۹. ۱. ۲. ۷. اگر $A=\{1,2,3,4,5\}$، آنگاه حداکثر با چند زیرمجموعهٔ $A$ میتوان یک پادزنجیر ساخت؟ آن را بسازید.
تعریف پادزنجیر را در اینجا ببینید.
راهنمای حل
اگر همهٔ زیرمجموعه‌های دو عضوی یا زیرمجموعه‌های سه‌عضوی مجموعهٔ $A$ را بنویسیم، آنگاه طولانی‌ترین پادزنجیر ممکن به‌دست می‌آید(؟):
\[\begin{aligned}&\{1,2\}\\&\{1,3\}\\&\{1,4\}\\&\{1,5\}\\&\{2,3\}\\&\{2,4\}\\&\{2,5\}\\&\{3,4\}\\&\{3,5\}\\&\{4,5\}\end{aligned}\]
پرسش در کلاس ۱. تعداد زیرمجموعه‌های $k$ عضوی یک مجموعهٔ $n$ عضوی چه ارتباطی با اعداد سطر $n$اُم مثلث خیام دارد. برای مثال، آیا تعداد زیرمجموعه‌های $3$ عضوی یک مجموعهٔ $5$ عضوی در مثلث خیام ظاهر شده است؟
پرسش در کلاس ۲. فرض کنید $A$ یک مجموعهٔ $n$ عضوی باشد. دربارهٔ درستی یا نادرستی جمله‌های زیر بحث کنید.
الف) اگر $n$ عددی زوج باشد، آنگاه همهٔ زیرمجموعه‌های $\frac{n}{2}$عضویِ $A$ طولانی‌ترین پادزنجیر از زیرمجموعه‌های $A$ را تشکیل می‌دهند.
ب) اگر $n$ عددی فرد باشد، آنگاه همهٔ زیرمجموعه‌های $\frac{n+1}{2}$عضویِ $A$ طولانی‌ترین پادزنجیر از زیرمجموعه‌های $A$ را تشکیل می‌دهند.
یعنی میشه n(n-1)
_________
2
خیر!
پرسش2:
الف:طولانی ترین پادزنجیر را زیر مجموعه های nتقسیم بر دو ؛nتقسیم بر دو به علاوه یک تشکیل می دهند.
ب:کاملا درست
در مثلث خیام مجموع اعداد هر سطر از فرمول 2^(n-1) به دست ما آید.تعداد زیر مجموعه ها از فرمولn^2 به دست می آید بنابراین؛تعداد زیر مجموعه یک مجموعه kعضوی برابر است با مجموع اعداد سطر k+1 مثلث خیام.
از کجا فهمیدید که تعداد زیر مجموعه های دو عضوی و سه عضوی برابر هستند؟
چون به‌ازای هر زیرمجموعهٔ دوعضوی، مانند \(S\)، دقیقاً یک زیرمجموعهٔ سه‌عضوی، مانند \(T\)، هست که \(S\) و \(T\) عضو مشترکی ندارند و همهٔ اعضای \(A\) در \(S\) و \(T\) دیده می‌شوند.
به زبان ساده، میتوان هریک از زیرمجموعه‌های دوعضوی \(A\) را دقیقاً با یکی از زیرمجموعه‌های سه‌عضوی \(A\) متناظر کرد:
\[\begin{aligned}&\{1,2\}\leftrightarrow\{3,4,5\}\\&\{1,3\}\leftrightarrow\{2,4,5\}\\&\{1,4\}\leftrightarrow\{2,3,5\}\\&\{1,5\}\leftrightarrow\{2,3,4\}\\&\{2,3\}\leftrightarrow\{1,4,5\}\\&\{2,4\}\leftrightarrow\{1,3,5\}\\&\{2,5\}\leftrightarrow\{1,3,4\}\\&\{3,4\}\leftrightarrow\{1,2,5\}\\&\{3,5\}\leftrightarrow\{1,2,4\}\\&\{4,5\}\leftrightarrow\{1,2,3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، اگر تعداد زیرمجموعه‌های دوعضوی \(A\) را بدانیم، یعنی تعداد زیرمجموعه‌های سه‌عضوی آن را هم می‌دانیم!
پرسش: می‌دانیم تعداد زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی یک مجموعهٔ \(10\)عضوی، \(210\)تاست. تعداد زیرمجموعه‌های \(6\)عضوی این مجموعه چندتاست؟
سلام وقت بخیر . ممنون میشم پاسخ بدید . برای پرسش دو من امتحان کردم و درست بود . و خب رابطه ی زیر مجموعه ها با خیام رو متوجه شدم اما دلیل درست بودنش چیه؟
سلام
اثبات درستی این مسئله نیازمند دانشی بیش از ریاضی نهم است.
