آزمون ورودی به کلاس ریاضیات پیشرفته دهم
تعداد سؤال: 20 سؤال زمان: ۱۲۰ دقیقه
بعد از پاسخگویی به همهٔ سؤالات، روی دکمهٔ مشاهدهٔ نتیجه کلیک کنید تا نمرهٔ شما ثبت شود.
در پایان آزمون قبولی یا عدم قبولی شما نمایش داده خواهد شد. در صورت قبولی در این آزمون، برای تعیین وقت مصاحبه، با شما تماس می‌گیریم.
1 / 20
باقی‌ماندهٔ تقسیم $x^5+20$ بر $x-2$ چقدر است؟
پاسخ تشریحی
2 / 20
می‌دانیم وجه‌های یک پنج‌وجهی، چهارتا مثلث و یک چهارضلعی هستند. این پنج‌وجهی چند یال دارد؟
3 / 20
در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، $\widehat{A}=45^\circ$، $AB=6$ و $AD=4\sqrt{2}$. حجم حاصل از دوران این متوازی‌الاضلاع حول ضلع $AD$ کدام است؟
4 / 20
فرض کنید روی محور اعداد، تمام نقاطی که عدد گنگی بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) را نمایش می‌دهند به‌اضافهٔ نقاطی که خود \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) را نمایش می‌دهند، رنگ کرده باشیم. عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.
5 / 20
اگر $A=\{\sqrt{x}\mid \sqrt{x}\in\mathbb{Z},x<1000\}$، $B=\{x+17\mid x\in\mathbb{N},x\leq 20\}$، $C=\{20,21,22,\dots,30\}$ و شکل زیر نمودار ون سه مجموعهٔ $A$، $B$ و $C$ باشد، آنگاه ناحیهٔ سایه خوردهٔ شکل زیر حداکثر چند عضو دارد؟
6 / 20
حاصل عبارت زیر، کدام است؟ \[-1-\big|1-|-1|\big|\]
7 / 20
کدام گزینه نمایش مجموعهٔ \(\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\dots\}\) با نمادهای ریاضی است؟
8 / 20
کدام پیشامد (پیشامدهای) زیر، معادل $\{2,3,5\}\times \{2,3,5\}$ است؟ (تعریف حاصل‌ضرب دو مجموعه در صفحهٔ ۱۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.)
9 / 20
مجموعهٔ $S$ شامل همهٔ قطرهای یک شش‌ضلعی است. تعداد اعضای مجموعهٔ $S$ با تعداد اعضای کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟
10 / 20
اگر $0 < a < b < c < 1$ و بدانیم $b^2$ به $a^2$ نزدیکتر از $c^2$ است، برای کدام عبارت (عبارت‌های) زیر، مثال وجود دارد؟
11 / 20
می‌دانیم: \[\sqrt{16x}+A=(4+x^2)\sqrt{x}.\] عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.
12 / 20
چهارضلعی مقعر $ABCD$ را در نظر بگیرید. اگر دو مثلث $ABD$ و $ADC$ همنهشت باشند، آنگاه کدام عبارت (عبارت‌های) زیر همواره درست است؟
13 / 20
عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.
پاسخ تشریحی تمرین ۱۲ صفحهٔ ۵۲ و تمرین ۵ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.
14 / 20
اگر حاصل عبارت $(x^2+3x+1)(x-1)^2$ را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسیم، ضریب جملهٔ درجه \(1\) چه عددی است؟
جملههای درجه \(1\) به سه حالت بهدست میآیند:\[\begin{aligned}&(x^2+{\color{red}3x}+1)(x\,{\color{red}-\,1})(x\,{\color{red}-\,1})\\&(x^2+3x+{\color{red}1})({\color{red}x}-1)(x\,{\color{red}-\,1})\\&(x^2+3x+{\color{red}1})(x\,{\color{red}-\,1})({\color{red}x}-1)\end{aligned}\]بنابراین، ضریب عددی جملهٔ درجه \(1\)، برابر \(1\) است. زیرا:\[\begin{aligned}&3x\times(-1)\times(-1)+1\times x\times(-1)+1\times(-1)\times x\\&=3x-x-x\\&=x.\end{aligned}\]
15 / 20
عبارت (عبارت‌های) درست را مشخص کنید.
