مطالب تدریس شده در کلاس

1. به‌ازای چه مقادیر صحیحی از $n$ حاصل عبارت $\dfrac{2n^2+9n+13}{n+2}$ عددی طبیعی است؟ همهٔ جواب‌ها را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

اگر \(2n^2+9n+13\) را بر \(n+2\) تقسیم کنیم، خارج‌قسمت و باقی‌مانده به‌ترتیب \(2n+5\) و \(3\) می‌شود. بنابراین،
\[\dfrac{2n^2+9n+13}{n+2}=2n+5+\frac{3}{n+2}.\] در اینجا با روشی دیگر تساوی بالا را می‌سازیم:
\[\begin{aligned}&\dfrac{2n^2+9n+13}{n+2}\\[7pt]&=\frac{2n^2+4n+5n+10+3}{n+2}\\[7pt]&=\frac{(2n^2+4n)+(5n+10)+3}{n+2}\\[7pt]&=\frac{2n(n+2)+5(n+2)+3}{n+2}\\[7pt]&=\frac{2n(n+2)}{n+2}+\frac{5(n+2)}{n+2}+\frac{3}{n+2}\\[7pt]&=2n+5+\frac{3}{n+2}.\end{aligned}\]
واضح است که برای هر مقدار صحیح \(n\)، \(2n+5\) نیز مقداری صحیح است. پس، ابتدا باید مقادیر صحیح \(n\) را بیابیم به‌طوری که حاصل \(\frac{3}{n+2}\) نیز صحیح باشد. در نتیجه، \(n+2\) باید شمارندهٔ صحیح عدد \(3\) باشد. بنابراین، چهار مقدار برای \(n+2\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}n+2=3&\Rightarrow n=1\\n+2=1&\Rightarrow n=-1\\n+2=-1&\Rightarrow n=-3\\n+2=-3&\Rightarrow n=-5.\end{aligned}\] حال باید بررسی کنیم که به‌ازای کدام مقادیر \(n\)، که در رابطه‌های بالا به‌دست آمد، حاصل عبارت
\[2n+5+\frac{3}{n+2}\] عددی طبیعی است.
\(\bullet\;\) اگر \(n=1\)، آنگاه
\[\begin{aligned}&2n+5+\frac{3}{n+2}\\[7pt]&=2(1)+5+\frac{3}{1+2}\\[7pt]&=8\in\mathbb{N}.\end{aligned}\]
\(\bullet\;\) اگر \(n=-1\)، آنگاه
\[\begin{aligned}&2n+5+\frac{3}{n+2}\\[7pt]&=2(-1)+5+\frac{3}{-1+2}\\[7pt]&=6\in\mathbb{N}.\end{aligned}\]
\(\bullet\;\) اگر \(n=-3\)، آنگاه
\[\begin{aligned}&2n+5+\frac{3}{n+2}\\[7pt]&=2(-3)+5+\frac{3}{-3+2}\\[7pt]&=-4\not\in\mathbb{N}.\end{aligned}\]
\(\bullet\;\) اگر \(n=-5\)، آنگاه
\[\begin{aligned}&2n+5+\frac{3}{n+2}\\[7pt]&=2(-5)+5+\frac{3}{-5+2}\\[7pt]&=-6\not\in\mathbb{N}.\end{aligned}\]
بنابراین، به‌ازای \(n=1\) و \(n=-1\)، حاصل عبارت $\dfrac{2n^2+9n+13}{n+2}$ عددی طبیعی است.

---

2. اگر عدد $1$ ریشهٔ چندجمله‌ای $P(x)$ باشد، آنگاه $P(x)$ بر $x-1$ بخش‌پذیر است. چرا؟
پاسخ را نشان بده!

این مسئله را در حالتی کلی‌تر مطرح و آن را حل می‌کنیم:

قضیهٔ بخش‌پذیری بر چندجمله‌ای‌های درجه \(1\)

فرض کنید \(k\) یک عدد حقیقی و \(P(x)\) یک چندجمله‌ای باشد.
الف) اگر \(k\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(P(x)\) باشد، یعنی \(P(k)=0\)، آن‌وقت \(P(x)\) بر \(x-k\) بخش‌پذیر است.
ب) اگر \(P(x)\) بر \(x-k\) بخش‌پذیر باشد، آن‌‌وقت \(k\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(P(x)\) است، یعنی \(P(k)=0\).

