پای‌کلاسیکو

پاسخ تشریحی

اولی درست است. با استفاده از نمودار ون، واضح است که اگر \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq C\)، آن‌وقت \(A\subseteq C\).

دومی نادرست است. مثال نقض:
\[x=1, A=\{1,2\}, B=\big\{\{1,2\},3\big\}.\]
در مثال بالا، \(1\in A\) و \(A\in B\)، ولی \(1\not\in B\).

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۹ صفحهٔ ۳۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد. پس عبارت «بزرگ‌ترین عدد طبیعی» مجموعهٔ تهی را مشخص می‌کند. (تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

چون بین ۴ و ۷ عدد صحیح منفی وجود ندارد، پس عبارت «عددهای صحیح منفی که بین ۴ و ۷ قرار دارند» مجموعهٔ تهی را مشخص می‌کند.

\(\{x\mid x\in\mathbb{N}, x(x-1)+1=x^2-x+1\}=\mathbb{N}\). قسمت «ج» تمرین ۵ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

\(\{x\mid x\in\mathbb{Z}, 5x+2=5-2x\}=\varnothing\). قسمت «ب» تمرین ۵ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل پرسش ۸۲ آزمون تیزهوشان نهم به دهم (خرداد ۹۷) را ببینید.

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

پاسخ تشریحی

\[xyz=42=2\times3\times7.\]
بنابراین، چهار حالت برای \(\{x,y,z\}\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}1)&\;\{x,y,z\}=\{2,3,7\}\\2)&\;\{x,y,z\}=\{1,6,7\}\\3)&\;\{x,y,z\}=\{1,2,21\}\\4)&\;\{x,y,z\}=\{1,3,14\}.\end{aligned}\]

این مسئله مشابه تمرین ۱۰ صفحهٔ ۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است. 

پاسخ تشریحی

چون \(\{b^2,a+1\}=\{3^2,-b^2\}\)، پس برای \(b^2\) دو حالت داریم:
حالت اول. \(b^2=3^2\) و \(a+1=-b^2\). در این حالت داریم:
\[b^2=3^2\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&b=3\\&b=-3\end{aligned}\right.\]
اگر \(b=3\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&a+1=-b^2\\&\Rightarrow a+1=-(3)^2\\&\Rightarrow a+1=-9\\&\Rightarrow a=-10\end{aligned}\]
و اگر \(b=-3\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&a+1=-b^2\\&\Rightarrow a+1=-(-3)^2\\&\Rightarrow a+1=-9\\&\Rightarrow a=-10.\end{aligned}\]
حالت دوم. \(b^2=-b^2\) و \(a+1=3^2\). در این حالت داریم:
\[b^2=-b^2\Rightarrow b=0\]
و
\[\begin{aligned}&a+1=3^2\\&\Rightarrow a+1=9\\&\Rightarrow a=8.\end{aligned}\]

بنابراین، سه مقدار مختلف برای \(a+b\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&1)\;a+b=-10+3=-7.\\&2)\;a+b=-10-3=-13.\\&3)\;a+b=8+0=8.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

اگر \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\)، آن‌وقت مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big\{1\times2,1\times3,1\times4,1\times6,1\times12,\\&\qquad2\times3,2\times4,2\times6,2\times12,\\&\qquad3\times4,3\times6,3\times12,\\&\qquad4\times6,4\times12,\\&\qquad6\times12\big\}\\&=\{2,3,4,6,12,6,8,12,24,12,18,36,24,48,72\}\\&=\{2,3,4,6,12,8,24,18,36,48,72\}\end{aligned}\]
که \(11\) عضو دارد.

پاسخ تشریحی

چون مجموعهٔ \(\{18,36,72\}\) حاصل‌ضرب جفت‌های مجموعهٔ \(A\) است، پس عدد \(18\) از حاصل‌ضرب دو عضو متفاوت مجموعهٔ \(A\) به‌دست آمده است. همهٔ حالت‌هایی که می‌توان عدد \(18\) را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد صحیح نوشت، عبارتند از:
\[\begin{aligned}&1\times18,\;-1\times(-18)\\&2\times9,\;(-2)\times(-9)\\&3\times6,\;(-3)\times(-6).\end{aligned}\]
\(\bullet\) اعداد \(1\) و \(18\) نمی‌توانند عضو \(A\) باشند. زیرا اگر \(1\) و \(18\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت \(36\) نیز باید عضو \(A\) باشد(؟)؛ در این‌صورت \(18\times36\) نیز باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
پس، \(-1\) و \(-18\) نیز نمی‌توانند عضو \(A\) باشند.

