آزمون ورودی کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

آزمون ورودی به کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

تعداد سؤال: 20 سؤال
زمان: ۱۲۰ دقیقه

بعد از پاسخگویی به همهٔ سؤالات، روی دکمهٔ مشاهدهٔ نتیجه کلیک کنید تا نمرهٔ شما ثبت شود.

در پایان آزمون قبولی یا عدم قبولی شما نمایش داده خواهد شد. در صورت قبولی در این آزمون، برای تعیین وقت مصاحبه، با شما تماس می‌گیریم.

1 / 20

کدام‌ چندجمله‌ای‌های زیر بر $x+3$ بخش‌پذیرند؟

$x^3-4x^2+4x$

$x^3+2x^2-3x$

$x^2+6x+9$

$-4x^3-12x^2$

2 / 20

می‌دانیم وجه‌های یک هشت‌وجهی چهارتا مثلث و چهارتا چهارضلعی هستند. تعداد یال‌های این هشت‌وجهی چند تاست؟

3 / 20

سه نقطهٔ $A=\big[{1 \atop 1}\big]$، $B=\big[{3 \atop 1}\big]$ و $C=\big[{3 \atop 5}\big]$ را در نظر بگیرید. حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول از خط‌ $y=5$ چقدر است؟

$8\pi$

$32\pi$

$\dfrac{32}{3}\pi$

$\dfrac{64}{3}\pi$

4 / 20

کدام کسر (کسرها) بین دو کسر $\frac{7}{5}$ و $\frac{5}{3}$ قرار دارد؟

$\dfrac{119}{90}$

$\dfrac{23}{15}$

$‎\dfrac{113}{75}$

$\dfrac{51}{45}$

5 / 20

اگر $A=\{\sqrt{x}\mid \sqrt{x}\in\mathbb{Z},x<1000\}$، $B=\{x+17\mid x\in\mathbb{N},x\leq 20\}$، $C=\{20,21,22,\dots,30\}$ و شکل زیر نمودار ون سه مجموعهٔ $A$، $B$ و $C$ باشد، آنگاه ناحیهٔ سایه خوردهٔ شکل زیر حداکثر چند عضو دارد؟

6 / 20

کدام گزینه جواب معادلهٔ $|2x-3|=|7-3x|$ است؟

$x=2$

$x=-4$

$x=2$ یا $x=-4$

$x=4$ یا $x=2$

7 / 20

اگر $A=\{-22, -17, -12, -7, \dots\}$، آنگاه عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$A=\{5x+3\mid x\in\mathbb{Z},x\geq -5\}$

$A=\{x+5\mid x\in\mathbb{Z},x\geq -27\}$

$A=\{5x-3\mid x\in\mathbb{Z},x\geq -5\}$

$A=\{x-5\mid x\in\mathbb{Z},x\geq -27\}$

8 / 20

تعداد اعضای $\{0,1\}\times \{0,1\}$ با تعداد اعضای کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟
(تعریف حاصل‌ضرب دو مجموعه در صفحهٔ ۱۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.)

همهٔ حالت‌های ممکن فرزندان خانواده‌ای که دو فرزند دارند.

همهٔ حالت‌های ممکن در پرتاب دو سکه

همهٔ حالت‌های ممکن که می‌توان دو کارت از بین چهار کارتی که روی آنها اعداد $1$،‌ $2$، $3$ و $4$ نوشته شده است، انتخاب کرد.

9 / 20

مجموعهٔ $A$ شامل همهٔ اعداد چهار رقمی است که با رقم‌های $1$، $2$، $3$ و $4$ نوشته می‌شوند و رقم تکراری ندارند. تعداد اعضای مجموعهٔ $A$ با تعداد اعضای کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟

مجموعهٔ $D$ شامل همهٔ حالت‌های ایستادن عرفان، الیاس، پوریا و کیان در یک صف است.

مجموعهٔ $C$ همهٔ کلماتی است که از جابه‌جایی حروف $M,A,T,H$ ساخته می‌شوند.

مجموعهٔ $B$ همهٔ اعداد چهار رقمی است که از جابه‌‌جایی رقم‌های $3,3,6,8$ ساخته‌ می‌شوند.

10 / 20

عدد $\Big(\dfrac{1}{64}\Big)^{-12}$ را به‌‌صورت عدد $2^m$ نوشته‌ایم. مقدار $m$ را بیابید.

11 / 20

می‌دانیم:
\[\sqrt{16x}+A=(4+x^2)‎\sqrt{x}.\]
عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$A=8\sqrt{x}-x^2\sqrt{x}$

$A=x^2\sqrt{x}$

$A=8\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}$

$A=-x^2\sqrt{x}$

12 / 20

دو مثلث با یکدیگر متشابهند. اگر اضلاع اولی $5$،‌ $6$، و $a$، و اضلاع دومی $9$، $12$، و $b$ باشد، بیشترین مقدار ممکن برای $a$ کدام است؟

$8$

$7$

$\dfrac{20}{3}$

$7.5$

13 / 20

در مثلث $ABC$ میانهٔ $AM$ را از طرف $M$ به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $N$ به‌دست آید. چند جفت مثلث هم‌نهشت می‌توان یافت که رئوس آنها از پنج نقطهٔ $A$، $B$، $C$، $M$ یا $N$ انتخاب شده باشند؟

14 / 20

اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه دربارهٔ دو ادعای زیر چه می‌توان گفت؟
ادعای اول: اگر $a=-b$،‌ آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن دقیقاً $3$تا است.
ادعای دوم: اگر $b=0$، آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن $3$ تا یا $2$ تا است.

فقط ادعای اول درست است.

هر دو ادعا نادرست هستند.

فقط ادعای دوم درست است.

هر دو ادعا درست هستند.

15 / 20

کدام تساوی (تساوی‌های) زیر، اتحاد است؟

$3x^2-4x+x^2=10x+4x^2-14x$

$x^4+2x-1=(x^2+x-1)(x^2-x+1)+x^2$

$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$

16 / 20

در معادلهٔ $x^3-4x^2+3x=0$ مجموع ریشه‌ها چقدر است؟

17 / 20

اگر تساوی زیر یک اتحاد باشد، $a+b$ چند مقدار متفاوت دارد؟
\[(x^2+ax+1)^2=x^4+bx^3+6x^2+bx+1\]

18 / 20

می‌دانیم $x^2+2\sqrt{2}\,x+k$ را می‌توان تجزیه کرد. بیشترین مقدار $k$ چقدر است؟

19 / 20

خط $y=2x+d$ در زیر رسم شده است. مقدار $t$ چقدر است؟
پاسخنامه ریاضی تکمیلی

20 / 20

می‌دانیم $m$ و $n$ اعدادی حقیقی هستند و معادلهٔ خط $d$ به‌صورت زیر است:
\[(2x+y+2)m+(3y-x+7)n+(5x-2y+10)=0.\]
اگر خط $d$ موازی محور عرض‌ها باشد و محور طول‌ها را در نقطه‌ای به‌طول $-2$ قطع کند، آنگاه $\frac{2m}{n}$ چقدر است؟