نهم. فصل ۳. قضیهٔ زض‌ز

قضیهٔ زض‌ز. اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با اجزاء نظیر آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

---

فرض. دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با اجزاء نظیر آنها از مثلثی دیگر برابر هستند.
حکم. این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

---

اثبات. فرض کنیم دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) داده شده باشند به‌طوری‌که \(\widehat{A}=\widehat{D}\)، \(\widehat{C}=\widehat{F}\)، و \(AC=DF\). می‌خواهیم ثابت کنیم که دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) همنهشت هستند.

نقطهٔ \(B’\) را روی نیم‌خط \(DE\) چنان انتخاب می‌کنیم که \(DB’=AB\). سپس نشان می‌دهیم که \(B’\) باید بر \(E\) منطبق باشد.

دو مثلث \(ABC\) و \(DB’F\) در حالت ض‌زض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABC\) و \(DB’F\) نتیجه می‌شود که \(\widehat{C}=D\widehat{F}B’\). پس نیم‌خط \(FB’\) باید بر نیم‌خط \(FE\) منطبق باشد. در نتیجه \(B’\) بر \(E\) منطبق است. بنابراین، مثلث \(DB’F\) بر مثلث \(DEF\) منطبق است، و در نتیجه، دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) همنهشت‌اند.

---