\(\bullet\) اعداد \(2\) و \(9\) نمی‌توانند عضو \(A\) باشند. زیرا می‌دانیم که به چهار حالت می‌توان عدد \(36\) را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی نوشت:
\[\begin{aligned}36&=1\times36\\&=2\times18\\&=3\times12\\&=4\times9.\end{aligned}\]
اگر \(2\) و \(9\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت برای اینکه \(36\) عضو مجموعه حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد باید یکی از حالت‌های زیر برقرار باشد:
۱) \(1,36\in A\)؛ در این‌صورت \(1\times2\) باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
۲) \(18\in A\)؛ در این‌صورت \(9\times18\) باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
۳) \(3,12\in A\)؛ در این‌صورت \(2\times3\) باید عضو مجموعهٔ‌حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
۴) \(4\in A\)؛ در این‌صورت \(2\times4\) باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
پس، \(-2\) و \(-9\) نیز نمی‌توانند عضو \(A\) باشند.

\(\bullet\) اگر \(3\) و \(6\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت عضو دیگر \(A\) عدد \(12\) است(؟). یعنی:
\[A=\{3,6,12\}.\]
\(\bullet\) اگر \(-3\) و \(-6\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت عضو دیگر \(A\) عدد \(-12\) است(؟). یعنی:
\[A=\{-3,-6,-12\}.\]
بنابراین، دو مجموعه وجود دارد که حاصل‌ضرب جفت‌های آنها برابر \(\{18,36,72\}\) است: \[\{3,6,12\},\{-3,-6,-12\}.\]

این مسئله با توجه به تمرین‌های صفحهٔ ۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم طرح شده است. 

پرسش. اگر \(x\in\big(\mathbb{N}-\{6,10,15\}\big)\) و \(A=\{6,10,15,x\}\)، آن‌وقت مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) حداقل چند عضو دارد؟

پاسخ تشریحی

دو حالت برای نمودار ون داده شده وجود دارد.

حالت اول.

در این حالت ناحیهٔ سایه‌خورده برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big((A\cap B)-C\big)\cup\big(C-(A\cup B)\big)\\&=\{10\}\cup\{6,7\}\\&=\{6,7,10\}.\end{aligned}\]
پس در این حالت، ناحیهٔ سایه‌خورده \(3\) عضو دارد.

حالت دوم. 

در این حالت، ناحیهٔ سایه‌خورده برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big((A\cap C)-B\big)\cup\big(B-(A\cup C)\big)\\&=\{0,3,4\}\cup\{9\}\\&=\{0,3,4,9\}.\end{aligned}\]
پس در این حالت، ناحیهٔ سایه‌خورده \(4\) عضو دارد.

بنابراین، ناحیهٔ سایه خورده حداکثر \(4\) عضو دارد.

این مسئله مشابه تمرین ۲۱ صفحهٔ ۱۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

پاسخ تشریحی

ادعا. دقیقاً پنج مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد که عبارتند از:
\[\begin{aligned}&\{1,3,5,15\}\\&\{1,3,7,13\}\\&\{1,3,9,11\}\\&\{1,5,7,11\}\\&\{3,5,7,9\}.\\\end{aligned}\]
اثبات. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد فرد متمایز باشند به‌طوری‌که \[a < b < c < d.\]
\(\bullet\) اگر \(a=1\)، آن‌وقت \(b\) نمی‌تواند بزرگ‌تر از \(5\) باشد. زیرا اگر \(b\geq7\)، آن‌وقت \(c\geq9\) و \(d\geq11\). پس: \[b+c+d\geq7+9+11=27.\]

پس اگر \(a=1\)، آن‌وقت برای \(b\) دو حالت داریم:
حالت اول. \(b=3\). در این‌حالت سه مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد. زیرا:
\[\begin{aligned}&a+b+c+d=24\\&\Rightarrow1+3+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=20\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&c=5,d=15\\&c=7,d=13\\&c=9,d=11.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
حالت دوم. \(b=5\). در این‌حالت یک مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد. زیرا:\[\begin{aligned}&a+b+c+d=24\\&\Rightarrow1+5+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=18\\&\Rightarrow c=7,d=11.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(a=3\)، آن‌وقت یک مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد. زیرا
\[\begin{aligned}&a+b+c+d=24\\&\Rightarrow3+5+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=16\\&\Rightarrow c=7,d=9.\end{aligned}\]
\(\bullet\) واضح است که اگر \(a\) بزرگ‌تر از \(3\) باشد، مجموعه‌ای با شرایط گفته شده وجود ندارد(؟).

