فهرست
ریشه چندجمله‌ای‌ها
مثال ۱. اگر $P(x)=x(x-1)(x-2)$، آنگاه حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) $P(0)$
ب) $P(1)$
ج) $P(2)$
د) $P(3)$
\[\begin{aligned}P(0)&=0(0-1)(0-2)=0\\P(1)&=1(1-1)(1-2)=0\\P(2)&=2(2-1)(2-2)=0\\P(3)&=3(3-1)(3-2)=6.\end{aligned}\]
ریشهٔ یک چندجمله‌ای
اگر \(P(x)\) یک چندجمله‌ای و \(a\) عددی حقیقی باشد و \(P(a)=0\)، آن‌وقت عدد \(a\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(P(x)\) است.
مثال ۲. اگر \(P(x)=(x-1)(x+3)\)، آن‌وقت عدد \(1\) ریشه چندجمله ای \(P(x)\) است ولی عدد \(3\) ریشهٔ \(P(x)\) نیست. چرا؟
\[\begin{aligned}P(1)&=(1-1)(1+3)=0\\P(3)&=(3-1)(3+3)=12\ne0.\end{aligned}\]
مثال ۳. ریشهٔ هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را بیابید.
الف) \(3x+4\)
\[\begin{aligned}&3x+4=0\\&\Rightarrow3x=-4\\&\Rightarrow x=\frac{-4}{3}\cdot\end{aligned}\]
ب) \((x+3)(2x-\sqrt{5})\)
\[\begin{aligned}&(x+3)(2x-\sqrt{5})=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x+3=0\Rightarrow x=-3\\&2x-\sqrt{5}=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
ج) \(x^3+1\)
\[\begin{aligned}&x^3+1=0\\&\Rightarrow x^3=-1\\&\Rightarrow x=-1.\end{aligned}\]
مثال ۴. حداقل دوتا چندجمله‌ای درجه \(3\) مثال بزنید که ریشه‌های آنها \(1\)، \(2\)، و \(5\) باشند.
\[\begin{aligned}&(x-1)(x-2)(x-5)\\&(1-x)(2-x)(5-x)\end{aligned}\]
مثال ۵. یک چندجمله‌ای درجهٔ \(4\) مثال بزنید که دقیقاً دوتا ریشهٔ حقیقی داشته باشد.
\[\begin{aligned}(x^2+1)(x-7)(x+7)\end{aligned}\]
ریشه‌های چندجمله‌ای بالا، \(7\) و \(-7\) هستند. توجه کنید که \(x^2+1\) ریشهٔ حقیقی ندارد.
مثال ۶. \(P(x)\)ای مثال بزنید که درجهٔ آن \(2\) باشد و \[P(1)=P(2)=3.\]
\[\begin{aligned}P(x)=(x-1)(x-2)+3.\end{aligned}\]
مثال ۷. مجموع ضرایب چندجمله‌ای $3x^2+7x-12$ برابر است با $3+7-12=-2$.
الف) آیا می‌توانید یک چندجمله‌ای مثال بزنید که ریشه‌های آن $-1$ و $3$ و مجموع ضرایبش $-4$ باشد؟
بهسادگی میتوان یک چندجمله‌ای درجه \(2\) ساخت که ریشه‌های آن \(-1\) و \(3\) باشند:
\[(x+1)(x-3)=x^2-2x-3.\] و خوشبختانه، مجموع ضرایب این چندجمله‌ای برابر \(-4\) است!
ب) آیا می‌توانید یک چندجمله‌ای مثال بزنید که ریشه‌های آن $-2$ و $3$ و مجموع ضرایبش $20$ باشد؟
بهسادگی میتوان یک چندجمله‌ای درجه \(2\) ساخت که ریشه‌های آن \(-2\) و \(3\) باشد:
\[(x-3)(x+2)=x^2-x-6.\] مجموع ضرایب این چندجمله‌ای برابر است با:
\[1-1-6=-6.\] پس اگر این چندجمله‌ای را در \(-\frac{20}{6}\) ضرب کنیم، مثال خواسته شده به‌دست میآید:
\[-\frac{20}{6}(x^2-x-6)=-\frac{20}{6}x^2+\frac{20}{6}x+20.\]
ج) آیا می‌توانید یک چندجمله‌ای مثال بزنید که ریشه‌های آن $1$ و $2$ و مجموع ضرایبش $10$ باشد؟
اگر عدد \(1\) ریشهٔ یک چندجمله‌ای باشد، آنگاه مجموع ضرایب آن چندجمله‌ای برابر \(0\) است. بنابراین، مثال خواسته شده، وجود ندارد.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️