کلاس ریاضی پیشرفته نهم - تابستان ۱۴۰۳ - صفحه 9 از 10

فهرست

صفحهٔ اول چندجمله‌ای‌ها آزمونک چندجمله‌ای‌ها مثال‌هایی از ضرب چندجمله‌ای‌ها تقسیم چندجمله‌ای‌ها آزمونک تقسیم چندجمله‌ای‌ها اتحاد ریشهٔ چندجمله‌ای‌ها مسئله‌ها

آزمونک تقسیم چندجمله‌ای‌ها

آزمونک تقسیم چندجمله‌ای‌

1 / 6

اگر ${\rm deg}\big(P(x)\big)=5$ و ${\rm deg}\big(Q(x)\big)=2$، آن‌وقت اعدادی را که می‌توانند درجهٔ باقی‌ماندهٔ تقسیم $P(x)$ بر $Q(x)$ باشند، علامت بزنید.

2 / 6

چند عدد صحیح مانند $n$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $\dfrac{2n^2+9n+3}{n+2}$ عددی طبیعی باشد؟

3 / 6

اگر $Q(x)$ خارج‌قسمت تقسیم $4x^3+8x^2-11x$ بر $2x-1$ باشد، آن‌وقت $Q(\frac{1}{2})$ چه عددی است؟

4 / 6

اگر $P(x)$ یک سه‌جمله‌ای درجهٔ $6$ و $Q(x)$ یک چند‌جمله‌ای درجهٔ $3$ باشد و $P(x)$ را بر $Q(x)$ تقسیم کرده باشیم، آنگاه جمله‌های درست را مشخص کنید:

خارج‌قسمت می‌تواند یک چهارجمله‌ای باشد.

باقی‌مانده می‌تواند یک چهارجمله‌ای باشد.

باقی‌مانده می‌تواند یک چند‌جمله‌ای درجهٔ $2$ و خارج‌قسمت یک سه‌جمله‌ای باشد.

باقی‌مانده می‌تواند یک سه‌جمله‌ای و خارج‌قسمت می‌تواند یک سه‌جمله‌ای باشد.

باقی‌مانده می‌تواند یک چند‌جمله‌ای درجهٔ $2$ و خارج‌قسمت یک سه‌جمله‌ای باشد. (چگونه؟)

فرض کنیم خارج‌قسمت برابر $x^3+x^2-1$ و مقسوم‌علیه برابر $x^3+1$ باشد. دراین‌صورت:
\[\begin{aligned}&(x^3+1)(x^3+x^2-1)\\&=x^6+x^5-x^3+x^3+x^2-1\\&=x^6+x^5+x^2-1\end{aligned}\]
حال برای اینکه مقسوم یک سه‌جمله‌ای درجه $6$ باشد و باقی‌مانده یک چندجمله‌ای درجه $2$ باشد، کافی است باقی‌مانده برابر $-x^2$ باشد. بنابراین رابطهٔ تقسیم به‌صورت زیر خواهد بود.
\[(x^3+1)(x^3+x^2-1)+(-x^2)=x^6+x^5-1.\]

ب) باقی‌مانده می‌تواند یک سه‌جمله‌ای و خارج‌قسمت می‌تواند یک سه‌جمله‌ای باشد.

فرض کنیم خارج‌قسمت و مقسوم‌علیه هردو برابر $x^3+x+1$ باشد. دراین‌صورت:
\[\begin{aligned}&(x^3+x+1)(x^3+x+1)\\&=x^6+x^4+x^3+x^4+x^2+x+x^3+x+1\\&=x^6+2x^4+2x^3+x^2+2x+1.\end{aligned}\]
بنابراین برای اینکه مقسوم یک سه‌جمله‌ای درجهٔ $6$ و باقی‌مانده یک سه‌جمله‌ای باشد کافی است باقی‌مانده برابر $-x^2-2x-1$ باشد. بنابراین رابطهٔ تقسیم به‌صورت زیر خواهد بود:
\[(x^3+x+1)(x^3+x+1)+(-x^2-2x-1)=x^6+2x^4+2x^3.\]

ج) خارج‌قسمت می‌تواند یک چهارجمله‌ای باشد.

فرض کنیم مقسوم‌علیه برابر $x^3-1$ و خارج‌قسمت برابر $x^3+x^2+x+1$ باشد. دراین‌صورت:
\[\begin{aligned}&(x^3-1)(x^3+x^2+x+1)\\&=x^6+x^5+x^4+x^3-x^3-x^2-x-1\\&=x^6+x^5+x^4-x^2-x-1.\end{aligned}\]
حال برای اینکه مقسوم یک سه‌جمله‌ای درجهٔ $6$ باشد، کافی است باقی‌مانده برابر $x^2+x+1$ باشد. بنابراین رابطهٔ تقسیم به‌صورت زیر خواهد بود:
\[(x^3-1)(x^3+x^2+x+1)+(x^2+x+1)=x^6+x^5+x^4.\]

د) باقی‌مانده نمی‌تواند یک چهارجمله‌ای باشد.

چون درجهٔ مقسوم‌علیه برابر $3$ است، پس درجهٔ باقی‌مانده حداکثر برابر $2$ است. از طرفی، می‌دانیم درجهٔ یک چهارجمله‌ای حداقل برابر $3$ است(؟). بنابراین باقی‌مانده نمی‌تواند چهارجمله‌ای باشد.

5 / 6

باقی‌ماندهٔ تقسیم $x^8-x^3+1$ بر $x^2-4$ کدام است؟

$-4x+257$

$249$

$-4x+249$

$265$

6 / 6

اگر ${\rm deg}\big(P(x)\big)=5$ و ${\rm deg}\big(Q(x)\big)=2$، آن‌وقت اعدادی را که می‌توانند درجهٔ خارج‌قسمت تقسیم $P(x)$ بر $Q(x)$ باشند، علامت بزنید.