آزمون ورودی کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

آزمون ورودی به کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

تعداد سؤال: 20 سؤال
زمان: ۱۲۰ دقیقه

بعد از پاسخگویی به همهٔ سؤالات، روی دکمهٔ مشاهدهٔ نتیجه کلیک کنید تا نمرهٔ شما ثبت شود.

در پایان آزمون قبولی یا عدم قبولی شما نمایش داده خواهد شد. در صورت قبولی در این آزمون، برای تعیین وقت مصاحبه، با شما تماس می‌گیریم.

1 / 20

باقی‌ماندهٔ تقسیم $x^5+20$ بر $x-2$ چقدر است؟

2 / 20

می‌دانیم وجه‌های یک پنج‌وجهی، چهارتا مثلث و یک چهارضلعی هستند. این پنج‌وجهی چند یال دارد؟

3 / 20

سه نقطهٔ $A=\big[{1 \atop 1}\big]$، $B=\big[{3 \atop 1}\big]$ و $C=\big[{3 \atop 5}\big]$ را در نظر بگیرید. حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول از خط‌ $x=3$ چقدر است؟

$4\pi$

$8\pi$

$\dfrac{32}{3}\pi$

$\dfrac{16}{3}\pi$

4 / 20

کدام کسر (کسرها) بین دو کسر $\frac{7}{5}$ و $\frac{5}{3}$ قرار دارد؟

$\dfrac{23}{15}$

$‎\dfrac{113}{75}$

$\dfrac{51}{45}$

$\dfrac{119}{90}$

5 / 20

عبارت‌ (عبارت‌هایی) را که ناحیهٔ هاشورخوردهٔ شکل زیر را نشان می‌دهند، علامت بزنید.

$(A\cup B\cup C)-\Big(\big(A-(B\cup C)\big)\cup \big(B-(A\cup C)\big)\cup \big(C-(A\cup B)\big)\Big)$

$\big((A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)\big)-(A\cap B\cap C)$

$\big((A\cap B)-C\big)\cup \big((A\cap C)-B\big)\cup \big((B\cap C)-A\big)$

6 / 20

اعدادی را که جواب معادلهٔ $\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}$ هستند، علامت بزنید.

$-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$\sqrt{2}-\sqrt{3}$

7 / 20

فرض کنید $n$ یک عدد ثابت، $A=\{3x+n\mid x\in\mathbb{Z}\}$ و $-23\in A$. اگر $\{a,b\}\subseteq A$، آنگاه $a+b$ عضو کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر می‌تواند باشد؟

$\{1357,1388,1332\}$

$\{1395,1438,2017\}$

$\{1399,1442,2020\}$

8 / 20

در یک بازی فوتبال بین دو تیم $A$ و $B$ می‌دانیم در پایان نیمهٔ نخست تیم $A$ برنده به رختکن رفته و در این نیمه، بازی ۳ گل داشت، همچنین در نیمهٔ دوم حداکثر ۴ گل زده شده که سهم تیم $B$ حداقل نیمی از این گل‌ها بود. با چه احتمالی بازی مساوی تمام شده است؟

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{3}$

9 / 20

فرض کنید مجموعهٔ $A$ شامل همهٔ اعداد طبیعی بزرگتر از $9$ باشد که رقم‌های آنها از چپ به راست افزایشی هستند. برای مثال، رقم‌های اعداد $58$ و $1257$ از چپ به راست افزایشی است ولی رقم‌های اعداد $43$ و $14588$ از چپ به راست افزایشی نیست. کدام عبارت (عبارت‌های) زیر درست است؟

اگر $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$، آنگاه تعداد زیرمجموعه‌های $M$ برابر است با $n(A)+10$.

اگر $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$، آنگاه تعداد زیرمجموعه‌های $M$ برابر است با $n(A)$.

اگر $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$، آنگاه تعداد زیرمجموعه‌های $M$ برابر است با $n(A)+9$.

مجموعهٔ $A$ بی‌شمار عضو دارد.

10 / 20

اگر $n\in\mathbb{Z}$ و $\big(n^n\big)^{1396}=1$، آنگاه برای $n$ چند مقدار مختلف وجود دارد؟

11 / 20

عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}$

$\dfrac{3}{\sqrt[3]{2^8}}=\dfrac{3}{2^2}$

$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}-1$

12 / 20

مستطیلی به ابعاد $a\times b$ $(a > b)$ مفروض است. اگر مستطیلی متشابه با آن به ابعاد $c\times d$ $(c < d)$ رسم کنیم و روی قطرهای هر دو مستطیل مثلث‌های متساوی‌الاضلاعی بنا کنیم، نسبت مساحت مثلث‌ها کدام است؟

$\left(\dfrac{a}{c}\right)^2$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$

$\left(\dfrac{a}{d}\right)^2$

$\left(\dfrac{c}{b}\right)^2$

13 / 20

در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$ و $CD$ برابرند. اگر $A\widehat{B}C=150^\circ$ و $B\widehat{C}D=90^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $BAD$ چند درجه است؟

14 / 20

اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه دربارهٔ دو ادعای زیر چه می‌توان گفت؟
ادعای اول: اگر $a=-b$،‌ آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن دقیقاً $3$تا است.
ادعای دوم: اگر $b=0$، آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن $3$ تا یا $2$ تا است.

هر دو ادعا نادرست هستند.

فقط ادعای اول درست است.

فقط ادعای دوم درست است.

هر دو ادعا درست هستند.

15 / 20

چندتا از تساوی‌های زیر اتحاد هستند؟
\[\begin{aligned}&a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)\\&(a-1)(a^2-2)=a^3-3a+2\\&x^4+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{aligned}\]

16 / 20

حاصل عبارت زیر چند است؟
\[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\]

17 / 20

با جایگذاری $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ در گستردهٔ عبارت \[x^2\big(x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)\big(5x^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)-\frac{3}{2}x\] به چه عددی می‌رسیم؟

$2\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

$-\sqrt{3}$

$0$

18 / 20

اگر $A$ و $B$ به‌ترتیب مجموعه جواب نامعادله‌های $\frac{2x}{5}-\frac{x}{3} \frac{2(x-1)}{3}$ باشند، $A\cap B$ چند عضو صحیح دارد؟

19 / 20

اگر $A=\Big[{m\atop n}\Big]$ محل برخورد دو خط $d_1:y=-3x-2$ و $d_2:\frac{y}{4}-2=\frac{x}{2}$ و $O$ مبدأ مختصات باشد و $B=\Big[{0\atop n}\Big]$، آن‌وقت محیط مثلث $OAB$ چقدر است؟

$2+2\sqrt{5}$

$4\sqrt{5}$

$6+2\sqrt{5}$

$4+2\sqrt{5}$