پاسخ تشریحی

این سؤال در صفحهٔ ۴۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است. برای مشاهدهٔ راه‌حل تشریحی آن، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ تشریحی

این سؤال در صفحهٔ ۵۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است. برای مشاهدهٔ راه‌حل تشریحی آن، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ تشریحی
 
این سؤال در صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است. برای مشاهدهٔ راه‌حل تشریحی آن، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ تشریحی

در راهنمای حل تمرین ۴ صفحهٔ‌ ۵۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم برای گزینه‌های اول و دوم مثال نقض ساخته شده است.
دو مثلث همنهشت \(ABD\) و \(ACD\) در ضلع \(AD\) مشترکند. چون زاویه‌های \(ABD\) و \(ACD\) روبه‌رو به ضلع مشترک این دو مثلثِ ‌همنهشت‌ هستند، پس این دو زاویه برابرند.

پاسخ تشریحی

چون $BD$ قطر دایره است پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، زاویهٔ $BAD$ قائمه است.

در نتیجه، مثلث $ABD$ قائم‌الزاویه است و بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&AB^2=BD^2-AD^2\\&\Rightarrow AB^2=10^2-8^2\\&\Rightarrow AB^2=100-64\\&\Rightarrow AB^2=36\\&\Rightarrow AB=6.\end{aligned}\]
برای محاسبهٔ طول اضلاع $BC$ و $CD$، ابتدا ثابت می‌کنیم مثلث $BCD$ قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین است.
چون $BD$ قطر دایره است، پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، زاویهٔ $BCD$ قائمه است. از طرفی بنابه فرض مسئله، $AC$ نیم‌ساز زاویهٔ $BAD$ است، در نتیجه، بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی و قضیهٔ کمان و وتر داریم:
\[\begin{aligned}&B\widehat{A}C=D\widehat{A}C\\&\Rightarrow\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}\\&\Rightarrow\overline{BC}=\overline{CD}.\quad(*)\end{aligned}\]
اکنون با توجه به رابطهٔ \((*)\) و قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث $BCD$) داریم:
\[\begin{aligned}&BC^2+CD^2=BD^2\\&\Rightarrow BC^2+BC^2=10^2\\&\Rightarrow 2BC^2=100\\&\Rightarrow BC^2=50\\&\Rightarrow BC=5\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، محیط چهارضلعی $ABCD$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&AD+AB+BC+CD\\&=8+6+5\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\&=14+10\sqrt{2}\\&\simeq14+10\times1.41\\&=14+14.1\\&=28.1\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

این سؤال در آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد (بهمن ۹۶) آمده است. برای مشاهدهٔ راه‌حل تشریحی آن، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۶ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

این سؤال در آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد (فروردین ۹۷) آمده بود. برای مشاهدهٔ راه‌حل تشریحی آن، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ تشریحی

مثال نقض گزینهٔ اول در راهنمای حل تمرین ۵ صفحهٔ ۵۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.

مثال نقض گزینهٔ دوم در راهنمای حل تمرین ۵ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.

گزینهٔ سوم قضیهٔ ززض است که در صفحهٔ ۴۸ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است. برای مشاهدهٔ اثبات قضیهٔ ززض، اینجا را کلیک کنید.

برای گزینهٔ چهارم، دو مثال نقض در تمرین ۱۳ صفحهٔ ۹۹ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم آمده است.

در راهنمای حل تمرین ۱۲ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ثابت شده است که گزینهٔ پنجم همواره درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(|x|< 2\) و \(x\in\mathbb{Z}\)، آن‌وقت داریم:
\[x\in\{-1,0,1\}.\]
دقت کنید که اگر \(|x| < 2\) و \(x^2\in\mathbb{Z}\)، آن‌وقت داریم:
\[x\in\big\{-\sqrt{3},-\sqrt{2},-\sqrt{1},\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\big\}.\]
همچنین، اگر \(|x| < 2\) و \(x^2\in\mathbb{W}\)، آن‌وقت داریم:
\[x\in\big\{-\sqrt{3},-\sqrt{2},-\sqrt{1},\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\big\}.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}A&=\big\{x+1\mid x\in\mathbb{Z},|x|<2\big\}\\&=\{-1+1,0+1,1+1\}\\&=\{0,1,2\}.\\[5pt]B&=\big\{x+1\mid x^2\in ‎\mathbb{Z} , |x|<2\big\}\\&=\big\{-\sqrt{3}+1,-\sqrt{2}+1,-\sqrt{1}+1,\sqrt{0}+1,\sqrt{1}+1,\sqrt{2}+1,\sqrt{3}+1\big\}\\&=\big\{-\sqrt{3}+1,-\sqrt{2}+1,0,1,2,\sqrt{2}+1,\sqrt{3}+1\big\}.\\[5pt]C&=\big\{|x+1|\;\big|\; x^2\in ‎\mathbb{Z} , |x|<2\big\}\\&=\big\{|-\sqrt{3}+1|,|-\sqrt{2}+1|,|0|,|1|,|2|,|\sqrt{2}+1|,|\sqrt{3}+1|\big\}\\&=\big\{\sqrt{3}-1,\sqrt{2}-1,0,1,2,\sqrt{2}+1,\sqrt{3}+1\big\}.\\[5pt]D&=\big\{\big|x-1|\;\big|\;x^2\in\mathbb{W},|x|<2\big\}\\&=\big\{|-\sqrt{3}-1|,|-\sqrt{2}-1|,|-\sqrt{1}-1|,|\sqrt{0}-1|,|\sqrt{1}-1|,|\sqrt{2}-1|,|\sqrt{3}-1|\big\}\\&=\big\{\sqrt{3}+1,\sqrt{2}+1,2,1,0,\sqrt{2}-1,\sqrt{3}-1\big\}.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

