هتل هیلبرت (یا هتل بینهایت هیلبرت) یک مسئلهٔ بسیار جالب برای درک مفهوم بینهایت است. مفهوم بینهایت در ریاضیات یک مفهوم بسیار پیچیده است که به‌سادگی می‌تواند ذهن هر انسانی را به چالش بکشید!
ویدئوهای هتل بینهایت هیلبرت
ویدئوی هتل بینهایت هیلبرت زبان اصلی با زیرنویس فارسی
ویدئوی هتل بینهایت هیلبرت با دوبلهٔ فارسی
قسمتی از کتاب اثبات
نظریهٔ مجموعه‌ها، که در نیمهٔ دوم قرن نوزدهم به‌دست گئورگ کانتور پایه‌گذاری شد، ریاضیات را عمیقاً دگرگون ساخته است. ریاضیات امروزی بدون مفهوم مجموعه قابل تصور نیست و، چنانکه هیلبرت گفته است: «هیچ‌کس ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده (نظریهٔ مجموعه‌ها) بیرون نخواهد راند.»
یکی از مفهوم‌های بنیادی کانتور، مفهوم اندازه یا کاردینال [تعداد اعضای] مجموعه‌ای مثل \(A\) است که با \(|A|\) نشان داده می‌شود. این مفهوم در مورد مجموعه‌های متناهی با مشکلی مواجه نمیشود: تعداد عضوها را می‌شمریم و می‌گوییم \(A\) یک مجموعهٔ \(n\)عضوی است یا اندازه‌اش \(n\) است اگر \(A\) شامل دقیقاً \(n\) عضو باشد. پس دو مجموعهٔ متناهی \(A\) و \(B\) اندازهٔ برابر دارند، \(|A|=|B|\)، اگر تعداد اعضایشان یکی باشد.
برای تعمیم مفهوم برابری اندازه‌ها به مجموعه‌های نامتناهی، آزمایش ذهنی الهام‌بخش زیر را در مورد مجموعه‌های متناهی انجام می‌دهیم. فرض کنید عده‌ای سوار یک اتوبوس می‌شوند. چه وقتی می‌گوییم که تعداد مسافران با تعداد صندلی‌های اتوبوس یکی است؟ پاسخ ساده است: می‌گذاریم همهٔ مسافران بنشینند؛ اگر هر کسی صندلی‌ای برای نشستن یافت، و هیچ صندلی‌ای خالی نماند، در آن‌صورت و فقط در آن‌صورت، تعداد اعضای این دو مجموعه (مسافران و صندلی‌ها) برابر است. به‌عبارت دیگر، این دو اندازه یکی هستند اگر یک نگاشت دوسویی از یک مجموعه به‌روی دیگری وجود داشته باشد.
پس تعریف ما چنین است: گوییم دو مجموعهٔ دلخواه \(A\) و \(B\) (متناهی یا نامتناهی) اندازهٔ یا کاردینال برابر دارند اگر و تنها اگر یک نگاشت دوسوی از \(A\) به‌روی \(B\) وجود داشته باشد. روشن است که این مفهوم برابری اندازه یک رابطهٔ هم‌ارزی است، و بنابراین می‌توانیم به هر رده از مجموعه‌های هم‌اندازه یک عدد کاردینال نسبت دهیم. مثلاً برای مجموعه‌های متناهی، عددهای کاردینال \(0\)، \(1\)، \(2\)، \(\dots\)، \(n\)، و \(\dots\) را به‌دست می‌آوریم که \(n\) نمایندهٔ ردهٔ مجموعه‌های \(n\)عضوی است و به‌خصوص، \(0\) نمایندهٔ مجموعهٔ تهی است. به‌علاوه، این حقیقت آشکار را ملاحظه می‌کنیم که زیرمجموعه‌ای سره از یک مجموعهٔ متناهی \(A\) همواره اندازه‌ای کوچک‌تر از \(A\) دارد.