فرض کنیم \(Q(x)\) و \(r\) به‌ترتیب خارج‌قسمت و باقی‌ماندهٔ تقسیم \(P(x)\) بر \(x-k\) باشند. در این‌صورت، رابطهٔ تقسیم \(P(x)\) بر \(x-k\) این‌گونه است:
\[P(x)=(x-k)\times Q(x)+r.\quad(*)\]
توجه کنید که چون مقسوم‌علیه یک چندجمله‌ای درجه \(1\) است، پس باقی‌مانده از درجه \(0\) است. پس باقی‌مانده یک عدد حقیقی است که آن را با \(r\) نشان داده‌ایم.
اثبات قسمت «الف». می‌دانیم \(P(k)=0\). برای اینکه ثابت کنیم \(P(x)\) بر \(x-k\) بخش‌پذیر است کافی است نشان دهیم که در رابطهٔ \((*)\)، \(r=0\). با توجه به رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&P(x)=(x-k)\times Q(x)+r\\&\Rightarrow P(k)=(k-k)\times Q(k)+r\\&\Rightarrow 0=0\times Q(k)+r\\&\Rightarrow 0=r.\end{aligned}\]
اثبات قسمت «ب». می‌دانیم \(P(x)\) بر \(x-k\) بخش‌پذیر است. پس در رابطهٔ \((*)\)، \(r=0\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&P(x)=(x-k)\times Q(x)+0\\&\Rightarrow P(k)=(k-k)\times Q(k)\\&\Rightarrow P(k)=0\times Q(k)\\&\Rightarrow P(k)=0.\end{aligned}\]

---

3. ابتدا نشان‌ دهید عدد $1$ ریشهٔ چندجمله‌ای $x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8$ است. سپس ریشه‌های دیگر این چندجمله‌ای‌ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

عدد \(1\) ریشهٔ چندجمله‌ای $x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8$ است، زیرا به‌ازای \(x=1\)، حاصل این چندجمله‌ای برابر است با:
\[\begin{aligned}&(1)^5+2(1)^3-8(1)-(1)^4-2(1)^2+8\\&=1+2-8-1-2+8\\&=0.\end{aligned}\] پس، $x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8$ بر \(x-1\) بخش‌پذیر است. حال، اگر $x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8$ را بر \(x-1\) تقسیم کنیم، خارج‌قسمت و باقی‌مانده به‌ترتیب برابر \(x^4+2x^2-8\) و \(0\) می‌شود و با توجه به رابطهٔ تقسیم، داریم:
\[\begin{aligned}x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8&=(x-1)(x^4+2x^2-8).\end{aligned}\] می‌توان بدون استفاده از ریشه و رابطهٔ تقسیم، چندجمله‌ای $x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8$ را تجزیهٔ کرد:
\[\begin{aligned}&x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8\\&=(x^5+2x^3-8x)-(x^4+2x-8)\\&=x(x^4+2x^2-8)-1(x^4+2x^2-8)\\&=(x-1)(x^4+2x^2-8)\\&=(x-1)(x^2+4)(x^2-2)\\&=(x-1)(x^2+4)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).\end{aligned}\]


---

4. مجموع ضرایب چندجمله‌ای $3x^2+7x-12$ برابر است با $3+7-12=-2$.
   آیا می‌توانید یک چندجمله‌ای مثال بزنید که ریشه‌های آن $-1$ و $3$ و مجموع ضرایبش $-4$ باشد؟
پاسخ را نشان بده!

به‌سادگی می‌توان یک چندجمله‌ای درجه \(2\) ساخت که ریشه‌های آن \(-1\) و \(3\) باشند:
\[(x+1)(x-3)=x^2-2x-3.\] و خوشبختانه، مجموع ضرایب این چندجمله‌ای برابر \(-4\) است!


---

5. آیا می‌توانید یک چندجمله‌ای مثال بزنید که ریشه‌های آن $-2$ و $3$ و مجموع ضرایبش $20$ باشد؟
پاسخ را نشان بده!

به‌سادگی می‌توان یک چندجمله‌ای درجه \(2\) ساخت که ریشه‌های آن \(-2\) و \(3\) باشد:
\[(x-3)(x+2)=x^2-x-6.\] مجموع ضرایب این چندجمله‌ای برابر است با:
\[1-1-6=-6.\] پس اگر این چندجمله‌ای را در \(-\frac{20}{6}\) ضرب کنیم، مثال خواسته شده به‌دست می‌آید:
\[-\frac{20}{6}(x^2-x-6)=-\frac{20}{6}x^2+\frac{20}{6}x+20.\]


---

6. آیا می‌توانید یک چندجمله‌ای مثال بزنید که ریشه‌های آن $1$ و $2$ و مجموع ضرایبش $10$ باشد؟
پاسخ را نشان بده!

اگر عدد \(1\) ریشهٔ یک چندجمله‌ای باشد، آنگاه مجموع ضرایب آن چندجمله‌ای برابر \(0\) است. بنابراین، مثال خواسته شده، وجود ندارد.