ممنون لطف کردید . و اینکه رابطه ی فاکتوریل برای به دست اوردن تعداد زیر مجموعه های n عضوی یک مجموعه با وجود همان عدد در مثلث خیام ارتباطی دارد؟
بله. ارتباط دارد.
اگر می‌خواهید خودتان این مطالب را بیاموزید، فصل ترکیبیات کتاب ریاضی دهم یا فصل‌های ترکیبیات کتاب محافل ریاضی را بخوانید.
با سلام با عرض معذرت من در جواب پرسش در کلاس ۱ یادم رفت که بنویسم که این اعدادی که ما بدست آوردیم در سطر n+1 دیده می شوند
جواب پرسش در کلاس ۲ : هر دو درست اند اگر به مثلث خیام نگاهی بیاندازیم هر دو را می توانیم جواب دهیم البته در قسمت ب اگر به جای بعلاوه ، منها هم قرار دهیم جواب درست است .
جواب پرسش در کلاس ۱ : تعداد زیر مجموعه های ۰ عضوی، ۱ عضوی ، ۲ عضوی و ….. و تعداد زیر مجموعه های n عضوی از یک مجموعه n عضوی در سطر nام مثلث خیام به ترتیب آمده اند .
سلام میتونستیم به جاش همه سه عضوی ها رو بنویسیم ! ( هر چند در راه حل تفاوتی ایجاد نمیکرد ) به این شکل :
1,2,3
1,2,4
1,2,5
1,3,4
1,3,5
1,4,5
2,3,4
2,3,5
2,4,5
3,4,5
که بازم 10 تا میشه حداکثرش !
چرا فقط دو عضوی حساب شده نمیشه دو عضوی و سه عضوی رو با هم جمع کرد؟؟؟؟؟
خیر!
اگر دو عضوی‌ها و سه‌عضوی‌ها را بنویسید، آنگاه بین بعضی از مجموعه‌ها رابطهٔ زیرمجموعه برقرار است.
ببخشید این سایتی که گذاشتید نوشته هاش پس و پیش بود یعنی پرسش در کلاس دو (الف) و (ب) اش هردو درست هستند آره؟؟؟؟؟؟؟
نوشته‌هاش پس و پیش بود!؟ الان دوباره اون سایت رو چک کردم و مشکلی ندیدم. لطفاً صفحه را رفرش کنید یا مرورگرتان را به‌روز کنید.
پرسش در کلاس دو، در واقع با توجه به صورت قضیهٔ اسپرنر نوشته شده است. (و در ریاضیات، قضیه‌ها عبارت‌هایی هستند که درستی آنها ثابت شده است.)
سلام
ببخشید چرا تعداد زیر مجموعه های دو عضوی یا سه عضوی جواب این مسئله شد؟؟؟؟ دلیل و راه حل این انتخاب چیست؟؟؟؟؟؟
سلام
احتمالاً شما راه‌حلی برای جواب این مسئله در حالت کلی می‌خواهید. (در واقع، پاسخ «پرسش در کلاس ۲»)
قطعاً منظور نویسندگان کتاب ریاضی تکمیلی این نبوده که دانش‌آموز حالت کلی مسئله را حل کند. در اینجا با کمی آزمون و خطا میتوان به جواب رسید.
اما اگر جواب حالت کلی مسئله را می‌خواهید باید اثبات قضیهٔ اسپرنر را بخوانید.
سلام و تشکر از ساییتون. میتونیم از عبارت((2)) استفاده کنیم برای پاد زنجیر؟ یا زیر مجموعه حساب میشه؟
لطفا جواب بدید چون یکم گیج شدم
سلام.
منظورتون اینه که آیا \(\{\{2\}\}\) یک پادزنجیر هست یا نه؟
بله . یعنی میتونیم اون رو هم به ۱۰ تایی که شما نوشتید اضافه کنیم یا نه؟
خیر! چون \(\{\{2\}\}\) زیرمجموعهٔ \(A\) نیست. دقت کنید که \(\{\{2\}\}\) با \(\{2\}\) برابر نیست.