وقتی سراغ مجموعه‌های نامتناهی می‌رویم، نظریه خیلی جالب (و بسیار دور از ادراک شهودی) می‌شود. مجموعهٔ \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) یا همان مجموعهٔ اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. مجموعه‌ای مثل \(A\) را شمارا می‌نامیم، اگر بتوان آن را در تناظر یک‌به‌یک با \(\mathbb{N}\) قرار داد. به‌عبارت دیگر، \(A\) شماراست اگر بتوان عضوهای \(A\) را در فهرستی به‌صورت \(m_1\)، \(m_2\)، \(m_3\)، \(\dots\) قرار داد. ولی حال، پدیدهٔ غریبی رخ می‌دهد! فرض کنید عضو جدید \(x\) را به \(\mathbb{N}\) بیفزاییم. در این‌صورت \(\mathbb{N}\cup\{x\}\) باز هم شماراست، و بنابراین اندازه‌ای برابر \(\mathbb{N}\) دارد!
«هتل هیلبرت» تمثیل دلچسبی از این وضعیت است. فرض کنید هتلی تعدادی شمارا اتاق دارد که شماره‌های آنها \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(\dots\) است و مهمان \(g_i\) در اتاق \(i\) اقامت دارد؛ بنابراین، هتل کاملاً پر است.
حال مسافر جدیدی از راه می‌رسد و تقاضای اتاق می‌کند. مدیر هتل می‌گوید: متأسفم، همهٔ اتاق‌ها پر است. تازه‌وارد می‌گوید مسئله‌ای نیست، مهمان \(g_1\) را به اتاق \(2\) انتقال دهید، مهمان \(g_2\) را به اتاق \(3\)، \(g_3\) را به اتاق \(4\)، و به‌همین ترتیب. در این‌صورت من اتاق \(1\) را می‌گیرم. در میان شگفتی مدیر هتل (هرچه باشد او ریاضیدان نیست) این تدبیر کارساز است؛ او بازهم می‌تواند به همهٔ مهمان‌ها به‌اضافهٔ تازه‌وارد \(x\)، جا بدهد.
اکنون روشن است که او می‌تواند با همین روش به مهمان دیگری مثل \(y\) و مهمان دیگر مثل \(z\)، و \(\dots\) اتاق بدهد. به‌خصوص، ملاحظه می‌کنیم که، برخلاف مجموعه‌های متناهی کاملاً ممکن است که زیرمجموعه‌ای از یک مجموعهٔ نامتناهی \(A\)، هم‌اندازه با \(A\) باشد. در واقع، همان‌طور که خواهیم دید، مجموعهٔ نامنتاهی را می‌توان با این طریق توصیف کرد: یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر هم‌اندازه با زیرمجموعه‌ای سره باشد.
بیایید از هتل هیلبرت بیرون بیاییم و نظری به مجموعه‌های عددی آشنای خود بیندازیم. مجموعهٔ عددهای صحیح، \(\mathbb{Z}\)، نیز شماراست زیرا می‌توان \(\mathbb{Z}\) را به‌صورت
\[\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots\}\] مرتب کرد. شاید عجیب‌تر این باشد که مجموعهٔ عددهای گویا، \(\mathbb{Q}\)، نیز شماراست. با فهرست‌بندی مجموعهٔ عددهای گویای مثبت، \(\mathbb{Q}^+\)، به‌صورتی که در شکل دیده می‌شود، می‌بینیم که \(\mathbb{Q}^+\) شماراست.
پس اگر \(0\) را در آغاز فهرست قرار دهیم و \(-p/q\) را درست بعد از \(p/q\)،
می‌بینیم \(\mathbb{Q}\) هم شماراست:
\[\mathbb{Q}=\big\{0,1,-1,2,-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},3,-3,4,-4,\frac{3}{2},-\frac{3}{2},\dots\big\}.\]
گزارهٔ زیر، راه دیگری است برای تعبیر این شکل:
اجتماع تعدادی شمارا از مجموعه‌های \(A_n\)، شماراست.