در این مجموعه اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1399-22=1377.\]

پاسخ تشریحی

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (توجه کنید که اگر $c<b$، آن‌وقت $c=a$ و این با فرض متفاوت بودن دو عدد $a$ و $c$ در تناقض است.)

بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=3|c-d|\\&\Rightarrow 2|a-b|=|c-d|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $c$ و $d$ دو برابرِ فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ است. بنابراین $d>c$. (توجه کنید که اگر $d<c$، آن‌وقت $d=a$ و این با فرض متفاوت بودن دو عدد $a$ و $d$ در تناقض است.)

بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=2|d-e|\\&\Rightarrow 3|a-b|=|d-e|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $d$ و $e$ سه برابرِ فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ است. بنابراین $e>d$. (توجه کنید که اگر $e<d$، آن‌وقت $e=b$ و این با فرض متفاوت بودن دو عدد $b$ و $e$ در تناقض است.)

باتوجه‌به محور بالا، به‌سادگی می‌توان گزینه‌های درست را تشخیص داد.
پرسش. چرا در حالت $b<a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

این مسئله در آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد (بهمن ۹۶) آمده بود.

پاسخ تشریحی

مرحلهٔ اول. نشان می‌دهیم که هر دو مجموعهٔ \(\{b^2,a+1\}\) و \(\{3^2,-b^2,c\}\) دو عضوی هستند.
چون \(-b^2\) نمی‌تواند عددی مثبت باشد و \(3^2\) عددی مثبت است، پس \(-b^2\ne3^2\). بنابراین، \(\{3^2,-b^2,c\}\) یک‌عضوی نیست. از طرفی چون \(\{b^2,a+1\}=\{3^2,-b^2,c\}\)، پس هر دو مجموعهٔ \(\{b^2,a+1\}\) و \(\{3^2,-b^2,c\}\) باید دو عضوی باشند.

مرحلهٔ دوم. نشان می‌دهیم که برای \(c\) دو حالت داریم.
در مرحلهٔ اول نشان دادیم که \(\{3^2,-b^2,c\}\) یک مجموعهٔ دو عضوی است. بنابراین، چون \(-b^2\ne3^2\)، پس برای \(c\) دو حالت وجود دارد:
حالت اول: \(c=3^2\).
حالت دوم: \(c=-b^2\).

مرحلهٔ سوم. باتوجه به مرحلهٔ دوم، و تساوی \(\{b^2,a+1\}=\{3^2,-b^2,c\}\)، حالت‌های مختلف \(b^2\) و \(a+1\) را بررسی می‌کنیم.
حالت اول: \(b^2=3^2\) و \(a+1=-b^2\).
از \(b^2=3^2\) دو مقدار برای \(b\) به‌دست می‌آید: \(b=3\) و \(b=-3\).
\(\bullet\) اگر \(b=3\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&a+1=-b^2\\&\Rightarrow a+1=-3^2\\&\Rightarrow a+1=-9\\&\Rightarrow a=-10.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(b=-3\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&a+1=-b^2\\&\Rightarrow a+1=-(-3)^2\\&\Rightarrow a+1=-9\\&\Rightarrow a=-10.\end{aligned}\]
حالت دوم: \(b^2=-b^2\) و \(a+1=3^2\).
از \(b^2=-b^2\) فقط یک مقدار برای \(b\) به‌دست می‌آید: \(b=0\).
از \(a+1=3^2\) نتیجه می‌شود: \(a=8\).

