۹. ۱. ۲. ۹. فرض کنید $A$ مجموعهٔ اعداد دورقمی باشد. اگر $B$ زیرمجموعه‌ای از $A$ باشد که عضوهای آن به‌‌صورت $5k$ باشند و $k\in A$، آنگاه $B$ چند عضو دارد؟ حاصل‌جمع اعضای $B$ چیست؟
راهنمای حل
$n(B)=10$. (چرا؟)
حاصل‌جمع اعضای $B$ برابر $725$ است. (چرا؟)
دربارهٔ اعداد دورقمی!
بسیاری از دانشآموزان و شاید برخی از معلمان، در این تمرین با این سؤال مواجه می‌شوند که مجموعه اعداد دورقمی چه اعدادی هستند! برخی ادعا می‌کنند که مجموعهٔ اعداد دورقمی برابر است با:
\[\{-99,-98,-97,\dots,-11,-10,10,11,\dots,97,98,99\}.\]
توجه کنید که در کتاب‌های ریاضیات، وقتی می‌‌نویسند اعداد دورقمی یا \(n\)رقمی، منظور اعداد طبیعی دورقمی یا \(n\)رقمی است، و اعدادی مشابه با \(-12\)، \(3.2\)، \(\sqrt{45}\)، \(\frac{3}{5}\) و \(3^2\)، با اینکه دوتا رقم دارند، ولی دورقمی محسوب نمی‌شوند.
برای مثال، بریم سراغ کتاب ریاضی دهم (برای دانلود کتاب ریاضی دهم اینجا را کلیک کنید.)
تصویر زیر بریده‌ای از صفحهٔ ۱۲۲ کتاب ریاضیات دهم است.
همان‌طور که مشاهده می‌کنید برای «اعداد سه رقمی»، منفی‌ها در نظر گرفته نشده است؛ اگر منفی‌ها را هم در نظر می‌گرفت، پاسخ 54 میشد، نه 27. در کنکورهای سراسری هم از این نوع مسائل زیاد است.
حالا می‌توانیم بریم سراغ یک کتاب معتبرتر:
تصویر زیر، مسئلهٔ ۱۵ فصل ۲ (به‌همراه پاسخ آن) از کتاب Mathematical Circles است که انجمن ریاضی آمریکا آن را منتشر کرده است.
ترجمهٔ سؤال بالا: با استفاده از رقم‌های ۱، ۲، و ۳ چند عدد سه‌رقمی (بدون تکرار رقم‌ها) می‌توان نوشت؟
همان‌طور که می‌بینید، در راه‌حل اعداد منفی در نظر گرفته نشده است؛ و در صورت مسئله از واژهٔ numbers استفاده شده و نه natural numbers.
تصویر زیر، مسئلهٔ ۲۶ فصل ۲ (به‌همراه راه‌حل آن) از همان کتاب است.
ترجمهٔ سؤال بالا: چند عدد شش‌رقمی دست‌کم یک رقم زوج دارند؟
همان‌طور که در راه‌حل مشاهده می‌کنید، اعداد منفی را جزء اعداد شش‌رقمی به‌حساب نیاورده‌اند.
سلام ببخشید سوال گفته A مجموعه اعداد دورقمی هستش ولی نگفته فقط طبیعی! پس اعداد منفی هم حساب میشن!
سلام
بعد از راه‌حل مسئله، دربارهٔ اعداد دورقمی توضیح مفصلی نوشته شده است. حتماً آن را بخوانید.
ببخشید در این سوال گفته K عضو A باشد نه 5K اگر Kرا 99 بگیریم باز هم عضو A هست و ضربدر 5 میشود 495 یعنی B از 50 تا 495 رو شامل میشه!
لطفاً یک‌بار دیگر صورت مسئله را بخوانید و به «\(B\) زیرمجموعه‌ای از \(A\) باشد» دقت کنید.
ببخشید توی حاصل جمع اعضای B ، نوشتید که (۵۰+۹۵) ضربدر یک ، تقسیم بر ۲ ، اینجا اون یک دقیقا چی هستش؟
البته، ضربدر \(10\) شده، نه \(1\).
برای یافتن مجموع داده شده از روش نجمه (یا همان روش گاوس) که در تمرین ۷ صفحهٔ ۷ ریاضی تکمیلی هشتم بود، استفاده کرده‌ایم.
سلام ببخشید انگار یه باگ تو سایت بوجود اومده من با اینکه بسته 7ام رو خریداری نکردم ولی میتونم بازش کنم
سلام و سپاس که گزارش دادید.
