آزمون ورودی کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

آزمون ورودی به کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

تعداد سؤال: 20 سؤال
زمان: ۱۲۰ دقیقه

بعد از پاسخگویی به همهٔ سؤالات، روی دکمهٔ مشاهدهٔ نتیجه کلیک کنید تا نمرهٔ شما ثبت شود.

در پایان آزمون قبولی یا عدم قبولی شما نمایش داده خواهد شد. در صورت قبولی در این آزمون، برای تعیین وقت مصاحبه، با شما تماس می‌گیریم.

1 / 20

کدام‌ چندجمله‌ای‌های زیر بر $x+3$ بخش‌پذیرند؟

$x^2+6x+9$

$-4x^3-12x^2$

$x^3+2x^2-3x$

$x^3-4x^2+4x$

2 / 20

می‌دانیم وجه‌های یک پنج‌وجهی، چهارتا مثلث و یک چهارضلعی هستند. این پنج‌وجهی چند یال دارد؟

3 / 20

فرض کنید $A=\big[{1 \atop 1}\big]$، $B=\big[{4 \atop 1}\big]$، $C=\big[{4 \atop 5}\big]$ و $D=\big[{1 \atop 5}\big]$. اگر چهارضلعی $ABCD$ را حول خط $x=2$، $180$ درجه دوران دهیم، حجم حاصل چند برابر $\pi$ می‌شود؟

4 / 20

اعداد گویا را علامت بزنید.

$\sqrt{6.25}$

$-17$

$4.5678678678\cdots$

$3.14$

5 / 20

اگر عدد $5$، عضو مجموعهٔ $(A\cap B)-C$ باشد، عدد $5$ عضو کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر نیز هست؟

$A-(B\cup C)$

$(A-B)\cup C$

$A-(B\cap C)$

$(A-B)\cap C$

6 / 20

کدام گزینه جواب معادلهٔ $|2x-3|=|7-3x|$ است؟

$x=-4$

$x=2$ یا $x=-4$

$x=4$ یا $x=2$

$x=2$

7 / 20

رضا و سعید در یک بازی ریاضی دو نفره شرکت می‌کنند. سعید روی تعدادی کارت، اعدادی را می‌نویسد و رضا باید مجموعه‌ای به زبان ریاضی برای اعداد روی آن کارت‌ها بیان کند. اگر سعید $7$ کارت با اعداد $64$، $2$، $4$، $16$، $8$، $32$، و $1$ به رضا بدهد و رضا جواب‌های زیر را اعلام کند، پاسخ‌های درست را علامت بزنید.

$\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}$

$\Big\{x\in\mathbb{N}\mid \frac{64}{x}\in\mathbb{N}\Big\}$

$\Big\{2^x\mid x\in\mathbb{W},x < 7\Big\}$

$\Big\{2^{7-x}\mid x\in\mathbb{N},x\leq7\Big\}$

8 / 20

کدام پیشامد (پیشامدهای) زیر، معادل $\{2,3,5\}\times \{2,3,5\}$ است؟
(تعریف حاصل‌ضرب دو مجموعه در صفحهٔ ۱۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.)

پیشامد اینکه در پرتاب دو تاس، حداقل یک تاس عدد اول باشد.

پیشامد اینکه در پرتاب دو تاس مجموع اعداد ظاهر شده، عددی بین $3$ و $11$ باشد.

پیشامد اینکه در پرتاب دو تاس مجموع دو عدد رو شده کمتر از $11$ باشد.

پیشامد اینکه در پرتاب دو تاس، هر دو تاس عدد اول باشد.

9 / 20

اعضای مجموعهٔ $S$ همهٔ اعداد چهار رقمی هستند که رقم‌های آنها $4$ یا $6$ است. تعداد اعضای مجموعهٔ $S$ با تعداد اعضای کدام مجموعه‌ (مجموعه‌های) زیر برابر است؟

اعضای مجموعهٔ $A$ همهٔ حالت‌های ممکن در پرتاب همزمان چهار سکه هستند.

اعضای مجموعهٔ $C$ همهٔ حالت‌های ممکن چهار بار پرتاب یک سکه هستند.

فرض کنید هر خانهٔ یک جدول $2\times 2$ با یکی از دو رنگ آبی یا قرمز رنگ شده است. اعضای مجموعهٔ $B$ همهٔ حالت‌های رنگ‌آمیزی این جدول هستند.

10 / 20

با توجه به تساوی زیر، $x-y$ چه عددی است؟
\[2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x=4^{y^3}.\]

11 / 20

می‌دانیم:
\[\sqrt{16x}+A=(4+x^2)‎\sqrt{x}.\]
عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

$A=8\sqrt{x}-x^2\sqrt{x}$

$A=8\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}$

$A=x^2\sqrt{x}$

$A=-x^2\sqrt{x}$

12 / 20

مستطیلی به ابعاد $a\times b$ $(a > b)$ مفروض است. اگر مستطیلی متشابه با آن به ابعاد $c\times d$ $(c < d)$ رسم کنیم و روی قطرهای هر دو مستطیل مثلث‌های متساوی‌الاضلاعی بنا کنیم، نسبت مساحت مثلث‌ها کدام است؟

$\left(\dfrac{a}{c}\right)^2$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$

$\left(\dfrac{a}{d}\right)^2$

$\left(\dfrac{c}{b}\right)^2$

13 / 20

عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

اگر یک ضلع و ارتفاع و میانهٔ وارد بر آن از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اگر دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

14 / 20

در عبارت زیر، ضریب عددی یک‌جمله‌ای $A$ چند است؟
$(a^2-3ab)A=4a^2x-12abx$

15 / 20

عبارت‌ (عبارت‌های) درست را مشخص کنید.

فاکتورگیری، همیشه یک چندجمله‌ای را تجزیه می‌کند.

فرض کنید $P(x,y)$ یک چندجمله‌ای باشد که درجهٔ آن نسبت به $x$ برابر $1$ و نسبت به $y$ نیز برابر $1$ است. ممکن است $P(x,y)$ تجزیه شود.

فرض کنید $P(x)$ یک چندجمله‌ای درجه $1$ باشد. ممکن است $P(x)$ تجزیه شود.

16 / 20

اگر تساوی زیر یک اتحاد باشد، $a+b$ چقدر است؟
\[x^4+2x^3-4x^2-5x-6=(x-a)(x-b)(x^2+x+1)\]

17 / 20

با جایگذاری $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ در گستردهٔ عبارت \[x^2\big(x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)\big(5x^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)-\frac{3}{2}x\] به چه عددی می‌رسیم؟

$0$

$2\sqrt{3}$

$-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

18 / 20

اگر $A$ و $B$ به‌ترتیب مجموعه جواب نامعادله‌های $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{3}>1$ و $\dfrac{3}{2}x+2>2x-3$ باشند، آنگاه $A\cap B$ چند عضو صحیح دارد؟

19 / 20

با توجه به معادلهٔ زیر، حاصل $10x+y$ چقدر است؟
\[\frac{8^{3-2x}\times125^{1-y}}{0.25^{-y}\times16^{x+2}}=1.\]

20 / 20

علیرضا در آزمونی شرکت کرد که $40$ سؤال داشت. روی دفترچهٔ آزمون نوشته شده بود: «هر پاسخ درست $0.5$ نمرهٔ مثبت و هر پاسخ نادرست $1$ نمرهٔ منفی دارد.» علیرضا در پایان آزمون خوشحال بود که به تمام سؤال‌ها پاسخ داده است؛ اما بعد از اعلام نتایج نمرهٔ علیرضا $2$ شد! او به چند سؤال پاسخ درست داده بود؟