پس \(6\) جواب مختلف برای \(a+b-c\) به‌دست می‌آید.
جواب اول:
\[\left.\begin{aligned}b=3\\a=-10\\c=3^2=9\end{aligned}\right\}\Rightarrow a+b-c=-16.\]
جواب دوم:
\[\left.\begin{aligned}b=3\\a=-10\\c=-b^2=-9\end{aligned}\right\}\Rightarrow a+b-c=2.\]
جواب سوم:
\[\left.\begin{aligned}b=-3\\a=-10\\c=3^2=9\end{aligned}\right\}\Rightarrow a+b-c=-22.\]
جواب چهارم:
\[\left.\begin{aligned}b=-3\\a=-10\\c=-b^2=-9\end{aligned}\right\}\Rightarrow a+b-c=-4.\]
جواب پنجم:
\[\left.\begin{aligned}b=0\\a=8\\c=3^2=9\end{aligned}\right\}\Rightarrow a+b-c=-1.\]
جواب ششم:
\[\left.\begin{aligned}b=0\\a=8\\c=-b^2=0\end{aligned}\right\}\Rightarrow a+b-c=8.\]
توجه کنید که جواب ششم قابل قبول نیست. زیرا در جواب ششم داریم \(b=c=0\)، در صورتی‌که می‌دانیم \(b\) و \(c\) اعداد حقیقی متفاوتی هستند.

پاسخ تشریحی

چون مثلث \(PQR\) متساوی‌الساقین است، پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، گزینهٔ آخر همواره درست است.

در این مسئله، اکثر افراد شکل زیر را رسم می‌کنند.

و از شکل بالا نتیجه می‌گیرند که به‌غیر از گزینهٔ اول، بقیهٔ گزینه‌ها درست هستند. اما می‌توان شکل را طوری رسم کرد که همهٔ‌ گزینه‌ها (به‌غیر از گزینهٔ آخر) نادرست باشند. در شکل بالا، به مرکز \(Q\) و شعاع \(QY\) دایره‌ای رسم می‌کنیم.

حالا اگر به‌جای نقطهٔ آبی، نقطهٔ سیاه شکل بالا را \(Y\) بنامیم، واضح است که همهٔ‌ گزینه‌ها (به‌غیر از گزینهٔ آخر) نادرست هستند.

پاسخ تشریحی 

برای مشاهدهٔ پاسخ تشریحی، راهنمای حل سؤال ۶۳ آزمون پیشرفت تحصلیی نهم (بهمن ۹۶) را ببینید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی
 
\[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}&=2^{2^4}=2^{16}\\2^{2^{2}}x&=2^4x\\4^{y^3}&=\big(2^2\big)^{y^3}=2^{2y^3}.\end{aligned}\]
باتوجه‌به تساوی‌های بالا، داریم:
\[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x&\Rightarrow 2^{16}=2^4x\\&\Rightarrow \frac{2^{16}}{2^4}=x\\&\Rightarrow 2^{12}=x\\&\Rightarrow x=4096.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}=4^{y^3}&\Rightarrow 2^{16}=2^{2y^3}\\&\Rightarrow 16=2y^3\\&\Rightarrow 8=y^3\\&\Rightarrow y=2.\end{aligned}\]
پس:
\[x+y=4098.\]

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۱۴ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی
\[\begin{aligned}&\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{8\times 2}}{\sqrt[3]{27\times 2}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2-2\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{2}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2(1-\sqrt[3]{2})}{3(\sqrt[3]{2}-1)}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{-2(\sqrt[3]{2}-1)}{3(\sqrt[3]{2}-1)}\Bigg)^{-3}\\&=\Big(1+\dfrac{-2}{3}\Big)^{-3}\\&=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-3}\\&=3^3\\&=27.\end{aligned}\]

این سؤال مشابه تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۲ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل سؤال ۷۵ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم (بهمن ۹۶) را ببینید.

