\color{red}2\times}ab-{\color{red}2\times}a+{\color{red}2\times}b+{\color{red}2\times}1=0\\&\Rightarrow {\color{blue}a^2}+{\color{green}a^2}+{\color{blue}b^2}+{\color{purple}b^2}+{\color{blue}2ab}-{\color{green}2a}+{\color{purple}2b}+{\color{green}1}+{\color{purple}1}=0\\&\Rightarrow {\color{blue}(a+b)^2}+{\color{green}(a-1)^2}+{\color{purple}(b+1)^2}=0 .\end{aligned}\]
با توجه به اینکه \((a+b)^2\)، \((a-1)^2\)، و \((b+1)^2\) سه مقدار نامنفی هستند، بنابراین هرکدام باید برابر صفر باشد (درسنامهٔ مجموع مربعات را بخوانید). یعنی:

\[\begin{aligned}&{\color{blue}(a+b)^2}+{\color{green}(a-1)^2}+{\color{purple}(b+1)^2}=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&(a-1)^2=0\Rightarrow a=1\\&(b+1)^2=0\Rightarrow b=-1\\&(a+b)^2=0\Rightarrow a=-b\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس
\[\frac{a+2}{b+2}=\frac{1+2}{-1+2}=3.\]


---

8. اگر
   \[a=\frac{4^{0.75}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+9^{0.25}\] آنگاه مقدار \(a^2+\dfrac{1}{a^2}\) را بیابید.
   
   پاسخ را نشان بده!
   
   ابتدا نمایش رادیکالی اعداد \(4^{0.75}\) و \(9^{0.25}\) را به‌دست می‌آوریم:
   \[4^{0.75}=2\sqrt{2} ,\; 9^{0.25}=\sqrt{3}.\]
   چرا؟

   \[\begin{aligned}4^{0.75}&=(2^2)^\frac{3}{4}\\&=2^{2\times\frac{3}{4}}\\&=2^\frac{3}{2}\\&=\sqrt{2^3}\\&=\sqrt{2^2\times 2}\\&=2\sqrt{2}\end{aligned}\]
   و
   \[\begin{aligned}9^{0.25}&=9^\frac{1}{4}\\&=(3^2)^\frac{1}{4}\\&=3^{2\times\frac{1}{4}}\\&=3^\frac{1}{2}\\&=\sqrt{3}.\end{aligned}\]

   اکنون عبارت \(a\) را به ساده‌ترین صورت ممکن می‌نویسیم: \(a=1+\sqrt{2}\).
   چرا؟

   \[\begin{aligned}a &=\frac{4^{0.75}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+9^{0.25}\\[7pt]&=\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\sqrt{3}\\[7pt]&=\frac{2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}\times\frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}+\sqrt{3}\\[7pt]&=\frac{2\sqrt{2}\times(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}+\sqrt{3} \\[7pt]&=\frac{2\sqrt{2}\times(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\big(1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\big)-(\sqrt{3})^2}+\sqrt{3}\\[7pt]&= \frac{2\sqrt{2}\times(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{2}+2)-3}+\sqrt{3}\\[7pt]&= \frac{2\sqrt{2}\times(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}+\sqrt{3}\\&=(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\\[7pt]&=1+\sqrt{2}.\end{aligned}\]

   در نتیجه، \(a^2+\dfrac{1}{a^2}=6\).
   چرا؟

   \[\begin{aligned}&a^2+\frac{1}{a^2}\\[7pt]&={\color{red}a^2+\frac{1}{a^2}+2}-2\\[7pt]&={\color{red}(a+\frac{1}{a})^2}-2\\[7pt]&=\left((1+\sqrt{2})+\frac{1}{(1+\sqrt{2})}\right)^2-2\\[7pt]&=\left((1+\sqrt{2})+\frac{1}{(1+\sqrt{2})}\times\frac{(1-\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})}\right)^2-2\\[9pt]&=\Big(\big(1+\sqrt{2}\big)-\big(1-\sqrt{2}\big)\Big)^2-2\\[7pt]& =(2\sqrt{2})^2-2\\[7pt]&=8-2\\&=6.\end{aligned}\]

   ---

9. در تساوی
   \[\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{ax+b}{x^2-1}\] مقدار \(ab\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

ابتدا سمت چپ تساوی را به کمک اتحاد مزدوج، گویا می‌کنیم. داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\times{\color{red}\frac{\sqrt{x}+1}{{\sqrt{x}+1}}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\times{\color{red}\frac{\sqrt{x}-1}{{\sqrt{x}-1}}}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2}{x-1}\times{\color{blue}\frac{x+1}{x+1}}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2(x+1)}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2x+2}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2x+3}{x^2-1}.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{ax+b}{x^2-1}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{2x+3}{x^2-1}=\frac{ax+b}{x^2-1}\\&\Rightarrow 2x+3=ax+b\\& \Rightarrow a=2 , b=3\\& \Rightarrow ab=6. \end{aligned}\]

---