نهم. فصل ۳. قضیهٔ شعاع و مماس

قضیهٔ شعاع و مماس. شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است.

---

فرض. خطی مانند \(\ell\) بر دایره‌ای مماس است.
حکم. خط \(\ell\) بر شعاعی که از محل برخورد \(\ell\) با دایره می‌گذرد، عمود است.

---

اثبات. فرض کنیم خط \(\ell\) بر دایره‌ای به مرکز \(O\) مماس باشد. نقطهٔ تماس را \(A\) می‌نامیم. می‌خواهیم ثابت کنیم که \(OA\) بر \(\ell\) عمود است.

از برهان خلف استفاده می‌کنیم. فرض کنیم که \(OA\) بر \(\ell\) عمود نباشد. خطی از \(O\) بر \(\ell\) عمود کنیم. مطابق شکل زیر، پای عمود را \(H\) و محل برخورد خط عمود با دایره را \(B\) می‌نامیم.

چون زاویهٔ‌ \(OHA\) قائمه است، پس زاویهٔ \(OAH\) حاده می‌شود. و چون زاویهٔ بزرگ‌تر روبه‌رو به ضلع بزرگ‌تر است، پس \(OA\) از \(OH\) بزرگ‌تر می‌شود. اما \(OA=OB\). (چرا؟)

پس \(OB\) نیز از \(OH\) بزرگ‌تر خواهد شد(!) که غیرممکن است. در نتیجه، \(OH\) بر \(\ell\) عمود نیست. همچنین، می‌توانیم ثابت کنیم که هیچ خط راست دیگری به‌جز \(OA\) بر \(\ell\) عمود نیست. پس \(OA\) بر \(\ell\) عمود است. یعنی شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است.