این مشکل به تیم فنی ارجاع داده شد.
فهمیدم باید k عضو N میبود . ولی اینجا عضو A هستش
یه سوال . اگه بخایم این مجموعه B رو یجور تغییر بدیم که جواب بجای { ۵۰ ، ۵۵ ، ۶۰ ،… ، ۹۵ } بیاد { ۱۵ ، ۲۰ ، ۲۵ ، ۳۰ … ، ۹۵ } اونوقت سوال رو چجوری طرح میکردیم؟ چون وقتی من ۵k رو دیدم فکر کردم همه ضرایب ۵ که ۲ رقمی هستن رو میخاد …
راه‌های مختلفی برای ساختن مجموعه‌ای که گفتید، وجود دارد. مثلاً می‌توانید مجموعهٔ \(A\) را تغییر دهید. (\(A\) مجموعهٔ اعداد طبیعی بزرگ‌تر از \(2\) و کوچکتر از \(20\) باشد.)
مشکل شما این است که ذهن شما هنوز به ضرایب و متغیرها عادت نکرده است که با مشاهده و حل تمرین‌های بیشتر، این مشکل برطرف میشود.
بالاخره اعداد منفی 10 تا منفی 99 نیز دو رقمی اند؟
در توضیحات بالا به‌طور مفصل نوشته شده که منظور از اعداد دورقمی چیست.
ببخشید در جواب دوم که ضرب در 10 کرده اید . این 10 از کجا آمده است؟
عدد \(10\) تعداد اعداد \(50\)، \(55\)، \(60\)، \(65\)، …، \(95\) است.
پس چرا همه معلما میگن اعداد منفی هم هست؟
طبق توضیحات شما و معلم ما،جواب ها متفاوت میشن…
اگر معلم‌‌ها چنین چیزی می‌گویند، اشتباه می‌کنند.
سلام خسته نباشید میخواستم ببینم اون نظرم که گفتم فیلم اموزشی هم بزارید به جایی هم کشیده یا نه؟
سلام
در هفته‌های آینده، فیلم‌های آموزشی متنوعی از اساتید برجسته ریاضی، روی سایت قرار داده میشود.
اگه خوده سوال بگه A زیر مجموعه اعداد صحیح دو رقمی هست ……اون موقع میشه منفی رو حساب کرد ؟
یکی از دوستان در یکی از کامنت‌ها زیر نوشته که چرا به \(3.2\) عدد دورقمی نمی‌گوییم! چرا به \(\sqrt{11}\) عدد دورقمی نگوییم! اینها هم دوتا رقم دارند.
اعداد \(n\)رقمی، به‌طور پیش‌فرض، فقط به اعداد طبیعی گفته میشود.
اها مرسی
اینکه همه همین کارو کردن دلیل نمیشه که منفی رو حساب نکنیم (میشه گفت همه غلط پیدا کردن)
به نظر من باید اعداد دو رقمی منفی هم حساب کنیم چون سوال نگفته اعداد طبیعی
به نظر من استدلال شما غلط هستش
بابا اعداد منفی رو هم باید در نظر بگیریم
سوال که نگفته اعداد مثبت دو رقمی
پس اعداد منفی هم شامل میشن و حاصل جمع میشه صفر
دستتون درد نکنه واقعاً
اعداد منفی را نباید در نظر بگیریم.
برای اینکه خیلی‌ها مانند شما چنین اشتباهی را کرده‌اند و بقیه آن را تکرار نکنند، توضیحات مفصلی به پایین راه‌حل اضافه شد.
به معلمتون بگید چرا عدد 1.2 رو حساب نمی‌کنن! (منظورم یک ممیز دو دهمه. اونم دو رقم داره دیگه!)
???
خوبی؟
منظور اعداد طبیعی دو رقمیه
معلم شما تمرین‌های صفحه‌های ۲۲، ۲۳، و ۲۴ کتاب ریاضی تکمیلی نهم را که در آنها از اصطلاح «اعداد دورقمی و اعداد سه‌رقمی» استفاده شده است، چگونه حل کرده‌اند؟ آنجا هم اعداد منفی را در نظر گرفته‌اند؟
(دیگران به این پرسش پاسخ ندادند! لطفاً شما جواب بدید!)
نظر ایشان دربارهٔ مثالی که در کتاب ریاضیات دهم آمده است، چیست؟ (تصویر این مثال در کامنت‌های پایین‌تر آمده است.)
