تقسیم چندجمله‌ای‌ها
مثال ۱. حاصل هریک از تقسیم‌های زیر را به‌دست آورید و در هر مورد، درجهٔ یک‌جمله‌ای حاصل را تعیین کنید.
الف) \(2x^2\) تقسیم بر \(x\)
ب) \(-\frac{3}{2}y^3\) تقسیم بر \(4y\)
ج) \(\sqrt{15}u^5\) تقسیم بر \(\sqrt{5}u\)
مثال ۲. اگر \(P(x)\) و \(Q(x)\) دوتا یک‌جمله‌ای باشند و بدانیم \({\rm deg}\big(P(x)\big)=8\) و \({\rm deg}\big(Q(x)\big)=2\)، آن‌وقت حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) \({\rm deg}\big(P(x)\div Q(x)\big)\)
ب) \({\rm deg}\Big(\big(P(x))^2\big)\div\big(2\big(Q(x)\big)^8\big)\Big)\)
تقسیم چندجمله‌ای‌ها
در زیر، الگوریتم تقسیم چندجمله‌ای‌ها را با استفاده از یک مثال، شرح می‌دهیم.
مـثال. چندجمله‌ای $x^3+x+1$ را بر چندجمله‌ای $x^2+1$ تقسیم کنید. خارج‌قسمت و باقی‌مانده را مشخص کنید و رابطهٔ تقسیم را بنویسید.
راه‌حل. به چندجمله‌ای $x^3+x+1$ مقسوم و به چندجمله‌ای $x^2+1$ مقسوم‌علیه می‌گویند. برای تقسیم چندجمله‌ای‌ها، مراحل زیر را به‌ترتیب انجام می‌دهیم.
مرحلهٔ اول. مقسوم و مقسوم‌علیه را استاندارد می‌کنیم. (خوشبختانه، در این مسئله هر دو استاندارد هستند!)
مرحلهٔ دوم. برای به‌دست آوردن اولین جمله خارج‌قسمت، اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم می‌کنیم.
یعنی، \(x^3\) را بر \(x^2\) تقسیم می‌کنیم؛ حاصل برابر \(x\) می‌شود که آن را در خارج‌قسمت می‌نویسیم:
مرحلهٔ سوم. حاصل قسمت قبل را در مقسوم‌علیه ضرب می‌کنیم: \[x(x^2+1)=x^3+x.\]
مرحلهٔ چهارم. قرینهٔ حاصل قسمت قبل را زیر مقسوم می‌نویسیم.
مرحلهٔ پنجم. ابتدا عبارت زیرِ مقسوم را قرینه می‌کنیم و سپس آن را با مقسوم جمع می‌زنیم.
مرحلهٔ ششم. اگر درجهٔ چندجمله‌ای حاصل از قسمت قبل (باقی‌مانده) از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر بود، به مرحلهٔ هفتم می‌رویم، و اگر نبود چندجمله‌ای حاصل از قسمت قبل را مقسوم در نظر می‌گیریم و مرحله‌های دوم تا ششم را انجام می‌دهیم.
در این مثال، چون \({\rm deg}(1) < {\rm deg}\big(x^2+1\big)\)، به مرحلهٔ هفتم می‌رویم.
مرحلهٔ هفتم. رابطهٔ تقسیم، یعنی:
باقی‌مانده \(+\) خارج‌قسمت \(\times\) مقسوم‌علیه \(=\) مقسوم
را می‌نویسیم و مقسوم، مقسوم‌علیه، و خارج‌قسمت را مشخص می‌کنیم.
\[x^3+x+1=(x^2+1)(x)+1.\]
مقسوم: \(x^3+x+1\)
مقسوم‌علیه: \(x^2+1\)
خارج‌قسمت: \(x\)
باقی‌مانده: \(1\)
در ویدئوی زیر، با یک مثال دیگر الگوریتم تقسیم چند جمله ای ها توضیح داده شده است.
برای دانلود ویدئوی بالا، اینجا را کلیک کنید.
مثال ۳. تقسیم‌های زیر را انجام دهید و رابطهٔ تقسیم را برای هریک از آنها بنویسید.
الف) \((1+x^2+x)\div (1+x)\)
ب) \((-2+2x^3)\div(4x^2)\)
ج) \((x^8+2x^2+1)\div(2x^3-3)\)
د) \((-x^4+4x+x^2)\div(x-1)\)
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️