قضیهٔ همرسی نیم‌سازها
در هر مثلث، نیم‌ساز زاویه‌های داخلی همرس هستند.
در مثلث $ABC$، نیم‌ساز زاویه‌های $A$ و $B$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کنند.
از $D$ بر اضلاع مثلث عمود می‌کنیم.
\[DE=DF.\quad(1)\]
چرا؟
همچنین
\[DF=DH.\quad(2)\]
چرا؟
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[DE=DH.\quad(3)\]
با استفاده از نهم. فصل ۳. قضیهٔ نیم‌ساز و عکس آن، نقطهٔ $D$ روی نیم‌ساز زاویهٔ $C$ قرار دارد.
نتیجهٔ قضیهٔ همرسی نیم‌سازها. اگر به مرکز محل برخورد نیم‌سازها و شعاع فاصلهٔ آن تا ضلع مثلث یک دایره رسم کنیم، ضلع‌های مثلث بر دایره مماس می‌شوند. به این دایره، دایره محاطی داخلی مثلث می‌گویند.
