نهم. فصل ۳. قضیهٔ عمودمنصف و عکس آن

قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.

عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.

---

فرض. نقطه‌ای مانند \(M\) روی عمودمنصف پاره‌خطی، مانند \(AB\)، قرار دارد.
حکم. \(MA=MB\).

---

اثبات قضیهٔ عمود منصف. فرض کنیم خط $d$ عمودمنصف پاره‌خط $AB$ باشد و آن را در نقطهٔ $H$ قطع کرده باشد. نقطهٔ دلخواه $M$ را روی خط $d$ انتخاب می‌کنیم.

دو مثلث $AMH$ و $BMH$ در حالت ض‌زض هم‌نهشت‌اند.(چرا؟)

اکنون، از همنهشتی دو مثلث \(AMH\) و \(BMH\) نتیجه می‌شود که $AM=BM$.

---

اثبات عکس قضیهٔ عمودمنصف. فرض کنیم فاصلهٔ نقطهٔ $M$ از دو سر پاره‌خط $AB$ یکسان باشد؛ یعنی $AM=BM$.

می‌خواهیم ثابت کنیم که نقطهٔ \(M\) روی عمودمنصف \(AB\) قرار دارد.
میانهٔ $MN$ از مثلث $AMB$ را رسم می‌کنیم. پس \(AN=BN\). حال کافی است ثابت کنیم که \(MN\) بر \(AB\) عمود است.

دو مثلث $AMN$ و $BMN$ در حالت ض‌ض‌ض هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(AMN\) و \(BMN\) نتیجه می‌شود: \[A\widehat{N}M=B\widehat{N}M=90^\circ.\] پس \(MN\) هم \(AB\) را نصف می‌کند و هم بر آن عمود است. بنابراین، نقطهٔ \(M\) روی عمودمنصف \(AB\) قرار دارد.