میانترم - ریاضیات تکمیلی

ری‌آزمون فصل ۴ ریاضی هشتم (3)

تعداد سؤال: ۸ سؤال
زمان: ۲۵ دقیقه

بارها و بارها این آزمون را تکرار کنید؛ پرسش‌ها عوض می‌شوند!

توضیح: همهٔ سؤالات این آزمون از مسائل کتاب ریاضی هشتم، ریاضیات تکمیلی هشتم، و مسائل آزمون‌های هماهنگ سال‌های گذشتهٔ سمپاد انتخاب شده‌اند. پس از پایان آزمون، نمرهٔ شما نمایش داده می‌شود.
**توجه: پس از اتمام آزمون روی گزینهٔ «یه آزمون دیگه؟!» کلیک کنید.

اگر بتوانید حداقل سه‌بار (پشت سر هم) در این آزمون نمرهٔ کامل بگیرید، تسلط شما به فصل ۴ ریاضی هشتم، در حد مطلوب است.

1 / 30

خطی با دو ضلع زاویهٔ $xOy$ در نقطه‌های $A$ و $B$ برخورد کرده است. اگر نیم‌سازهای دو زاویهٔ $xAB$ و $yBA$ باهم در نقطهٔ $C$ برخورد کنند، آنگاه عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$CO$ نیم‌ساز زاویهٔ $xOy$ است.

$CO$ نیم‌ساز زاویهٔ $ACB$ است.

2 / 30

نقاط $R$ و $Q$ روی دایره‌ٔ $c$ به مرکز $P$ قرار دارند. نقطهٔ $S$ بیرون دایرهٔ $c$ چنان قرار دارد که $SR$ و $SQ$ بر دایره مماس‌اند. اگر $PR=2$ و $SR=5$ آنگاه محیط چهارضلعی $PRSQ$ کدام است؟

$14$

$20$

$10$

نمی‌توان تعیین کرد.

3 / 30

چهار نقطهٔ $A$،‌ $B$، $C$ و $D$ روی دایره‌ای به‌ قطر $6\sqrt{2}$ چنان قرار دارند که $ABCD$ یک چهارضلعی و $BD$ قطر دایره است. اگر $AC$ نیم‌ساز زاویهٔ $BAD$ و طول $AD$ برابر $1$ باشد، آنگاه محیط $ABCD$ چقدر است؟

$13+\sqrt{71}$

$12+\sqrt{71}$

$13$

$21$

$\sqrt{73}+11$

4 / 30

روی ربع دایرهٔ $AOB$ امتداد دو وتر مساوی $AM$ و $‌BN$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کنند. اندازهٔ $A\widehat{O}D$ چند درجه است؟

5 / 30

عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

اگر یک ضلع و ارتفاع و میانهٔ وارد بر آن از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اگر دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

6 / 30

عبارت‌ (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

در هر مثلث، دو سر یک ضلع از میانهٔ وارد بر آن ضلع فاصلهٔ یکسانی دارند.

اگر اندازهٔ یک زاویه و طول میانهٔ رسم شده از آن زاویه از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند،‌ آن دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

7 / 30

در مثلث $ABC$ میانهٔ $AM$ را از طرف $M$ به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $N$ به‌دست آید. چند جفت مثلث هم‌نهشت می‌توان یافت که رئوس آنها از پنج نقطهٔ $A$، $B$، $C$، $M$ یا $N$ انتخاب شده باشند؟

8 / 30

در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$، و $CD$ برابرند. اگر $A\widehat{B}C=70^\circ$ و $B\widehat{C}D=170^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $ADC$ چند درجه است؟

9 / 30

در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$، و $CD$ برابرند. اگر $A\widehat{B}C=70^\circ$ و $B\widehat{C}D=170^\circ$، آنگاه اندازهٔ $B\widehat{A}D$ چند درجه است؟

10 / 30

در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$ و $CD$ برابرند. اگر $A\widehat{B}C=150^\circ$ و $B\widehat{C}D=90^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویه‌ $CDA$ چقدر است؟

11 / 30

در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$ و $CD$ برابرند. اگر $A\widehat{B}C=150^\circ$ و $B\widehat{C}D=90^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $BAD$ چند درجه است؟

12 / 30

سعید مستطیلی داشت! آن را از وسط طولش نصف کرد. او حالا دو مستطیلِ متشابه با مستطیل اول دارد. نسبت تشابه چیست؟

$\sqrt{2}$

$2$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{4}$

$\sqrt{3}$

13 / 30

برای کدام عبارت (عبارت‌های) زیر می‌توان مثال نقض آورد؟

اگر در چهارضلعی $ABCD$ را در نظر بگیرید. اگر سه مثلث $ABD$، $BCD$ و $ACD$ هم‌نهشت باشند، آنگاه مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین است.

اگر در چهارضلعی $ABCD$ را در نظر بگیرید. اگر سه مثلث $ABD$، $BCD$ و $ACD$ هم‌نهشت باشند، آنگاه $ABCD$ مستطیل است.

قطرهای چهارضلعی $ABCD$ یکدیگر را در نقطهٔ $E$ قطع کرده‌اند. اگر دو مثلث $AEB$ و $CED$ هم‌نهشت باشند، آنگاه $\triangle ABC\cong \triangle BCD$.