به‌نظرم خودتان می‌دانید، کتابی که نام آن را در کامنت قبلی آوردید، کتاب عملی و معتبر محسوب نمیشود و صرفاً یک کتاب بازاری است.
چقدر عجیب! جالبه که کتاب‌های تکمیلی هیچ فرقی با کتاب‌های تکمیلی پارسال ندارند!
اصلاً!
از نظر من، اگر کتاب درسی و تکمیلی را به‌طور عمیق بیاموزید، برای ریاضی سال نهم کافی است.
کتاب‌های بازاری فقط تعداد زیادی تمرین دارند که تمرین‌ها بدون برنامه و هدف آموزشی مشخص، داخل کتاب‌ها انبار شده‌اند.
نباید وقت دانش‌آموز تیزهوش را با تمرین‌های زیاد تلف کرد؛ چون دانش‌آموز تیزهوش، بعد از کمی بحث مفید در کلاس درس، و حل چند تمرین هدفمند به‌عنوان تکلیف، مطالب نسبتاً سادهٔ ریاضیات نهم را می‌آموزد.
(با توجه به سابقهٔ کامنت‌ها و شرکت شما در مسابقات ریاضی تکمیلی، می‌دانم که شما جزء دانشآموزان تیزهوش هستید.)
اگر علاقه دارید و می‌خواهید بیشتر از مطالب کتاب درسی و تکمیلی بیاموزید، دو راه درست و علمی وجود دارد:
۱. خودتان را برای شرکت در المپیاد ریاضی یا کامپیوتر آماده کنید.
۲. کم‌کم با فعالیت‌های پژوهشی در ریاضیات و مسائل واقعی آشنا شوید.
کتاب‌های بازاری برای هیچ‌کدام از دو مورد بالا مفید نیستند.
معلم شما درست گفته‌اند.
اعداد دو رقمی شامل منفی هم میشه ها
در کامنت‌های پایین هم بحث کردیم. هیچ کتاب معتبری برای اعداد دورقمی، منفی‌ها رو در نظر نمی‌گیره!
تصویر زیر، مسئلهٔ ۱۵ فصل ۲ (به‌همراه پاسخ آن) از کتاب Mathematical Circles است که انجمن ریاضی آمریکا آن را منتشر کرده است.
ترجمهٔ سؤال بالا: با استفاده از رقم‌های ۱، ۲، و ۳ چند عدد سه‌رقمی (بدون تکرار رقم‌ها) می‌توان نوشت؟
همان‌طور که می‌بینید، در راه‌حل اعداد منفی در نظر گرفته نشده است.
تصویر زیر، مسئلهٔ ۲۶ فصل ۲ (به‌همراه راه‌حل آن) از همان کتاب است.
ترجمهٔ سؤال بالا: چند عدد شش‌رقمی دست‌کم یک رقم زوج دارند؟
همان‌طور که در راه‌حل مشاهده می‌کنید، اعداد منفی را جژء اعداد شش‌رقمی به‌حساب نیاورده‌اند.
درصورتی که می‌خواهید نسخهٔ کامل کتاب Mathematical Circles را ببینید، به riyazi.takmili@gmail.com ایمیل بزنید و آن را درخواست کنید.
تصویری از کتاب ریاضیات دهم هم در کامنت‌های پایین هست. حتماً ببینید.
آیا معلمتون چنین اشتباهی کرده؟ لطفاً بگید که آیا در تمرین‌های ۴، ۵، و ۶ صفحه‌های ۲۲ و ۲۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم نیز اعداد منفی را در نظر گرفته؟
پس باید شامل اعداد ممیزدار هم بشه
مثل
۱/۲
۲/۳
۴/۵
۳/۳
۱/۳
و…
چرا برای به دست آورددن مجموع عداد آنها را در ۱۰ ضرب کردید؟
چون اگر این اعداد را دوبار بنویسیم و جفت‌جفت باهم جمع بزنیم، ده‌تا حاصل جمع به‌دست آمده با 50+95 برابر هستند.
در واقع، در این تمرین از راه‌حل نجمه که در ریاضیات تکمیلی هشتم دیده‌اید، استفاده شده است.
در فصل اول تکمیلی هشتم، تمرین‌های زیادی از این نوع وجود دارد. برای نمونه، اینجا را کلیک کنید.
دم شما گرم
میشه بگید چرا منفی هارو در نظر نمی گیرید؟
در کامنت‌های زیر، به‌طور مفصل دراین‌باره بحث شده است.
سلام و خسته نباشید. ببخشید. تو این سوال اعداد منفی رو در نظر نمیگیریم؟!
سلام. خیر!