---

چندجمله‌ای تحویل‌ناپذیر

یک چندجمله‌ای که تجزیه نشود را تحویل‌ناپذیر می‌نامند. برای مثال چندجمله‌ای زیر تحویل‌ناپذیر است.
\[x^2+1\]
اگر نتوان یک چندجمله‌ای را به چندجمله‌ای‌هایی با ضرایب صحیح تجزیه کرد، می‌گوییم آن چندجمله‌ای روی اعداد صحیح ($‎\mathbb{Z}‎$) تحویل‌ناپذیر است.
برای مثال، چندجمله‌ای زیر، روی $‎\mathbb{Z}‎$ تحویل‌ناپذیر است، زیرا نمی‌توان آن ‌را به‌صورت حاصل ضرب چندجمله‌ای‌های درجه‌ٔ کمتر، با ضرایب صحیح نوشت.
\[x^2-2\] اما چندجمله‌ای بالا روی اعداد حقیقی ($‎\mathbb{R}‎$) تجزیه می‌شود، زیرا می‌توان آن ‌را به‌صورت حاصل‌‌ضرب چندجمله‌ای‌های درجه‌ی کمتر، با ضرایب حقیقی نوشت، پس می‌توان گفت $x^2-2\;$ روی $‎\mathbb{R}‎$ تحویل‌پذیر است.
\[x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\]

---

7. در زیر، چندجمله‌ای $x^4+6x^2+3x^3+12x+8$ را به چندجمله‌ای‌های تحویل‌ناپذیر روی $‎\mathbb{Z}‎$ تجزیه کرده‌ایم. چرا چندجمله‌ای‌های سمت راست تساوی زیر، روی $‎\mathbb{Z}‎$ تحویل‌ناپذیرند؟
   \[x^4+6x^2+3x^3+12x+8=(x+1)(x+2)(x^2+4)\]
   پاسخ را نشان بده!
   
   با توجه به تعریف تجزیه، چندجمله‌ای‌های درجه \(1\) تحویل‌ناپذیرند. پس \(x+1\) و \(x+2\) روی \(\mathbb{Z}\) تحویل‌ناپذیرند.
   می‌دانیم \(x^2+4\) ریشه ندارد. پس نمی‌توان آن را به چندجمله‌ای‌های درجه \(1\) (که ریشه دارند) تجزیه کرد. بنابراین، \(x^2+4\) نیز روی \(\mathbb{Z}\) تحویل‌ناپذیر است.
   

   ---

8. فرض کنید $P(x)=14x^3-17x^2-37x+30$. ابتدا نشان دهید چندجمله‌ای $P(x)$ بر $x-2$ بخش‌پذیر است. سپس $P(x)$ را به چندجمله‌ای‌های تحویل‌ناپذیر روی $‎\mathbb{Z}‎$ تجزیه کنید.
   پاسخ را نشان بده!
   
   با تقسیم \(P(x)\) بر \(x-2\)، خارج‌قسمت و باقی‌مانده به‌ترتیب \(14x^2-11x+15\) و \(0\) می‌شود. سپس، با استفاده از رابطهٔ تقسیم می‌توان \(P(x)\) را به‌صورت
   \[(x-2)(14x^2-11x+15)\] نوشت، و بعد، \(14x^2-11x+15\) را به‌ چندجمله‌ای‌های تحویل‌ناپذیر روی \(\mathbb{Z}\) تجزیه کرد.
   ما در اینجا با روشی دیگر، \(P(x)\) را تجزیه می‌کنیم:
   \[\begin{aligned}&14x^3-17x^2-37x+30\\&=14x^3-7x^2-10x^2-42x+5x+30\\&=(14x^3-7x^2-42x)-(10x^2-5x-30)\\&=7x(2x^2-x-6)-5(2x^2-x-6)\\&=(7x-5)(2x^2-x-6)\\&=(7x-5)(2x^2-4x+3x-6)\\&=(7x-5)\big((2x^2-4x)+(3x-6)\big)\\&=(7x-5)\big(2x(x-2)+3(x-2)\big)\\&=(7x-5)(2x+3)(x-2).\end{aligned}\]
   

   ---

9. ابتدا یک چندجمله‌ای درجه $2$ با ضرایب صحیح بنویسید که ریشه‌هایش $‎\dfrac{1}{2}‎$ و $‎\dfrac{1}{3}‎$ باشند، طوری‌که مجموع ضرایب آن $6$ شود. سپس این چندجمله‌ای را روی $‎\mathbb{Z}‎$ تجزیه کنید.
پاسخ را نشان بده!