پاسخ تشریحی

از تساوی $\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}$ می‌توان مقدارهای $x$ و $y+z$ را به‌دست آورد:
\[\begin{aligned}&\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|+1=5\\&\{m\}=\{z+1,-y\}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=4\\&z+1=-y\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=4,\;x=-4\\&y+z=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
برای دو حالت $x=4$ و $x=-4$ داریم:
\[\begin{aligned}x=4\Rightarrow-x^{-2}&=-(4)^{-2}\\&=-\frac{1}{4^2}\\&=-\frac{1}{16}\cdot\end{aligned}\]\[\begin{aligned}x=-4\Rightarrow-x^{-2}&=-(-4)^{-2}\\&=-\frac{1}{(-4)^2}\\&=-\frac{1}{16}\cdot\end{aligned}\]
اگر \(m\) عددی زوج باشد، آن‌وقت:
\[(y+z)^{m}=(-1)^{m}=1\]
و اگر \(m\) عددی فرد باشد، آن‌وقت:
\[(y+z)^{m}=(-1)^{m}=-1.\]
بنابراین، اگر \(m\) زوج باشد، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\\&=\Big|-\frac{1}{16}+1\Big|\\&=\Big|\frac{15}{16}\Big|\\&=\frac{15}{16}\cdot\end{aligned}\]
و اگر \(m\) فرد باشد، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\\&=\Big|-\frac{1}{16}-1\Big|\\&=\Big|-\frac{17}{16}\Big|\\&=\frac{17}{16}\cdot\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

بسیاری از افراد شکل مشابه شکل زیر برای این مسئله رسم می‌کنند و نتیجه می‌گیرند که فقط برای عبارت آخر می‌توان مثال نقض ساخت.

اما می‌توان برای همهٔ عبارت‌های دیگر نیز، مثال نقض ساخت. در شکل بالا، دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AC\) رسم می‌کنیم.

به‌جای نقطهٔ \(C\) در شکل اول، نقطهٔ سیاه‌رنگ بالا را \(C\) می‌نامیم.

حالا، در چهارضلعی \(ABCD\)، همهٔ شرایط مسئله برقرار است ولی این شکل مثال نقضی برای همهٔ عبارت‌های داده شده است.

پاسخ تشریحی
 
بنابه فرض مسئله $AB=BM$؛ یعنی مثلث $ABM$ متساوی‌الساقین است. پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[B\widehat{A}M=B\widehat{M}A.\quad (1)\]
بنابراین مکمل دو زاویهٔ بالا نیز برابرند؛ یعنی
\[B\widehat{A}D=A\widehat{M}C.\quad (2)\]

دو مثلث $ACM$ و $ABD$ همنهشت‌اند. زیرا:
\(\bullet\) بنابه فرض مسئله، \(AM=AD\).
\(\bullet\) بنابه رابطهٔ \((2)\)، \(A\widehat{M}C=B\widehat{A}D\).
\(\bullet\) چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=BC\). از طرفی، بنابه فرض مسئله، \(AB=BM\). در نتیجه، \(CM=AB\).
از همنهشتی دو مثلث \(ABD\) و \(AMC\) نتیجه می‌شود:
\[A\widehat{B}D=C.\quad(3)\]
اکنون می‌توانیم اندازهٔ زاویهٔ $ABC$ را به‌دست آوریم.
\[\left. \begin{aligned}\widehat{D}+\widehat{C}=70^\circ\\A\widehat{B}D=\widehat{C}\quad(3)\end{aligned}\right\}\Rightarrow \widehat{D}+A\widehat{B}D=70^\circ. \quad(4)\]
با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ خارجی در مثلث $ABD$ داریم:
\[\widehat{D}+A\widehat{B}D=B\widehat{A}M.\quad(5)\]
از رابطه‌های \((4)\) و \((5)\) نتیجه می‌شود $B\widehat{A}M=70^\circ$.
حال بنابه رابطهٔ \((1)\) و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث $ABM$) داریم:
\[\begin{aligned}&B\widehat{A}M+B\widehat{M}A+A\widehat{B}M=180^\circ\\&\Rightarrow70^\circ+70^\circ+A\widehat{B}M=180^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{B}M=180^\circ-140^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{B}M=40^\circ.\end{aligned}\]
پس $A\widehat{B}C=40^\circ$.

پاسخ تشریحی

چون علی از محمد کوتاه‌تر است، پس علی نمی‌تواند قدبلندترین باشد.
همچنین، چون مریم از مینا بلندتر است، مینا نیز نمی‌تواند قدبلندترین باشد.
از طرفی، محمد از مریم بلندتر است، پس مریم هم نمی‌تواند قدبلندترین باشد.
و چون سینا از مینا کوتاه‌تر است، پس سینا هم نمی‌تواند قدبلندترین باشد.
پس، قدبلندترین فرد محمد است.

