دوستی با مسئله – یک تمرین مهم برای تقویت توانایی حل مسئله

می‌دانیم که مجموع این هشت عدد با حاصل‌جمع \(1\) تا \(8\) برابر است. پس:
\[\begin{aligned}&a+b+c+w+v+x+y+z\\&=1+2+3+4+5+6+7+8\\[8pt]&=\frac{8\times9}{2}\\[8pt]&=36.\quad(2)\end{aligned}\]

از طرفی می‌دانیم که مجموع اعداد روی هر ضلع، برابر \(S\) است. پس:
\[\begin{aligned}S&=a+v+w+b\quad(3)\\S&=b+z+c\quad(4)\\S&=c+y+x+a.\quad(5)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((3)\)، \((4)\)، و \((5)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&S+S+S=(a+v+w+b)+(b+z+c)+(c+y+x+a)\\&\Rightarrow 3S=(a+b+c+w+v+x+y+z)+(a+b+c).\quad(6)\end{aligned}\]
حال، با توجه به رابطه‌های \((2)\) و \((6)\) داریم:
\[\begin{aligned}&3S=36+(a+b+c)\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36+(a+b+c)}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36}{3}+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=12+\frac{a+b+c}{3}.\end{aligned}\]

واضح است که کمترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=1+2+3=6.\quad(7)\]
حال با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((7)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{6}{3}\\&=12+2\\&=14.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(14\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد.

واضح است که بیشترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=6+7+8=21.\quad(8)\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((8)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{21}{3}\\&=12+7\\&=19.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(6\)، \(7\)، و \(8\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(19\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد.

همان‌طور که دیدیم، اگر \(a+b+c=6\)، آن‌وقت \(S\) باید برابر \(14\) باشد. در این‌ حالت، بیشترین مقدار ممکن برای \(b+c\) برابر است با:
\[b+c=2+3=5.\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث، باید برابر \(S\) باشد؛ یعنی:
\[\begin{aligned}&b+z+c=S\\&\Rightarrow5+z=14\\&\Rightarrow z=9.\end{aligned}\]
چون \(z\) نمی‌تواند عددی بزرگ‌تر از \(8\) باشد، پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد.

اگر \(S\) برابر \(18\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow6=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow18=a+b+c.\quad(9)\end{aligned}\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث باید برابر \(18\) باشد، یعنی:
\[b+z+c=18.\quad(10)\]
از رابطه‌های \((9)\) و \((10)\) نتیجه می‌شود:
\[\left.\begin{aligned}a+b+c=18\\b+z+c=18\end{aligned}\right\}\Rightarrow a=z.\]
اما می‌دانیم که هشت عدد داخل دایره‌ها باید متفاوت باشند. پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد.

اگر \(S\) برابر \(15\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow3=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow9=a+b+c.\end{aligned}\]
حال، می‌توانیم حالت‌هایی را بررسی کنیم که مجموع سه عدد طبیعی برابر \(9\) می‌شود. برای نمونه:
\[a=1,\;b=2,\;c=6.\]

در این حالت، چون مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث برابر \(15\) است، داریم:
\[\begin{aligned}&b+z+c=15\\&\Rightarrow2+z+6=15\\&\Rightarrow z=15-8\\&\Rightarrow z=7.\end{aligned}\]

اکنون به‌سادگی می‌توانیم مقدارهای \(w\)، \(v\)، \(x\)، و \(y\) را نیز پیدا کنیم.

پرسش. اگر \(a=1\)، \(b=3\)، و \(c=5\)، آیا می‌توان جواب دیگری پیدا کرد؟

برای حالت‌هایی که \(S\) برابر با \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد نیز با روشی مشابه روش بالا، می‌توان مثال‌هایی ساخت. برای نمونه، مثال‌های زیر را ببینید.

\(S=16\):

\(S=17\):

\(S=19\):