آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۸۵

آزمون ورودی تیزهوشان و نمونه دولتی. ۱۱ خرداد ۹۷. پرسش ۸۵.  مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ \(5\) متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال \(40\) متر و طول دروازه \(8\) متر است.)
۱) \(6\) متر
۲) ‌\(8\) متر
۳) \(12\) متر
۴) \(13\) متر

---

نقد مسئله

ایدهٔ یافتن کوتاهترین مسیر که در طراحی این مسئله به‌کار رفته، ایدهٔ معروفی است. این ایده در یکی از مسائل کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم سمپاد (تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷) استفاده شده است؛ و در کتاب‌های تکمیلی فقط در همین مسئله، ایدهٔ کوتاهترین مسیر به‌کار گرفته شده است. برای دیدن راهنمای حل مسئله ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، اینجا را کلیک کنید.
در کتاب‌های درسی دورهٔ اول متوسطه، در هیچ مسئله‌ای ایدهٔ کوتاهترین مسیر وجود ندارد.
اما در کتاب‌ هندسه یازدهم (صفحه‌‌های ۵۳،‌ ۵۴، و ۵۵) بخشی با عنوان «مسائل پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر» وجود دارد و در این بخش کتابِ هندسهٔ یازدهم، این ایده تشریح شده است.

آیا در دفترچه راهنمای ثبت‌نام آزمون مدارس سمپاد و نمونه دولتی، کتاب هندسهٔ یازدهم به‌عنوان منبع آزمون معرفی شده است؟!

---

راهنمای حل

قبل از خواندن راه‌حل این مسئله، راهنمای حل تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را دقیق بخوانید.

از محل ایستادن حسین، خطی موازی با خط دروازه رسم می‌کنیم (خط زرد در شکل زیر). فاصلهٔ همهٔ نقاط روی خط زرد از خط دروازه برابر ۵ متر است.(؟) از تیر دروازه خطی بر خط دروازه عمود کرده‌ایم؛ این عمود، خط زرد را در نقطهٔ $P$ قطع کرده است.

واضح است نقاطی از خط زرد که در سمت چپ نقطهٔ $P$ قرار دارند، جواب مسئله نیستند.(؟)

مسئله از ما چه می‌خواهد؟!

تیر دروازه را $T$ می‌نامیم. پاره‌خط $TP$ را از طرف $P$ به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم و نقطهٔ‌ حاصل را  $K$ می‌نامیم. جای سعید (نقطهٔ کرنر) را $S$ و محل برخورد پاره‌خط $SK$ با خط زرد را $H$ می‌نامیم.

اگر ثابت کنیم که \(HK=HT\)، آن‌وقت چون \(SH+HK\) کوتاهترین فاصلهٔ بین \(S\) و \(K\) است، پس، \(SH+HT\) نیز کوتاهترین مسیر برای توپ در این مسئله است. (تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مثلث $STK$ قائم‌الزاویه است ($K\widehat{T}S=90^\circ$)، $KT=10$، و $ST=24$. (چرا؟)

در ادامه، برای پیدا کردن فاصلهٔ‌ حسین از سعید (طول $HS$)، ابتدا طول $KS$ را به‌دست می‌آوریم و سپس، ثابت می‌کنیم که طول $KS$ دوبرابر طول $HS$ است.

به‌سادگی می‌توان ثابت کرد: \[HK=HT.\quad(1)\] (چگونه؟)

حال، از متساوی‌الساقین بودن مثلث \(HKT\) و قائم‌الزاویه بودن مثلث \(KTS\) نتیجه می‌شود: \[HS=HT.\quad(2)\]

اکنون با توجه به رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم: \[HS=HK\] یعنی طول \(KS\) دوبرابر طول \(HS\) است.

حال، با به‌کارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $STK$ داریم:
\[KS=26\quad (1)\]
(چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}HT=HS&=\frac{KS}{2}\\[7pt]&=\frac{26}{2}\\[7pt]&=13.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

---

ایرادهای فوتبالی مسئله!

عرض زمین فوتبال حداقل ۴۵ متر است.
فاصلهٔ حسین از خط دروازه ۵ متر است. پس باتوجه‌به ابعاد محوطهٔ دروازه‌بان (محوطهٔ ۶ قدم)،  جایگاه حسین در شکل، درست نیست.
طول دروازهٔ فوتبال ۷ متر و ۳۲ سانتی‌متر است.

برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ زمین فوتبال، اینجا را کلیک کنید.

---