به‌سادگی می‌توان یک چندجمله‌ای درجه \(2\) با ضرایب صحیح ساخت که ریشه‌هایش $‎\dfrac{1}{2}‎$ و $‎\dfrac{1}{3}‎$ باشند:
\[\begin{aligned}&2(x-\frac{1}{2})\times 3(x-\frac{1}{3})\\&=(2x-1)(3x-1)\\&=6x^2-5x+1.\end{aligned}\] مجموع ضرایب این چندجمله‌ای برابر \(2\) است. بنابراین، چندجمله‌ای خواسته شده، می‌تواند به‌صورت زیر باشد:
\[3(2x-1)(3x-1)=18x^2-15x+3.\]


---

10. چندجمله‌ای زیر را به‌صورت حاصل ضرب چندجمله‌ای‌های تحویل‌ناپذیر بنویسید و برای تحویل‌ناپذیری هر یک از چندجمله‌ای‌ها دلیل بیاورید.
    \[x^3\big(x^2-7\big)^2-36x\]
    پاسخ را نشان بده!
    
    \[\begin{aligned}&x^3\big(x^2-7\big)^2-36x\\&=x\Big(x^2\big(x^2-7\big)^2-36\Big)\\&=x\Big(\big({\color{red}x(x^2-7)}\big)^2-{\color{blue}6}^2\Big)\\&=x\Big(\big({\color{red}x(x^2-7)}-{\color{blue}6}\big)\big({\color{red}x(x^2-7)}+{\color{blue}6}\big)\Big)\\&=x\big(x^3-7x-6\big)\big(x^3-7x+6\big).\end{aligned}\] اکنون با استفاده از روش حدس زدن ریشه، درمی‌یابیم که \(-1\) ریشهٔ \(x^3-7x-6\)، و \(1\) ریشهٔ \(x^3-7x+6\) است. بنابراین، \(x^3-7x-6\) و \(x^3-7x+6\) به‌ترتیب بر \(x+1\) و \(x-1\) بخش‌پذیرند. حال، با استفاده از روش هورنر، \(x^3-7x-6\) را بر \(x+1\) تقسیم می‌کنیم:
    
    همچنین، \(x^3-7x+6\) را بر \(x-1\) تقسیم می‌کنیم:
    
    بنابراین، داریم:
    \[\begin{aligned}&x\big(x^3-7x-6\big)\big(x^3-7x+6\big)\\&=x(x+1)(x^2-x-6)(x-1)(x^2+x-6)\\&=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-1)(x+3)(x-2).\end{aligned}\]
    در راه‌حل بالا، از فاکتورگیری، اتحاد مزدوج، ایدهٔ جلسهٔ دهم درسنامهٔ اتحاد و تجزیه، روش هورنر، و اتحاد جمله مشترک استفاده شده است.

    ---

    پرسش. آیا می‌توانید همهٔ جواب‌های معادلهٔ زیر را بیابید؟
    \[x^3\big(x^2-13\big)^2-144x=0\]

    ---

11. تجزیه کنید.

\[x^{10}+x^2+1\]

پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&x^{10}+x^2+1\\&=\big(x^2\big)^5+x^2+1.\end{aligned}\] برای سادگی، \(x^2\) را برابر \(y\) قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&\big(x^2\big)^5+x^2+1\\&=y^5+y+1\\&=y^5+{\color{red}y^2-y^2}+y+1\\&=(y^5-y^2)+(y^2+y+1)\\&=y^2(y^3-1)+(y^2+y+1)\\&=y^2(y-1){\color{blue}(y^2+y+1)}+1{\color{blue}(y^2+y+1)}\\&=\big(y^2(y-1)+1\big){\color{blue}(y^2+y+1)}\\&=(y^3-y^2+1)(y^2+y+1)\\&=\Big(\big(x^2\big)^3-\big(x^2\big)^2+1\Big)\Big(\big(x^2\big)^2+x^2+1\Big)\\&=(x^6-x^4+1)(x^4+x^2+1)\\&=(x^6-x^4+1)(x^4+x^2+1+{\color{red}x^2-x^2})\\&=(x^6-x^4+1)\big((x^2+2x+1)-x^2\big)\\&=(x^6-x^4+1)\big((x^2+1)^2-x^2\big)\\&=(x^6-x^4+1)(x^2+1-x)(x^2+1+x).\end{aligned}\]
در راه‌حل‌ بالا، تغییر متغیر، اضافه و کم کردن، دسته‌بندی، فاکتورگیری، و اتحاد چاق و لاغر استفاده شده است.

تمرین‌های روزانه

1. تجزیه کنید.

\[x^{10}+x^5+1\]

---

2. چند عدد صحیح مانند \(n\) وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت زیر عددی طبیعی شود؟

\[\frac{3n^4-5n^3+3n^2-15n-11}{n^2+3}\]

---

3. بنابه درخواست اعضای دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی نهم سمپاد، فایل‌ دوتا از آزمون‌هایی را که طراحی کرده‌ام، در اختیار عزیزان قرار می‌دهم.

   دانلود نمونه آزمون میان‌ترم نیم‌سال اولدانلود نمونه آزمون پایانی نیم‌سال اول