مطالب تدریس شده در کلاس

1. زیبا از مبدأ مختصات (نقطهٔ \(\big[{0\atop0}\big]\)) شروع به حرکت می‌کند. او در هر گام می‌تواند یک واحد به بالا، پایین، چپ، یا راست حرکت کند، اما نمی‌تواند در یک ردیف دو بار پشت سر هم حرکت کند. برای مثال، او نمی‌تواند از \(\big[{0\atop0}\big]\) به \(\big[{1\atop0}\big]\) و بعد به \(\big[{2\atop0}\big]\) برود. کمترین تعداد حرکتی که او می‌تواند برای رسیدن به نقطۀ \(\big[{1056\atop1007}\big]\) انجام دهد، چند حرکت است؟
پاسخ را نشان بده!

برای این‌که زیبا به نقطۀ \(\big[{1056\atop1007}\big]\) برسد، باید از نقطۀ \(\big[{0\atop0}\big]\) به سمت بالا و راست حرکت کند. او باید حداقل \(1056\) واحد به سمت راست \((R)\) حرکت کرده باشد. چون زیبا نمی‌تواند در یک ردیف دوبار پشت سر هم حرکت کند، پس او نمی‌تواند دوبار پشت هم به سمت راست حرکت کند. به عبارت دیگر، باید بین هر دو حرکت به سمت راست، حداقل یک حرکت به سمتی دیگر وجود داشته باشد.
چون \(1056\) حرکت به سمت راست داریم و باید حداقل یک حرکت (به سمت دیگری) بین دو حرکت \(R\) باشد، پس حداقل \(1055\) حرکت دیگر (بین \(1056\) حرکت \(R\)) خواهیم داشت (حداقل یک حرکت بین حرکت اول و دوم، یک حرکت بین حرکت دوم و سوم و \(\dots\)).
بنابراین، کمترین تعداد حرکتی که نیاز داریم، برابر است با: \[1056 + 1055 = 2111.\]
حال، اگر یک مسیر با \(2111\) حرکت بسازیم که از شرایط سؤال پیروی کند و زیبا را به مقصد برساند، پاسخ را به‌دست آورده‌ایم.

می‌دانیم که زیبا باید حداقل \(1007\) حرکت به سمت بالا \((U)\) داشته باشد. پس بین حرکت اول و دوم \(R\)، حرکت دوم و سوم \(R\)، \(\dots\)، و \(1007\)اُم و \(1008\)اُم \(R\)، یک حرکت \(U\) قرار می‌دهیم.
پس تا اینجا، \(1007\) حرکت \(U\) بین حرکت‌های \(R\) قرار داده‌ایم. و \(48\) حرکت دیگر بین حرکت‌های \(R\) باقی‌مانده است که باید آن‌ها را پر کنیم (\(1055-1007=48\)). توجه کنید که مجموع این \(48\) حرکت نباید تأثیری در موقعیت (مختصات) زیبا داشته باشد، و هیچ کدام از آن‌ها نباید \(R\) باشد. (زیرا این جاهای خالی بین حرکت‌های \(R\) است).
می‌توانیم با استفاده از \(24\) حرکت \(U\) و \(24\) حرکت \(D\) (حرکت به سمت پایین)، این جاهای خالی را پر کنیم. در این‌صورت، زیبا \(24\) حرکت به سمت پایین و \(24\) حرکت به سمت بالا داشته که در مجموع، هیچ تغییری در موقعیت (مختصات) او ایجاد نمی‌کند.

بنابراین با \(2111\) حرکت، طبق شرایط بالا، زیبا می‌تواند به نقطۀ \(\big[{1056\atop1007}\big]\) برسد، و \(2111\) حرکت، کمترین تعداد حرکت برای رسیدن به مقصد است.

---

2. عدد طبیعی \(n\)، \(8\)تا شمارنده دارد. دوتا از این شمارنده‌ها \(14\) و \(21\) هستند. حاصل‌جمع همهٔ شمارنده‌های \(n\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

چون \(14=2\times7\) و \(21=3\times7\)، پس اعداد
\[1,2,3,7,14,21\] شمارنده‌های \(n\) هستند که تعداد آنها شش‌تاست. دو شمارندهٔ دیگر \(n\) را باید بیابیم.
می‌دانیم که اگر عدد هم بر \(2\) و هم بر \(3\) بخش‌پذیر باشد، آنگاه بر \(6\) نیز بخش‌پذیر است؛ پس \(6\) نیز شمارندهٔ \(n\) است. همچنین، چون \(14\) و \(21\) شمارندهٔ \(n\) هستند، پس ک‌م‌م این دو عدد، یعنی \(42\) نیز شمارندهٔ \(n\) است. حالا، هشت شمارندهٔ \(n\) را داریم:
\[1,2,3,6,7,14,21,42.\] بنابراین، \(n=42\).

