نهم. فصل ۳. قضیهٔ ض‌‌ض‌ض

قضیهٔ ض‌ض‌ض. اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث همنهشت‌اند.

---

فرض. سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر هستند.
حکم. این دو مثلث همنهشت هستند.

---

اثبات. فرض کنیم که در دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) داشته باشیم \(AB=DE\)، \(AC=DF\)، و \(BC=EF\). می‌خواهیم ثابت کنیم که دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) همنهشت‌اند.

یک نقطه مانند \(G\) می‌توان یافت به‌طوری‌که \(G\) و \(B\) در دو طرف \(AC\) باشند و \(C\widehat{A}G=\widehat{D}\). روی نیم‌خط \(AG\) می‌توان نقطهٔ \(H\) را طوری مشخص کرد که \[AH=DE.\quad(1)\].

پس بنابه حالت ض‌زض داریم: \[\begin{aligned}&\overset{\triangle}{DEF}\cong\overset{\triangle}{AHC}\quad(2)\\&EF=HC.\quad(3)\end{aligned}\]

سه حالت برای مثلث‌های \(ABC\)، \(DEF\)، و \(AHC\) در نظر می‌گیریم:

حالت اول.

حالت دوم.

حالت سوم.

در هریک از سه‌حالت بالا، داریم:
\[\begin{aligned}&AB=AH\quad(4)\\&BC=HC.\quad(5)\end{aligned}\]
(چرا؟)

در هریک از حالت‌های بالا ثابت می‌کنیم که دو مثلث \(ABC\) و \(AHC\) همنهشت‌اند.

اثبات‌ حالت‌ اول. \(B\) را به‌ \(H\) وصل می‌کنیم.

در مثلث‌های \(ABH\) و \(CBH\)، بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم: \(\widehat{B}_1=\widehat{H}_1\) و \(\widehat{B}_2=\widehat{H}_2\). در نتیجه:
\[\begin{aligned}&\widehat{B}_1+\widehat{B}_2=\widehat{H}_1+\widehat{H}_2\\&\Rightarrow A\widehat{B}C=A\widehat{H}C.\quad(6)\end{aligned}\] پس بنابه حالت ض‌زض داریم: \[\overset{\triangle}{ABC}\cong\overset{\triangle}{AHC}.\quad(7)\] (چرا؟)

حال، از رابطه‌های \((2)\) و \((7)\) نتیجه می‌شود که دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) همنهشت‌اند.

اثبات حالت دوم. در این حالت، نقطه‌های \(B\)، \(A\)، و \(H\) روی یک خط قرار دارند. در مثلث \(BCH\)، بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم: \[C\widehat{B}A=C\widehat{H}A.\quad(8)\]

پس بنابه حالت ض‌زض داریم: \[\overset{\triangle}{ABC}\cong\overset{\triangle}{AHC}.\quad(9)\] (چرا؟)

حال، از رابطه‌های \((2)\) و \((9)\) نتیجه می‌شود که دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) همنهشت‌اند.

اثبات حالت سوم. \(B\) را به‌ \(H\) وصل می‌کنیم. بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، در مثلث‌های \(CBH\) و \(ABH\) داریم: \(C\widehat{B}H=C\widehat{H}B\) و \(\widehat{B}_2=\widehat{H}_2\). در نتیجه:
\[\begin{aligned}&C\widehat{B}H-\widehat{B}_2=C\widehat{H}B-\widehat{H}_2\\&\Rightarrow \widehat{B}_1=\widehat{H}_1.\quad(10)\end{aligned}\]

پس بنابه حالت ض‌زض داریم: \[\overset{\triangle}{ABC}\cong\overset{\triangle}{AHC}.\quad(11)\] (چرا؟)

حال، از رابطه‌های \((2)\) و \((11)\) نتیجه می‌شود که دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) همنهشت‌اند.

---

همان‌طور که دیدید برای اثبات همنهشتی مثلث ها در حالت سه ضلع از حالت ض‌ز‌ض و قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین استفاده کردیم. توجه کنید که در قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، از قضیه ض‌‌ض‌ض استفاده نکرده‌ایم.

---