پاسخ تشریحی مسئله ۴ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

در چهارضلعی $ABCD$، دو قطر $AC$ و $BD$ یکدیگر را در نقطهٔ $E$ قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط $AB$، $BC$، و $BD$ برابرند و اندازهٔ زاویهٔ $CBD$ دو برابر اندازهٔ زاویهٔ $DBA$ است.
دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های $AEB$، $BEC$، $CED$، و $DEA$ را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدار‌های ممکن برای زاویهٔ $DCA$ را به‌دست آورید.

---

راهنمایی. در زیر، شکلی برای این مسئله رسم شده است.

اندازهٔ دوازده زاویهٔ $A_1$، $A_2$، $B_1$، $B_2$، $C_1$، $C_2$، $D_1$، $D_2$، $E_1$، $E_2$، $E_3$، و $E_4$، برحسب درجه، اعدادی صحیح هستند.
ابتدا قرار می‌دهیم $\widehat{C}_1=x$؛ سپس، اندازهٔ هریک از دوازده زاویهٔ بالا را برحسب $x$ به‌دست می‌آوریم.

---

راهنمای حل

این مسئله را در شش مرحله حل می‌کنیم.

مرحلهٔ ۱. اگر $\widehat{C}_1=x$، آن‌وقت اندازهٔ یازده زاویهٔ دیگر، برحسب $x$ به‌صورت زیر است.

(چرا؟)

مرحلهٔ ۲. به‌سادگی می‌توان ثابت کرد که $x<30^\circ$. (چگونه؟)

و همچنین، به‌سادگی می‌توان نشان داد که $x\ne1^\circ$. (چگونه؟)

مرحلهٔ ۳. اندازهٔ زاویه‌های $B_1$ و $B_2$، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، هیچ‌یک از مقدارهای $2x$ و $4x$، برحسب درجه، نمی‌توانند عددی اول باشد. (چرا؟)

مرحلهٔ ۴. اندازهٔ زاویهٔ $D_1$، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، $90^\circ-2x$، برحسب درجه، نمی‌تواند عددی اول باشد. (چرا؟)

مرحلهٔ ۵. اندازهٔ زاویه‌های $A_1$ و $C_2$ وقتی و فقط وقتی عدد اول است که $x=29^\circ$. (چرا؟)

بنابراین، $x=29^\circ$ یکی از جواب‌های مسئله است. (چرا؟)

مرحلهٔ ۶. از مرحله‌های ۲، ۳، ۴،‌ و ۵ نتیجه می‌شود که اگر $x$ یک عدد صحیح بین $1$ تا $29$ باشد، آن‌وقت اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی مرکب است.
$$\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{C}_1=90^\circ-3x\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_1=2x\\&\widehat{B}_2=4x\\&\widehat{D}_1=90^\circ-2x.\end{aligned}$$
بنابراین، اگر $x$ یک عدد صحیح بین $1$ و $29$ باشد، آن‌وقت باید اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی اول باشد.
$$\begin{aligned}&\widehat{C}_1=x\\&\widehat{E}_1=\widehat{E}_3=90^\circ+x\\&\widehat{E}_2=\widehat{E}_4=\widehat{D}_2=90^\circ-x.\end{aligned}$$
به‌عبارت دیگر، اگر $x$ یک عدد صحیح بین $1$ و $29$ باشد، آن‌وقت باید سه مقدار $x$، $90^\circ-x$، و $90^\circ+x$ اعدادی اول باشند.
پس جواب‌های دیگر مسئله عبارتند از:
$$\begin{aligned}x&=7^\circ\\x&=11^\circ\\x&=17^\circ\\x&=19^\circ\\x&=23^\circ.\end{aligned}$$
(چرا؟)