نهم. فصل ۳. قضیهٔ ززض

قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

فرض. دو زاویه و ضلع غیربین آنها از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر است.
حکم. این دو مثلث هم‌نهشت هستند.

اثبات. فرض کنیم در مثلث‌های \(ABC\) و \(A’B’C’\) داشته باشیم \(\widehat{A}=\widehat{A’}\)، \(\widehat{B}=\widehat{B’}\)، و \(AC=A’C’\).

پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\\&\widehat{A’}+\widehat{B’}+\widehat{C’}=180^\circ\\&\widehat{A}=\widehat{A’}\\&\widehat{B}=\widehat{B’}\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{C’}.\]

حال، چون یک ضلع از مثلث اول با ضلع نظیرش در مثلث دوم برابر است، پس این دو مثلث بنابه حالت زض‌ز همنهشت هستند.

وتر و یک زاویهٔ تند، و قضیهٔ ززض

«وتر و یک زاویهٔ تند» مسخره‌ترین قضیه در کتاب‌های درسی است!

«وتر و یک زاویهٔ تند» می‌گوید:

در دو مثلث قائم‌الزاویه، واضح است که زاویه‌های قائمه برابرند. اگر وتر و یک زاویهٔ تند یکی از این مثلث‌ها با وتر و یک زاویهٔ تند مثلث دیگر برابر باشد، آن‌وقت این دو مثلث همنهشت هستند.

در واقع، در دو مثلث فرض شده در «وتر و یک زاویهٔ تند»، دو زاویه (زاویهٔ قائمه و یک زاویهٔ تند) و ضلع غیر بین آنها (وتر) از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلث دیگر، برابرند.

آیا چنین خاصیتی فقط در مثلث‌های قائم‌الزاویه برقرار است؟! یعنی اگر در دو مثلث دلخواه، دو زاویه و ضلع غیر بین یکی از مثلث‌ها با اجزاء نظیر آنها در مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث همنهشت نیستند؟!!

یکی از قضیه‌های مهم در همنهشتی‌ مثلث‌ها، قضیهٔ ززض است.
چرا قضیهٔ ززض مهم است؟

قضیهٔ ززض می‌گوید:

اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

وقتی قضیهٔ ززض برای همهٔ مثلث‌ها برقرار است و اثبات آن نیز بسیار ساده است، چرا باید خودمان را به مثلث‌های قائم‌الزاویه محدود کنیم و این قضیه را در حالت خاص، وتر و یک زاویهٔ تند بنامیم؟!

قضیهٔ ززض در اکثر کتاب‌های درسی نیست. و توجه کنید که فقط در این قضیه است که باید نظیر به نظیر بودن ضلع‌ها و زاویه‌ها، دقیقاً بررسی شود. اگر کسی مفهوم ضلع‌ها و زاویه‌های متناظر را نداند، نمی‌تواند به‌درستی از قضیهٔ ززض استفاده کند. بنابراین، به معلمان و دانش‌آموزان اکیداً توصیه می‌شود که این قضیه را بیاموزند و از آن در تمرین‌ها استفاده کنند. در ادامه، تمرین‌هایی از کتاب‌های ریاضی تکمیلی آمده‌اند که به درک بهتر قضیهٔ ززض کمک می‌کنند.

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۹۸ کتاب ریاضی تکمیلی هشتم. با ذکر دلیل مشخص کنید که کدام‌یک از عبارت‌های زیر همواره درست است و کدام‌یک همواره درست نیست.
الف) اگر دو زاویه و یک ضلع مثلثی با دو زاویه و یک ضلع از مثلث دیگر برابر باشند، آن دو مثلث همنهشت‌اند.
ب) اگر دو زاویه و یک ضلع از مثلثی با دو زاویه و یک ضلع از مثلث دیگر نظیر به نظیر برابر باشند، آن دو مثلث همنهشت‌اند.

پاسخ تشریحی

تمرین ۴ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضی تکمیلی نهم. چرا در قضیهٔ «ززض»، از عبارت «نظیر به نظیر» استفاده شده ولی در قضیهٔ «زض‌ز» از عبارت «نظیر به نظیر» استفاده نشده است؟

پاسخ تشریحی