پارادوکس راسل

اکثر کسانی که برای نخستین‌بار با مفهوم مجموعه آشنا می‌شوند، ممکن است توجه نکنند که در نظر گرفتن «مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها» یا «مجموعهٔ جهانی» به معنای مطلق می‌تواند بسیار خطرناک باشد!
از سال \(1895\) که جرج کانتور برای نخستین‌بار نظریهٔ مجموعه‌ها را به‌وجود آورد، تا سال \(1902\) که پارادوکس راسل منتشر شد، وجود «مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها» فرضی مسلم بود. برتراند راسل، فیلسوف مشهور انگلیسی، در سال \(1902\) با اعلام این مطلب که پذیرش «مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها» یک تناقض است، جامعهٔ ریاضیدانان را به لرزه درآورد!

پرسش راسل این بود: «آیا مجموعه همه مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند، عضوی از خودش است یا نه؟!»
به عبارت دیگر، فرض کنید \(U\) مجموعهٔ جهانی باشد و مجموعه‌ٔ \(R\) شامل همهٔ مجموعه‌هایی باشد که عضو خودشان نیستند. یعنی: \[R=\{S\in U\mid S\notin S\}.\] حال، بررسی می‌کنیم که آیا \(R\) عضوی از خودش است یا نه.
حالت اول. اگر \(R\) عضوی از خودش باشد، آنگاه با توجه به تعریف، \(R\) عضو خودش نیست!
حالت دوم. اگر \(R\) عضوی از خودش نباشد، آنگاه با توجه تعریف، \(R\) عضو خودش است!
در اینجا روشن نیست که در نهایت مجموعهٔ \(R\) عضو خودش هست یا نه.

مثال‌های گوناگونی از پارادکس راسل وجود دارد که یکی از آنها این‌گونه است: «در دهکده‌ای یک آرایشگر هست که فقط و فقط ریش کسانی را می‌تراشد که ریش خود را نمی‌تراشند. آیا این آرایشگر ریش خودش را می‌تراشد یا نه؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است:
حالت اول. اگر این آرایشگر ریش خود را نتراشد، پس او جزء افرادی که ریش خود را نمی‌تراشند، و در نتیجه، ریش خود را می‌تراشد.
حالت دوم. اگر این آرایشگر ریش خود را بتراشد، پس او جزء افرادی که ریش خود را نمی‌تراشند، و در نتیجه ریش خود را نمی‌تراشد.
در اینجا مشخص نیست که در نهایت این آرایشگر با ریش خود چه می‌کند! خودش آن را می‌تراشد یا نه.

شاید بتوان گفت که پارادوکس راسل، مشهورترین پارادوکس تاریخ ریاضیات است. این پارادوکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضی‌دانان نسبت به مفهوم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادوکس، تعریف ناسازگاری است که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضیدانان وجود دارد.

پارادوکس راسل و تعریف مجموعه

جرج کانتور در سال \(1895\) نظریهٔ‌ نوین مجموعه‌ها را به‌وجود آورد. او هنگام مطالعهٔ سری‌های مثلثاتی متوجه شد که به‌جود چنین نظریه‌ای نیاز است. کانتور نوشت: «منظور از مجموعه، هر دسته‌ای از اشیاء متمایز در شعور یا فکر ماست به‌صورت یک کل». این تعریف مانع نمی‌شود که «مجموعهٔ‌ تمام مجموعه‌ها»، مجموعه نباشد، و راسل با استفاده از آن پارادوکس مشهور خود را ارائه کرد. مشکل واقعی در تعریف کانتور برای مجموعه، واژهٔ «دسته» است.

دسته یعنی چه؟ البته می‌توانیم به واژه‌نامه‌های معتبر نگاه کنیم و به چیزهایی شبیه این تعریف‌ها دست یابیم:
دسته: گروهی از اشیاء گردآوری شده
گروه: یک گردایه یا دسته
گردایه: یک دسته
با این تعریف‌ها دردی دوا نمی‌شود. هنگامی که یک ریاضیدان تعریفی ارائه می‌دهد منظورش تنها آوردن یک مترادف مانند دسته به‌جای مجموعه و یا تعریف دوری که در واژه‌نامه‌ها می‌یابیم، نیست. ظاهراً کانتور واقف نبود که واژهٔ مجموعه واقعاً تعریف‌ناپذیر است.
برای اجتناب از هر مشکلی، نظیر پارادوکس راسل، در نظریهٔ مجموعه‌ها باید واژه‌های «مجموعه» و «عضو» را به‌عنوان واژه‌های تعریف نشده، یا اولیه، بپذیریم.

منابع: کتاب نظریهٔ مجموعه‌ها و کاربردهای آن و دانشنامهٔ رشد

فهرست درسنامهٔ مجموعه‌ها

با کلیک روی هریک از لینک‌های زیر، صفحهٔ مربوطه باز خواهد شد.

جلسهٔ اول: معرفی مجموعه

پارادوکس راسل (برای معلمان و دانش‌آموزان علاقه‌مند)

جلسهٔ دوم: عضویت و برابری

جلسهٔ سوم: زیرمجموعه

تمرین‌های جلسه‌های اول، دوم، و سوم

جلسهٔ چهارم: نمایش مجموعه‌ها با نمودار ون

جلسهٔ پنجم: نمایش مجموعه‌ها با نمادهای ریاضیتمرین‌های جلسهٔ پنجم

جلسهٔ ششم: اجتماع و اشتراک تمرین‌های جلسهٔ ششم

جلسهٔ هفتم: تفاضل مجموعه‌ها تمرین‌های جلسهٔ هفتم