باتوجه‌به متن زیر، به‌ سه سؤال بعد از آن پاسخ دهید.

به جسم‌های سه‌بعدی که از به‌هم چسباندن یک (یا چند) وجهِ مکعب‌های واحد به یکدیگر ساخته می‌شوند، «چندحجره‌ای» می‌‌گوییم. برای مثال، در زیر، شش نوع ۴حجره‌ای را مشاهده می‌کنید.



---

3. از هریک از انواع شش‌تا ۴حجره‌ای بالا، دو تا داریم. با این ۴حجره‌ای‌ها تعدادی مکعب توپُر $2\times 2\times 2$ ساخته‌ایم. چند نوع از این ۴حجره‌ای‌ها امکان ندارد در این مکعب‌های ساخته شده به‌کار رفته باشد؟
پاسخ را نشان بده!

با سه ۴حجره‌ای‌ مشخص شده‌ در شکل زیر، می‌توان یک مکعب توپُر \(2\times2\times2\) ساخت و با سه تا ۴حجره‌ای دیگر، نمی‌توان این کار را انجام داد.




---

4. شکل زیر، یک ۳حجره‌ای است. سه نقطهٔ \(A\)، \(B\)، و \(C\) از یک سطح مقطع داده شده است. کدام‌یک از نقطه‌های زیر روی این سطح مقطع قرار ندارد؟


۱) \(D\)
۲) \(E\)
۳) \(F\)
۴) \(G\)

پاسخ را نشان بده!

واضح است که این سطح مقطع از نقطه‌های \(D\)، \(E\)، و \(F\) می‌گذرد. (ویدئوی زیر را ببینید.)

---

5. شکل زیر، نمای بالا و روبه‌روی یک چندحجره‌ای را نشان می‌دهد. حجم این چندحجره‌ای حداقل چقدر است؟



پاسخ را نشان بده!

با توجه به ویدئوی زیر، حجم این چندحجره‌ای حداقل برابر \(5\) است.

---

6. علی خانه‌های یک جدول \(3\times3\) را همانند شکل زیر، سیاه و سفید کرده است. حسین بدون اینکه از رنگ‌آمیزی علی اطلاعی داشته باشد، یکی از خانه‌های جدول را انتخاب می‌کند. سپس، علی رنگ این خانه را تغییر می‌دهد (از سیاه به سفید و برعکس). احتمال این‌که در جدول حاصل سطر یا ستونی وجود داشته که هر سه خانهٔ آن همرنگ باشند چقدر است؟
   
پاسخ را نشان بده!

سطرهای را از بالا به پایین و ستون‌ها را از چپ به راست شماره‌گذاری می‌کنیم.
اگر حسین خانهٔ سوم سطر اول، خانه‌های اول و دوم سطر دوم، یا خانه‌های دوم و سوم سطر سوم، انتخاب کرده باشد و علی رنگ این خانه را تغییر دهد، آن‌وقت یک سطر یا ستون همرنگ خواهیم داشت. پس احتمال خواسته شده برابر \(\frac{5}{9}\) است.


---

7. در کلاه یک شعبده‌باز $9$ موش و تعدادی خرگوش وجود دارد. اگر احتمال بیرون آوردن یک خرگوش از این کلاه $‎\frac{4}{7}‎$ باشد، تعداد خرگوش‌ها چقدر است؟
پاسخ را نشان بده!

فرض کنیم، $x$ تعداد خرگوش‌ها باشد. دراین‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{9+x}=\frac{4}{7}\\[8pt]&\Rightarrow7x=4(9+x)\\&\Rightarrow7x=36+4x\\&\Rightarrow3x=36\\&\Rightarrow x=12.\end{aligned}\]


---

8. در کلاه یک شعبده‌باز $n$ موش و تعدادی خرگوش وجود دارد. اگر بدانیم \(n\) عددی کوچکتر از \(13\) و احتمال بیرون آوردن یک خرگوش از این کلاه $‎\frac{4}{7}‎$ باشد، تعداد خرگوش‌ها چندتا می‌تواند باشد؟
پاسخ را نشان بده!

