همرسی ارتفاع‌ها

قضیهٔ همرسی ارتفاع‌ها

از هر رأس مثلث خطی موازی با ضلع مقابل به آن رسم میکنیم. این خطوط یکدیگر را قطع می‌کنند و یک مثلث جدید تشکیل می‌شود.

در چهار ضلعی $ABCN$، داریم $AB\parallel CN$ و $AN\parallel CN$. پس $ABCN$ متوازی‌الاضلاع است و
\[AB=CN\quad(1)\]
و
\[AN=BC.\quad(2)\]
در چهارضلعی $ACBP$، می‌دانیم $AC\parallel BP$ و $AP\parallel BC$. پس چهارضلعی $ACBP$ متوازی‌الاضلاع است و
\[AP=BC\quad(3)\]
و
\[AC=BP.\quad(4)\]
در چهارضلعی $ABMC$، می‌دانیم $AC\parallel BM$ و $AB\parallel CM$. پس چهارضلعی $ABMC$ متوازی‌الاضلاع است و
\[AB=CM\quad(5)\]
و
\[AC=BM.\quad(6)\]
از $(1)$ و $(5)$ نتیجه می‌گیریم که $C$ وسط $MN$ است.
از $(2)$ و $(3)$ نتیجه می‌گیریم که $A$ وسط $NP$ است.
از $(4)$ و $63)$ نتیجه می‌گیریم که $B$ وسط $MP$ است.
طبق قضیه دو خط موازی، ارتفاع وارد بر ضلع $BC$ بر $NP$ نیز عمود است.

طبق قضیه دو خط موازی، ارتفاع وارد بر ضلع $AC$ بر $MP$ نیز عمود است.
طبق قضیه دو خط موازی، ارتفاع وارد بر ضلع $AB$ بر $MN$ نیز عمود است.
پس ارتفاع $AE$، عمود منصف ضلع $NP$ است.
پس ارتفاع $BF$، عمود منصف ضلع $MP$ است.

بنابر قضیه همرسی عمود منصف‌های اضلاع مثلث، عمود منصف‌های اضلاع مثلث $MNP$ همرس هستند.
عمودمنصف ضلع $MN$ همان ارتفاع وارد بر $AB$ از رأس $C$ است.
پس ارتفاع‌های مثلث $ABC$ همرس هستند.