در واقع، قرار می‌دهیم \(A_n=\{a_{n1},a_{n2},a_{n3},\dots\}\)، و فهرست زیر را دقیقاً مانند قبل تشکیل می‌دهیم:
\[\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\big\{a_{11},a_{21},a_{12},a_{13},a_{22},a_{31},a_{41},a_{32},a_{23},a_{14},\dots\big\}.\]
دربارهٔ عددهای حقیقی، \(\mathbb{R}\)، چه می‌توان گفت؟ آیا آنها هم شمارا هستند؟ نه، نیستند، و ابزاری که این موضوع را به‌وسیلهٔ آن نشان می‌دهند (روش قطری‌سازی کانتور) نه‌تنها اهمیت اساسی برای تمام نظریهٔ مجموعه‌ها دارد بلکه مسلماً به‌عنوان جرقهٔ نادر و بی‌نظیری از نبوغ به «کتاب» تعلق دارد.
قضیه. مجموعهٔ اعداد حقیقی شمارا نیست.
اثبات. هر زیرمجموعه‌ای مثل \(N\) از مجموعهٔ شمارای \(M=\{m_1,m_2,m_3,\dots\}\) حداکثر شماراست (یعنی، متناهی یا شماراست). در واقع کافی است عضوهای \(N\) را به‌ترتیبی که در \(M\) ظاهر می‌شوند مرتب کنیم. بر این اساس، اگر بتوانیم زیرمجموعه‌ای از \(\mathbb{R}\) پیدا کنیم که شمارا نباشد، \(\mathbb{R}\) هم به‌طریق اولی شمارا نیست. زیرمجموعهٔ \(M\) از \(\mathbb{R}\) که در جستجوی آنیم، بازهٔ \((0,1]\) از همهٔ عددهای حقیقی و مثبت \(r\) با ضابطهٔ \(0 < r\leq 1\) است. فرض کنید \(M\) شمارا باشد و \(M=\{r_1,r_2,r_3,\dots\}\) فهرستی از اعضای \(M\) باشد. \(r_n\) را به‌صورت بسط اعشاری نامتناهی یکتای آن بدون دنبالهٔ نامتناهی صفرها در انتها، می‌نویسیم: \[r_n=0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\dots\] که در آن برای هر \(n\) و \(i\) داریم \(a_{ni}\in\{0,1,\dots,9\}\). برای مثال، \(0.7=0.69999\dots\). اکنون آرایهٔ از دو سو نامتناهی زیر را در نظر بگیرید: \[\begin{aligned}r_1&=0.a_{11}a_{12}a_{13}\dots\\r_2&=0.a_{21}a_{22}a_{23}\dots\\\vdots\;&=\quad\vdots\\r_n&=0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\dots\\\vdots\;&=\quad\vdots\end{aligned}\] برای هر \(n\)، \(b_n\in\{1,\dots,8\}\) را متفاوت با \(a_{nn}\) انتخاب می‌کنیم؛ روشن است که این کار انجام‌شدنی است. حال \(b=0.b_1b_2b_3\dots b_n\dots\) عددی حقیقی در مجموعهٔ \(M\) مورد نظر است و بنابراین باید اندیسی داشته باشد مانند \(b=r_k\). اما این امکان ندارد زیرا \(b_k\) متفاوت با \(a_{kk}\) است. و این تمامِ اثبات است!
معرفی یک کتاب
علاقه‌مندان برای آشنایی بیشتر با هتل هیلبرت و کشفیات ریاضی دربارهٔ بینهایت، می‌توانند کتاب «پارادوکس هتل بینهایت هیلبرت» را مطالعه کنند. دراین کتاب ۷۰ صفحه‌ای، ابتدا مسئلهٔ هتل بینهایت هیلبرت معرفی می‌شود. سپس، یک گفتگوی خیالی بین هیلبرت و برخی از ریاضیدانان مهم قبل از او، دربارهٔ مفهوم بینهایت نوشته شده است. و در انتهای کتاب مسائلی دربارهٔ هتل هیلبرت وجود دارد.