14 / 30

چهارضلعی مقعر $ABCD$ را در نظر بگیرید. اگر دو مثلث $ABD$ و $ADC$ همنهشت باشند، آنگاه کدام عبارت (عبارت‌های) زیر همواره درست است؟

$A\widehat{D}C=D\widehat{A}B$

$A\widehat{D}C=B\widehat{D}A$

$A\widehat{B}C=A\widehat{C}B$

$BD=CD$

15 / 30

در چهارضلعی محدب $ABCD$، دو مثلث $ABD$ و $ADC$ همنهشت‌اند. عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$A\widehat{D}C=D\widehat{A}B$

$D\widehat{A}C=B\widehat{D}A$

$A\widehat{B}D=D\widehat{C}A$

$AC=BD$

16 / 30

در چهارضلعی $ABCD$، دو مثلث $ABD$ و $BCD$ همنهشت‌اند. عبارت‌ (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$A\widehat{B}D=C\widehat{B}D$

$B\widehat{A}D=D\widehat{C}B$

$A\widehat{B}D=C\widehat{D}B$

17 / 30

$ABC$ مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع $10$ است. از نقطهٔ $D$ پاره‌خط‌های $DE$، $DF$، و $DG$ را موازی اضلاع مثلث رسم کرده‌ایم. حاصل‌جمع طول این سه‌ پاره‌خط کدام است؟

18 / 30

در شکل زیر $ABCD$ و $AFEC$ مستطیل هستند. اگر عرض $ABCD$ برابر $3$ و طول آن برابر $4$ باشد، مساحت $AFEC$ چقدر است؟

19 / 30

یک نوار کاغذی را تا می‌کنیم. مثلثی که از روی‌هم افتادن دو لایه نوار ایجاد می‌شود، چه نوع مثلثی است؟

قائم‌الزاویه

متساوی‌الساقین

متساوی‌الاضلاع

نمی‌توان تعیین کرد.

20 / 30

در شکل زیر نقطهٔ $O$ مرکز دایره است و $AC$ برابر شعاع دایره است. اگر $\widehat{C}=15^\circ$، اندازهٔ زاویه‌ای که با علامت سؤال مشخص شده کدام است؟

21 / 30

دو شش‌ضلعی منتظم داریم و یک دایره به شعاع $1$ واحد. رأس‌های یک شش‌ضلعی منتظم روی دایره قرار دارند و اضلاع شش‌ضلعی دیگر بر این دایره مماس‌اند. نسبت تشابه این دو چندضلعی چقدر است؟

$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

22 / 30

نقطهٔ $M$ روی ضلع $CD$ از مستطیل $ABCD$ قرار دارد. می‌دانیم $B\widehat{A}M=30^\circ$ و $A\widehat{B}M=60^\circ$. نسبت مساحت مثلث $ADM$ به مساحت مثلث $BCM$ چقدر است؟

$\sqrt{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$3$

23 / 30

دو مثلث با یکدیگر متشابهند. اگر اضلاع اولی $5$،‌ $6$، و $a$، و اضلاع دومی $9$، $12$، و $b$ باشد، بیشترین مقدار ممکن برای $a$ کدام است؟

$8$

$\dfrac{20}{3}$

$7$

$7.5$

24 / 30

در لوزی $ABCD$، مثلث متساوی‌الاضلاع $AEF$ را رسم کرده‌ایم و می‌دانیم $AB=AE$. زاویهٔ $BAD$ چند درجه است؟

25 / 30

مستطیلی به ابعاد $a\times b$ $(a > b)$ مفروض است. اگر مستطیلی متشابه با آن به ابعاد $c\times d$ $(c < d)$ رسم کنیم و روی قطرهای هر دو مستطیل مثلث‌های متساوی‌الاضلاعی بنا کنیم، نسبت مساحت مثلث‌ها کدام است؟

$\left(\dfrac{a}{d}\right)^2$

$\left(\dfrac{c}{b}\right)^2$

$\left(\dfrac{a}{c}\right)^2$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$

26 / 30

با توجه به شکل زیر داریم $AM=AN$، $MS=NS$، و $MP$ نیمساز زاویهٔ $BMS$ است. زاویهٔ $\alpha$ چند درجه است؟ ($\widehat{M}_1=29.5^\circ$ و $\widehat{S}=\widehat{C}$)

27 / 30

در مثلث $ABC$ می‌دانیم $\widehat{B}=120^\circ$. روی ضلع $AC$ و خارج مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع به نام $ACD$ رسم می‌کنیم. کدام گزینه (گزینه‌ها) همواره درست است؟

خط $BD$ در مثلث $ABC$ عمودمنصف است.

خط $BD$ در مثلث $ABC$ نیم‌ساز است.

خط $BD$ در مثلث $ABC$ میانه است.

مساحت مثلث $ABC$، سه برابر مساحت مثلث $ACD$ است.

28 / 30

در شکل زیر، مجموع زاویه‌های مشخص شده چند درجه است؟ $(AB=AC)$

29 / 30

چند عبارت از عبارت‌های زیر درست است؟
$\bullet$ اگر در دو چهارضلعی $ABCD$ و $A'B'C'D'$ داشته باشیم:
\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}\]
دو چهارضلعی متشابه‌اند.
$\bullet$ اگر در دو پنج‌ضلعی $ABCDE$ و $A'B'C'D'E'$ داشته باشیم:
\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}\]
دو پنج‌ضلعی متشابه‌اند.
$\bullet$ اگر در دو شش‌ضلعی $ABCDEF$ و $A'B'C'D'E'F'$ داشته باشیم:
\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EF}{E'F'}=\frac{FA}{F'A'}\]
دو شش‌ضلعی متشابه‌اند.

یکی

دو تا

سه تا

هیچی

30 / 30

دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های $A$ و $B$ قطع کرده‌اند. اگر $AC$ قطری از دایرهٔ اول و $AD$ قطری از دایرهٔ دوم باشد، کدام گزینه (گزینه‌ها) صحیح است؟

مثلث $BCD$ متساوی‌الاضلاع است.

مثلث $BCD$ متساوی‌الساقین است.

مثلث $BCD$ قائم‌الزاویه است.

نقاط $B$، $C$، و $D$ مثلث تشکیل نمی‌دهند.