فرض کنیم، $x$ تعداد خرگوش‌ها باشد. دراین‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{n+x}=\frac{4}{7}\\[8pt]&\Rightarrow7x=4(n+x)\\&\Rightarrow7x=4n+4x\\&\Rightarrow3x=4n\\&\Rightarrow x=\frac{4}{3}n.\end{aligned}\]

چون می‌دانیم \(n < 13\) و \(x\) عددی صحیح است، پس \(n\) می‌تواند همهٔ مضارب \(3\) کوچک‌تر از \(13\) باشد. بنابراین، همهٔ مقادیر ممکن برای تعداد موش‌ها عبارتند از:
\[3,6,9,12.\]

در هریک از حالت‌های بالا، تعداد خرگوش‌ها به‌ترتیب برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}(3)=4\\&\frac{4}{3}(6)=8\\&\frac{4}{3}(9)=12\\&\frac{4}{3}(12)=16.\end{aligned}\]

---

9. چهار جفت جوراب در یک کیسه وجود دارد. دو لنگه به تصادف از این کیسه بیرون می‌کشیم. احتمال اینکه این جوراب‌ها لنگه به لنگه باشند، چقدر است؟
پاسخ را نشان بده!

جوراب‌ها را با شماره‌های ۱ تا ۸ شماره‌گذاری می‌کنیم. فرض کنید ۱و۲ جفت اول، ۳و۴ جفت دوم، ۵و۶ جفت سوم، و ۷و۸ جفت چهارم باشند.

تعداد کل حالت‌های ممکن برای بیرون کشیدن دو لنگه جوراب از کیسه برابر ۲۸ است. (چرا؟)

چرا؟

ابتدا قسمت «د» تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید.
اگر این ۸ جوراب را ۸ شهر در نظر بگیریم و انتخاب دو لنگه از آنها به معنی وجود یک راه‌ هوایی بین دو شهر (دو جوراب) انتخاب شده باشد، آنگاه تعداد کل حالت‌های انتخاب ۲ لنگه جوراب از ۸ لنگه جوراب، معادل مسئلهٔ زیر است:
«کشوری ۸ شهر دارد که بین هر دو شهر آن یک خط هوایی دایر است. چند خط هوایی در این کشور وجود دارد؟»
که پاسخ مسئله بالا از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:
\[\begin{aligned}&7+6+5+4+3+2+1\\&=\frac{7\times8}{2}\\&=28.\end{aligned}\]

احتمال اینکه جوراب‌ها لنگه‌به‌لنگه نباشند برابر $\dfrac{1}{7}$ است. (چرا؟)

چرا؟

چون تعداد کل حالت‌های ممکن ۲۸ حالت است و تعداد حالت‌هایی که جوراب‌های لنگه‌به‌لنگه نباشند ۴ حالت است (انتخاب ۱و۲ یا ۳و۴ یا ۵و۶ یا ۷و۸)، پس احتمال اینکه جوراب‌ها لنگه‌به‌لنگه نباشند برابر است با:
\[\frac{4}{28}=\frac{1}{7}.\]

بنابراین احتمال اینکه جوراب‌ها لنگه‌به‌لنگه باشند، برابر است با:
\[1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}.\]


---

10. ده نفر را به‌تصادف در یک صف قرار داده‌ایم. علی و محسن دو نفر از این ده نفر هستند. چقدر احتمال دارد که در این صف، علی جلوتر از محسن ایستاده باشد؟ (لزومی ندارد که علی و محسن پشت‌ سر هم باشند.)
پاسخ را نشان بده!

واضح است در نیمی‌ از حالت‌های ایستادن این ده نفر در یک صف، علی جلوتر از محسن است و در نیمی دیگر، محسن جلوتر از علی است. پس، احتمال خواسته شده برابر است با \(\frac{1}{2}\).


---

11. مطابق مراحل زیر، می‌توان به هر پاره‌خط یک دست‌انداز اضافه کرد:

مرحلهٔ اول. ‌پاره‌خط را به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.
مرحلهٔ دوم. یک مثلث متساوی‌الاضلاع روی پاره‌خط میانی می‌سازیم.
مرحلهٔ سوم. پاره‌خط میانی را حذف می‌کنیم.
در شکل زیر، سه مرحلهٔ بالا روی پاره‌خطی به طول \(3\) اجرا شده است.


الف) پاره‌خطی به طول \(21\) داریم. بعد از اینکه یک دست‌انداز روی آن ایجاد کنیم، طول پاره‌خط چقدر می‌شود؟


پاسخ را نشان بده!