ممنون
بله چون موقع زیر مجموعه بودن یک آکولاد کم میشه یعنی:{{۳}} اگه بخوایم بگیم زیر مجموعه ی A هستش یک آکولاد رو کم میکنیم یعنی میشه{۳} زیر مجموعه ی A و اگه {۳} میشه ۳ (موقع زیر مجموعه گرفتن)
داداش مثل اینه که یکی اسمش علی باشه یکی علیرضا ولی این دونفرو ک نمیشه ی نفر حساب کنیم
میشه لطفا بیشتر توضیح بدین که چجوری باید اینارو حساب کنیم؟
اگر منظورتان پرسش در کلاس‌ها است، لطفاً روی «پرسش در کلاس چیست؟» کلیک کنید و متن مربوطه را بخوانید.
شما تو جواب مجموعه ۳ عضویش رو ننوشتید؟
در راه‌حل نوشته شده «همهٔ مجموعه‌های دوعضوی یا سه‌عضوی». ما دوعضوی‌ها را نوشته‌ایم. به‌عنوان یک پاسخ دیگر، شما می‌توانید همهٔ زیرمجموعه‌های سه‌عضوی را بنویسید.
چرا شما تک عضوی ها و دوعضوی ها و سه عضوی ها را با هم حساب نکردید؟
می‌خواهیم پادزنجیر بسازیم. دقت کنید که تک‌عضوی‌ها نباید زیرمجموعهٔ دوعضوی‌ها باشند. آیا می‌توانید پادزنجیری با بیش از \(10\) عضو بسازید؟
سلام….در توضیح پادزنجیر گفته شده بین هر دوعضو ان ولی شما سه عضوی رو هم برای ساخت پادزنجیر حساب کردین چرا؟
اعضای پادزنجیر، مجموعه هستند. برای مثال، اگر \(A=\{1,2,3,4,5\}\)، آن‌وقت \(\Big\{\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{2,3,4\}\Big\}\) یک پادزنجیر چهارعضوی از مجموعهٔ \(A\) است.
از فردا و به‌مرور تا آخر شهریور ۹۹، جلسات درسنامه‌های مجموعه در سایت تکمیلی منتشر می‌شوند. حتماً این درسنامه را بخوانید.
تو کدوم قسمت سایتن؟
از منوی بالای سایت، به قسمت محصولات بروید؛ سپس ریاضی نهم را انتخاب کنید، و بعد از آن روی درسنامهٔ مجموعه‌ها کلیک کنید.
پرسش دو با توجه به مثلث خیام و ارتباط اعداد هر سطر با تعداد زیر مجوعه های یک مجوعه n عضوی به راحتی مشخص است که درست می باشد. حتی در قسمت (ب) پرسش 2 میتوان به جای زیرمجموعه های n+1 تقسیم بر دو n-1 تقسیم بر دو هم بزاریم باز هم درست میباشد.
سلام ببخشید من بخش پاد زنجیر رو کلا متوجه نشدم میشه کمکم کنید
تعریف پادزنجیر را خوانده‌اید؟
سلام خسته نباشید برای اینکه متوجه شیم دو عضوی ها بیشترن یا سه عضوی ها فرمولی وجود داره یا حتی روشی که متوجه شیم بدون نوشتن تمام اعضا؟
سلام
بله. رابطه‌هایی وجود دارد که مربوط به مباحث سال‌های بالاتر است.
بله میتونید از یه سری رابطه ها تعداد دو ،سه ،چهار و ….عضوی ها رو به دست بیارید.
که ما همین امسال(نهم)خوندیم?♀️
یکی از این رابطه ها:
دو عضوی:(n×(n-1بر روی(۱×۲)
سه عضوی:(n×(n-1)×(n-2بر روی(۱×۲×۳)
و ادامه دارد…
که n:تعداد عضو های مجموعه مورد نظر
امیدوارم مطلب رو درست بهتون رسونده باشم??
نمیشه با رابطه چیدمان حلش کرد؟
فقط کافیه فرمول ترکیب یا انتخاب رو بلد باشی
تعداد زیر مجموعه های k عضوی یک مجموعه n عضوی برابر است با انتخاب k از n
این فرمول برای پایه دهمه و برای نهم نیست
نکته دوم فرمول دوست ناشناسمون هم تغییر یافته همین فرموله!
البته، فقط آشنایی با آن فرمول کافی نیست.
دقت کنید که اگر می‌خواهید مسئله را کامل حل کنید، باید ثابت که برای برای اعداد طبیعی \(n\) و \(i\) که \(0\leq i\leq n\)، وقتی \(\binom{n}{i}\) بیشترین مقدار ممکن را دارد که \(i=\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor\).
چرا نمیتوان هم تک عضوی ها و هم دو عضوی و سه عضوی ها را هم زمان نوشت؟
چون هیچ‌کدام نباید زیرمجموعهٔ دیگری باشد.
لطفاً تعریف پادزنجیر را با دقت بخوانید.