«حاصل‌جمع منفی‌مثبتِ» عدد \(23485\) برابر است با:
\[2-3+4-8+5=0.\]در حالت کلی، برای به‌دست آوردن حاصل‌جمع منفی‌مثبتِ یک عدد طبیعی، بین رقم‌های آن عدد، از چپ به راست و یکی‌درمیان، علامت‌های \(-\) و \(+\) قرار می‌دهیم و حاصل عبارت را محاسبه می‌کنیم.
یک عدد طبیعی بر \(11\) بخش‌پذیر است هروقت حاصل‌جمع منفی‌مثبتِ آن عدد بر \(11\) بخش‌پذیر باشد. برای مثال، عدد \(23485\) بر \(11\) بخش‌پذیر است، چون حاصل‌جمع منفی‌مثبتِ \(23485\) برابر \(0\) است و \(0\) بر \(11\) بخش‌پذیر است. همچنین، \(92807\) بر \(11\) بخش‌پذیر است چون حاصل‌جمع منفی‌مثبتِ \(92807\) برابر \(22\) است و \(22\) بر \(11\) بخش‌پذیر است. اما \(60432\) بر \(11\) بخش‌پذیر نیست چون حاصل‌جمع منفی‌مثبتِ \(60432\) برابر \(9\) است و \(9\) بر \(11\) بخش‌پذیر نیست.
با ارقام \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، و \(7\) یک عدد هفت رقمی تصادفی ساخته‌اند به‌طوری‌که تکرار ارقام مجاز نبوده است. احتمال اینکه این عدد هفت رقمی بر \(11\) بخش‌پذیر باشد، چقدر است؟
راهنمای حل
فرض کنید عدد هفت رقمی \(\overline{abcdefg}\) بر \(11\) بخش‌پذیر باشد. در این صورت، اگر
\[P=a-b+c-d+e-f+g\]آن‌وقت \(P\) باید بر \(11\) بخش‌پذیر باشد.
اگر \(M=a+c+e+g\) و \(N=b+d+f\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}P&=a-b+c-d+e-f+g\\&=(a+c+e+g)-(b+d+f)\\&=M-N.\quad(1)\end{aligned}\]
همچنین داریم:
\[\begin{aligned}M+N&=(a+c+e+g)+(b+d+f)\\&=1+2+3+4+5+6+7\\&=28.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، بیشترین و کمترین مقدار ممکن برای \(P\) را به‌دست می‌آوریم.
\(\bullet\) بیشترین مقدار ممکن برای \(P\) برابر \(16\) است. (چرا؟)
\(\bullet\) کمترین مقدار ممکن برای \(P\) برابر \(-8\) است. (چرا؟)
بنابراین، چون \(P\) باید بر \(11\) بخش‌پذیر باشد و \(-8\leq P\leq16\)، پس دو حالت برای \(P\) وجود دارد: \(P=11\) و \(P=0\).
حالت اول. \(P\) نمی‌تواند برابر \(11\) باشد. (چرا؟)
حالت دوم. اگر \(P=0\)، آن‌وقت \(M=14\) و \(N=14\). (چرا؟)ّ
دقیقاً چهار حالت وجود دارد که می‌توان \(14\) را به‌صورت مجموع سه عدد طبیعی کوچکتر یا مساوی \(7\) نوشت:
\[\begin{aligned}14&=7+6+1\\&=7+5+2\\&=7+4+3\\&=6+5+3.\end{aligned}\]
اگر \(b\)، \(d\)، و \(f\)، (نه لزوماً به‌ترتیب) برابر \(7\)، \(6\)، و \(1\) باشند، آن‌وقت \(a\)، \(c\)، \(e\)، و \(g\)، (نه لزوماً به‌ترتیب) برابر \(5\)، \(4\)، \(3\)، و \(2\) خواهند بود. دراین‌حالت، \(144\) عدد هفت رقمی \(\overline{abcdefg}\) وجود دارد که بر \(11\) بخش‌پذیر است. (چرا؟)
واضح است که برای هریک از سه حالت دیگر نیز، \(144\) عدد هفت رقمی \(\overline{abcdefg}\) وجود دارد که بر \(11\) بخش‌پذیر است.
بنابراین، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{4\times144}{7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}=\frac{4}{35}.\]
پرسش. با ارقام \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، \(8\)، و \(9\) یک عدد نُه رقمی تصادفی ساخته‌اند به‌طوری‌که تکرار ارقام مجاز نبوده است. احتمال اینکه این عدد هفت رقمی بر \(11\) بخش‌پذیر باشد، چقدر است؟