ابتدا این پاره‌خط را به سه‌ قسمت تقسیم می‌کنیم:
\[21\div3=7.\]
سپس، با ایجاد دست‌انداز، چهار پاره‌خط به‌طول \(7\) خواهیم داشت:
\[7\times4=28.\]
دو مرحلهٔ این راه‌حل را می‌توان ترکیب کرد. یعنی:
\[21\times\frac{4}{3}=28.\]

ب) روی یک پاره‌خط یک دست‌انداز ایجاد کرده‌ایم و طول آن \(210\) شده است. طول پاره‌خط اولیه چقدر بوده است؟


پاسخ را نشان بده!

اگر طول پاره‌خط اولیه \(m\) باشد، آنگاه
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}m=210\\[7pt]&\Rightarrow m=210\times\frac{3}{4}\\[7pt]&\Rightarrow m=\frac{315}{2}=157.5\end{aligned}\]


ج) مونا روی پاره‌خطی به طول \(36\) یک دست‌انداز ایجاد کرد و آن را مسیر ۱ نامید. سپس روی هریک از پاره‌خط‌های مسیر ۱، یک دست‌انداز ساخت تا مسیر ۲ ساخته شود. بعد، همین‌ عملیات را روی مسیر ۲ انجام داد تا مسیر ۳ ساخته شود. طول مسیر ۳ چقدر است؟
در شکل زیر، مسیر ۱ و مسیر ۲ مونا رسم شده است.


پاسخ را نشان بده!

طول مسیر ۱ برابر است با:
\[36\times\frac{4}{3}=48.\]
برای ساخت مسیر ۲، هر قسمت مسیر ۱، یعنی هر پاره‌خط به‌طول \(12\)، \(\frac{4}{3}\) برابر می‌شود و در نتیجه، کل مسیر \(\frac{4}{3}\) برابر می‌شود. یعنی طول مسیر ۲ برابر است با:
\[48\times\frac{4}{3}=64.\] با همین استدلال، طول مسیر ۳ برابر است با:
\[\frac{4}{3}\times64=\frac{256}{3}.\]
می‌توانستیم، طول مسیر ۳ را این‌گونه به‌دست آوریم:
\[\big(\frac{4}{3}\big)^3\times36.\]


د) آرمیتا روی یک پاره‌خط به طول \(n\) یک دست‌انداز ایجاد کرد و مسیر ساخته شده را مسیر ۱ نامید. سپس روی هریک از پاره‌خط‌های مسیر ۱ یک دست‌انداز ایجاد کرد و مسیر ساخته شده را مسیر ۲ نامید. او همین کار را تکرار کرد تا مسیر ۳، مسیر ۴، و مسیر ۵ ساخته شوند. اگر \(n\) عددی طبیعی بوده باشد و طول مسیر ۵ نیز عددی طبیعی شود، آن‌وقت کمترین مقدار ممکن برای \(n\) چیست؟

پاسخ را نشان بده!

با توجه به قسمت قبل، طول مسیر ۵ برابر است با:
\[\big(\frac{4}{3}\big)^5n=\frac{4^5}{3^5}n\] پس \(n\) باید بر \(3^5\) بخش‌پذیر باشد و در نتیجه، کمترین مقدار ممکن برابر \(n\) برابر \(3^5\) است.


---

12. شکل زیر، گستردهٔ یک مکعب را نشان می‌دهد که روی وجه‌های آن اعداد \(1\) تا \(6\) نوشته شده است.



فرض کنید تعداد زیادی از مکعب‌های بالا داشته باشیم. اگر تعدادی از آنها را به‌صورت زیر، به یکدیگر بچسبانیم و شکل حاصل را به‌صورت زیر، روی یک میز قرار دهیم، مجموع عددهای نوشته شده روی وجه‌هایی که دیده می‌شوند، حداکثر چقدر است؟



پاسخ را نشان بده!

با توجه به گستردهٔ داده شده، سه وجه \(6\)، \(5\)، \(4\) می‌توانند در یک رأس مشترک باشند. برای اینکه مجموع عددهای نوشته شده روی وجه‌هایی که دیده می‌شوند حداکثر باشد، همهٔ وجه‌های بالایی را \(6\) در نظر می‌گیریم. وجه‌ دیگر معکب‌های کناری (به‌غیر از مکعب‌های چهارگوشه) را \(5\)، و دو وجه دیگر مکعب‌های چهارگوشهٔ شکل را \(5\) و \(4\) در نظر می‌گیریم. به‌ این‌ترتیب، مجموع عددهای نوشته شده روی وجه‌هایی که دیده می‌شوند برابر است با:
\[\begin{aligned}&6\times49+5\times20+(4+5)\times4\\&=294+100+36\\&=430.\end{aligned}\]


---

---

تمرین‌های روزانه

به‌زودی!