نهم. فصل ۱. مجموعه‌های برابر و زیرمجموعه. تمرین ۲

۹. ۱. ۲. ۲. اگر $a=b$ و $c=d$، آنگاه مجموعهٔ $\Big\{\{a\},\{a,b\},\big\{\{a,b,c\},a\big\}\Big\}$ با کدام‌یک از مجموعه‌های زیر برابر است؟
الف) $\Big\{\{a,b\},\{a,a\},\big\{\{a,c\},b,a\big\}\Big\}$
ب) $\Big\{\{a\},\{a,b\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}$
ج) $\Big\{\{a\},\big\{\{a,d\},b\big\}\Big\}$
د) $\Big\{\{a,d\},\big\{\{a\},c\big\}\Big\}$

راهنمای حل

چون $a=b$ و $c=d$، در مجموعهٔ $\Big\{\{a\},\{a,b\},\big\{\{a,b,c\},a\big\}\Big\}$، به‌جای $b$، $a$ می‌گذاریم و به‌جای $d$، $c$ قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}A&=\Big\{\{a\},\{a,b\},\big\{\{a,b,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\{a,a\},\big\{\{a,a,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\end{aligned}\]

الف)
ابتدا اعضای تکراری را حذف می‌کنیم.
\[\begin{aligned}&\Big\{\{a,b\},\{a,a\},\big\{\{a,c\},b,a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a,b\},\{a\},\big\{\{a,c\},b,a\big\}\Big\}\end{aligned}\]
سپس، چون $a=b$ و $c=d$، به‌جای $b$، $a$ می‌گذاریم و به‌جای $d$، $c$ قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&\Big\{\{a,b\},\{a\},\big\{\{a,c\},b,a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a,a\},\{a\},\big\{\{a,c\},a,a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\\\end{aligned}\]
پس مجموعهٔ بالا با مجموعهٔ‌ $A$ برابر است.

ب) چون $a=b$ و $c=d$، به‌جای $b$، $a$ می‌گذاریم و به‌جای $d$، $c$ قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&\Big\{\{a\},\{a,b\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\{a,a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\end{aligned}\]
پس مجموعهٔ بالا با مجموعهٔ‌ $A$ برابر است.

ج) چون $a=b$ و $c=d$، به‌جای $b$، $a$ می‌گذاریم و به‌جای $d$، $c$ قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&\Big\{\{a\},\big\{\{a,d\},b\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a\},\big\{\{a,c\},a\big\}\Big\}\end{aligned}\]
پس مجموعهٔ بالا با مجموعهٔ‌ $A$ برابر است.

د) چون $a=b$ و $c=d$، به‌جای $b$، $a$ می‌گذاریم و به‌جای $d$، $c$ قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&\Big\{\{a,d\},\big\{\{a\},c\big\}\Big\}\\&=\Big\{\{a,c\},\big\{\{a\},c\big\}\Big\}\end{aligned}\]
پس مجموعهٔ بالا با مجموعهٔ‌ $A$ برابر نیست.

پرسش در کلاس ۱. هریک از مجموعه‌های بالا چند عضو دارند؟
پرسش در کلاس ۲. مجموعه‌های دیگری مانند مجموعه‌های قسمت‌های «الف»، «ب»، «ج»، و «د» بسازید به‌طوری‌که به‌راحتی نتوان تشخیص داد این مجموعه‌ها با مجموعهٔ $A$ برابر هستند یا نه. مجموعه‌هایی را که ساخته‌اید با خود به کلاس ببرید و از معلم‌تان بخواهید که آنها را نیز مطرح کنند.

پرسش در کلاس چیست؟

برای معلمان. اینکه اعضای یک مجموعه، مجموعه باشند برای بیشتر دانش‌آموزان پیچیده است. برای بالا بردن مهارت دانش‌آموزان در این زمینه، می‌توانید مسابقه‌ای برگزار کنید:
همان‌طور که در پرسش ۲ بالا گفته شد، هر دانش‌آموز مجموعه‌ای طراحی کند و اگر بقیه نتوانستند تشخیص دهند که این مجموعه با مجموعهٔ $A$ (در تمرین بالا) برابر است یا نه، نمره یا امتیازی به دانش‌آموز طراح مسئله بدهید.