هفتم. فصل ۱. مسئله‌ها. تمرین ۲

۷. ۱. ۱. ۲. به چهار روش می‌توان عدد $4$ را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی کوچک‌تر از آن نوشت:
\[\begin{aligned}4&=1+1+1+1,\\4&=1+1+2,\\4&=1+3,\\4&=2+2.\end{aligned}\]
هریک از اعداد $3$، $5$ و $6$ را به چند روش می‌توان به‌صورت مجموع اعداد طبیعی کوچک‌تر از خودشان نوشت؟ همۀ حالت‌های ممکن را بنویسید.

راهنمای حل

با دو روش می‌توان عدد ۳ را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی کوچک‌تر از آن نوشت. (چرا؟)

با  شش روش می‌توان عدد ۵ را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی کوچک‌تر از آن نوشت. (چرا؟)

با ده روش می‌توان عدد ۶ را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی کوچک‌تر از آن نوشت. (چرا؟)

پرسش در کلاس ۱. به تعداد حالت‌هایی که بتوان یک عدد طبیعی را به‌صورت مجموع اعداد کوچک‌تر یا مساوی با آن عدد نوشت، تعداد اِفرازهای آن عدد می‌گویند. برای مثال، عدد ۴ را به پنج حالت می‌توان اِفراز (Partition) کرد. زیرا:
\[\begin{aligned}4&=1+1+1+1,\\4&=1+1+2,\\4&=1+3,\\4&=2+2,\\4&=4.\end{aligned}\]
در شکل زیر، اِفرازهای چه اعدادی نشان داده شده است؟

پرسش در کلاس ۲. آیا رابطه‌ای برای پیدا کردن تعداد اِفرازهای یک عدد دلخواه وجود دارد؟ دراین‌باره تحقیق کنید.

پرسش در کلاس چیست؟

در بازی زیر، از مفهوم افراز اعداد استفاده شده است.