پاسخ تشریحی

مکعب اصلی دارای \(6\) وجه یکسان است، که مساحت هر کدام از آن‌ها برابر است با:\[3\times 3=9.\]بنابراین، مساحت کل مکعب اصلی برابر است با:\[6\times 9=54.\] در نتیجه، مساحت کل شکل نهایی نیز برابر است با \(54\).
چرا؟

پاسخ تشریحی

در سه ردیف بالایی شکل، \(6\) دایرۀ رنگی با شعاع \(1\) سانتی‌متر و در ردیف پایینی شکل \(4\) نیم‌دایره با شعاع \(1\) سانتی‌متر را مشاهده می‌کنیم.
واضح است که مساحت این \(4\) نیم‌دایره برابر است با مساحت \(2\) دایره با شعاع \(1\) سانتی‌متر. در مجموع، تعداد دایره‌های با شعاع \(1\) سانتی‌متر در شکل برابر است با: \[6+2=8.\] در نتیجه، مجموع مساحت قسمت رنگی برحسب سانتی‌متر مربع برابر است با: \[8 \times \pi \times 1^2 = 8\pi.\]

پاسخ تشریحی

با توجه به اتحاد \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) داریم:
\[\begin{aligned}\frac{10^{2n}-1}{3\big(10^n+1\big)}&=\frac{\big(10^n\big)^2-1}{3\big(10^n+1\big)}\\[7pt]&=\frac{\big(10^n-1\big)\big(10^n+1\big)}{3\big(10^n+1\big)}\\[7pt]&=\frac{10^n-1}{3}.\end{aligned}\] عدد \(10^n-1\) از \(n\)تا 9 تشکیل شده است. پس \(\frac{10^n-1}{3}\)، از \(n\)تا \(3\) تشکیل شده است. از طرفی، می‌دانیم که مجموع رقم‌های \(a\) برابر \(567\) است. پس: \[3n=567\Rightarrow n=189.\]

پاسخ تشریحی

دو تا چهاروجهی منتظم را از یک وجه به‌هم بچسبانید. شکل زیر، دو تا چهار وجهی منتظم را که از یک وجه به‌هم چسبیده‌اند، نشان می‌دهد.

در شکل بالا، سه مثلث روبه بالا (مثلث‌های آبی)، سه مثلث رو به پایین (مثلث‌های قرمز) و یک مثلث در محل چسبیدن دو چهاروجهی به‌هم، وجود دارد. بنابراین، پاسخ این مسئله، \(7\) مثلث است.

پاسخ تشریحی

\(n\) می‌تواند برابر \(4\) باشد. برای مثال:

در ادامه، ثابت می‌کنیم که \(n\) نمی‌تواند یک عدد فرد باشد.
فرض کنید یک خط راست، همهٔ ضلع‌های یک چندضلعی را قطع کرده باشد. توجه کنید که وقتی یک خط راست پاره‌خطی را قطع می‌کند، یک سر پاره‌خط در یک طرف خط راست قرار داد و سر دیگرش در طرف دیگر آن. بنابراین، تعداد رأس‌هایی از چندضلعی که در یک طرف خط راست موردنظر قرار دارند با تعداد رأس‌هایی که در طرف دیگر قرار دارند، برابر است. (به رأس‌های قرمز و آبی شکل بالا دقت کنید.) در نتیجه، اگر \(n\) عددی فرد باشد، نمی‌توان یک خط راست رسم کرد که همهٔ ضلع‌ها (و نه رأس‌های) یک \(n\)ضلعی را قطع کند.

در بخش مسئلهٔ هفته، مسئلهٔ‌ هفتهٔ نهم را ببییند.

پرسش. اگر \(n\) یک عدد زوج باشد، آیا می‌توان یک \(n\)ضلعی مثال زد که یک خط راست بتواند همهٔ ضلع‌های آن را قطع کند؟