پاسخ تشریحی نادرستی عبارت اول
پاسخ تشریحی درستی عبارت دوم
پاسخ تشریحی نادرستی عبارت سوم
16 / 20
عبارت $(x^2-10x+16)(x^4-5x^2+4)$ چه تعداد ریشهٔ متفاوت دارد؟
17 / 20
اگر \(x\) و \(y\) دو عدد منفی باشند و \(x^2+xy=300\) و \(y^2+yx=600\)، آن‌وقت مقدار \(x+y\) چیست؟
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}&x^2+xy=300\\&y^2+yx=600\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(x^2+xy)+(y^2+yx)=300+600\\&\Rightarrow x^2+2xy+y^2=900\\&\Rightarrow(x+y)^2=900\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x+y=30\\&x+y=-30.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون بنابه فرض مسئله، \(x\) و \(y\) هر دو منفی هستند، پس \(x+y\) نمیتواند برابر \(30\) باشد. بنابراین: \[x+y=-30.\]
18 / 20
حاصل‌جمع چهار عددی طبیعی \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) برابر \(23\) است. بیشترین مقدار ممکن برای عبارت \(ab+bc+cd\) چیست؟
مستطیلی با اضلاع \(a+c\) و \(b+d\) رسم می‌کنیم.
حاصل‌جمع مساحت ناحیههای آبیرنگ مستطیل بالا برابر است با: \[ab+bc+cd.\] در این مسئله، میخواهیم \(ab+bc+cd\) بیشترین مقدار ممکن باشد. پس باید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) را طوری انتخاب کنیم که مساحت ناحیهٔ سفید شکل بالا، یعنی \(ad\)، کمترین مقدار ممکن شود. می‌دانیم که \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عددی طبیعی هستند. پس کمترین مقدار ممکن برای \(ad\) برابر \(1\) است. بنابراین، \(a=1\) و \(d=1\). از طرفی می‌دانیم که \[\begin{aligned}&a+b+c+d=23\\&\Rightarrow1+b+c+1=23\\&\Rightarrow b+c=21.\end{aligned}\] حال باید مقدارهای \(b\) و \(c\) را طوری تعیین کنیم که \(bc\) بیشترین مقدار ممکن شود. \[\begin{aligned}&b=1,c=20\Rightarrow bc=20\\&b=2,c=19\Rightarrow bc=38\\&b=3,c=18\Rightarrow bc=54\\&b=4,c=17\Rightarrow bc=68\\&b=5,c=16\Rightarrow bc=80\\&b=6,c=15\Rightarrow bc=90\\&b=7,c=14\Rightarrow bc=98\\&b=8,c=13\Rightarrow bc=104\\&b=9,c=12\Rightarrow bc=108\\&b=10,c=11\Rightarrow bc=110.\end{aligned}\] بنابراین \(b=10\) و \(c=11\)، یا \(b=11\) و \(c=10\). در نتیجه، بیشترین مقدار ممکن برای \(ab+bc+cd\) برابر است با: \[\begin{aligned}&1\times10+10\times11+11\times1\\&=10+110+11\\&=131.\end{aligned}\]
پرسش. فرض کنید \(b+c\) برابر با یک عدد ثابت، مانند \(n\)، باشد. مقدارهای \(b\) و \(c\)، برحسب \(n\)، چه باشند تا \(bc\) بیشترین مقدار ممکن شود؟
پاسخ: تمرین ۶ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.
19 / 20
دربارهٔ دو ادعای زیر چه می‌توان گفت؟
ادعای اول: اگر $(x+y)+(x-y)=1$، آنگاه $x=\frac{1}{2}$ و $y=-\frac{1}{2}$.
ادعای دوم: اگر $\sqrt{3}(x+y)+(x-y)=1$، آنگاه $x=\frac{1}{2}$ و $y=-\frac{1}{2}$.
20 / 20
احمد و محمود هر کدام تعدادی سکه داشتند. احمد $5$ سکه از پدربزرگش گرفت و سکه‌هایش دو برابر سکه‌های محمود شد. سپس $12$ سکه به مادربزرگش داد و تعداد سکه‌هایش نصف تعداد سکه‌های محمود شد. احمد در ابتدا چند سکه داشته است؟
شروع دوباره آزمون
اطلاع فوری از کدهای تخفیف، جایزه‌ها، و کلاس‌های تکمیلی
اشتراک‌گذاری در واتساپ
Δ
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️