پاسخ تشریحی

ارتفاع هر آجر برابر \(2\)، \(3\)، یا \(6\) است. چون آجرها به شکل مکعب‌مستطیل هستند، با چرخاندن آن‌ها و تغییر قاعده‌شان، ارتفاع آن‌ها تغییر می‌کند. پس، مجموع ارتفاعات ممکن برای برج \(4\) آجری برابر است با مجموع ارتفاعات \(4\) آجر، که ارتفاع هر آجر می‌تواند برابر یکی از اعداد \(2\)، \(3\)، یا \(6\) باشد.
\(\bullet\) اگر هر \(4\) آجر ارتفاعشان برابر \(6\) باشد، ارتفاع برج برابر است با:
\[4\times 6=24.\]
\(\bullet\) اگر \(3\) آجر دارای ارتفاع \(6\) باشند، ارتفاع آجر چهارم برابر \(3\) یا \(2\) است. بنابراین، ارتفاع برج می‌تواند به یکی از دو حالت زیر باشد:
\[\begin{aligned}&3\times 6+3=21,\\&3\times 6+2=20.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(2\) آجر دارای ارتفاع \(6\) باشند، ارتفاع آجرهای سوم و چهارم برابر \(3\) یا \(2\) است. بنابراین، ارتفاع برج می‌تواند یکی از \(3\) حالت زیر باشد:
\[\begin{aligned}&2\times 6+3+3=18,\\&2\times 6+3+2=17,\\&2\times 6+2+2=16.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(1\) آجر دارای ارتفاع \(6\) باشد، ارتفاع آجرهای دوم، سوم و چهارم برابر \(3\) یا \(2\) است. بنابراین، ارتفاع برج می‌تواند یکی از \(4\) حالت زیر باشد:
\[\begin{aligned}&6+3+3+3=15,\\&6+3+3+2=14,\\&6+3+2+2=13,\\&6+2+2+2=12.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر ارتفاع هیچ کدام از آجرها \(6\) نباشد، ارتفاع برج می‌تواند یکی از \(5\) حالت زیر باشد:
\[\begin{aligned}&3+3+3+3=12,\\&3+3+3+2=11,\\&3+3+2+2=10,\\&3+2+2+2=9,\\&2+2+2+2=8.\end{aligned}\]
بنابراین، ارتفاعات ممکن برای این برج برابر است با:
\[24,21,20,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8.\] یعنی آمیتیس می‌تواند این برج را با \(14\) ارتفاع مختلف بسازد.

پاسخ تشریحی

اختلاف مسافت دو دونده در یک دقیقه برابر است با $\frac{2}{35}$ از دور یک میدان.

چرا؟

بنابراین، پس از $1050$ ثانیه برای اولین بار بعد از حرکت کنار یکدیگر قرار خواهند گرفت.

چرا؟

پاسخ تشریحی

وقتی یسنا \(4\) عدد صحیح را از بین اعداد نوشته شده (\(n\) عدد) حذف می‌کند، \(n-4\) عدد صحیح باقی می‌ماند. فرض می‌کنیم مجموع \(n-4\) عدد صحیح باقی مانده برابر \(T\) باشد. میانگین این \(n-4\) عدد صحیح برابر است با:
\[\begin{aligned}89.5625&=89+0.5+0.0625\\[7pt]&=89+\frac{1}{2}+\frac{1}{16}\\[7pt]&=\frac{1433}{16}.\end{aligned}\]
مجموع \(n-4\) عدد صحیح برابر \(T\) است، پس می‌توانیم میانگین آن‌ها را به صورت زیر بنویسیم:
\[\begin{aligned}&\frac{T}{n-4}=\frac{1433}{16}\\&\Rightarrow16T=1433(n-4).\end{aligned}\] چون \(1433\) و \(16\) هیچ مقسوم‌علیه مشترک بزرگتر از \(1\) ندارند (مقسوم‌علیه‌های مثبت \(16\) برابرند با: \(1\)، \(2\)، \(4\)، \(8\)، و \(16\) که هیچ کدام از آن‌ها، به جزء \(1\)، مقسوم‌علیه \(1433\) نیستند)، پس \(n-4\) مضربی از \(16\) است.
از طرفی، می‌دانیم:\[100 همچنین چون \(n\)تا عدد صحیحی که یسنا در ابتدا نوشته، اعداد صحیح متوالی هستند که از \(1\) شروع می‌شوند و تنها \(4\) عدد از اعداد بزرگتر از \(100\) حذف می‌شوند، پس می‌توان گفت میانگین \(n\) عدد و \(n-4\) عدد نسبتاً به یکدیگر نزدیک است.
چون میانگین اعداد باقی مانده برابر \(89.5625\) است و به \(90\) نزدیک است، منطقی است اگر بگوییم میانگین \(n\) عدد که در ابتدا داشتیم نیز به \(90\) نزدیک است.
چون \(n\) عدد صحیح که یسنا در ابتدا نوشته، اعداد صحیح متوالی هستند که از \(1\) شروع می‌شوند، می‌توانیم حدس بزنیم که تعداد این \(n\) عدد صحیح تقریباً برابر \(180\) است. به عبارت دیگر، به نظر می‌رسد که \(n\) به \(180\) نزدیک است.
همچنین گفتیم که \(n-4\) مضربی از \(16\) است. نزدیکترین مضرب \(16\) به \(180\) برابر است با: \(160\)، \(176\)، و \(192\) پس: \[n=164,\;n=180,\;n=196.\] فرض می‌کنیم \(n=180\)، که به نظر می‌رسد نزدیکترین جواب باشد. در انتها نیز نشان می‌دهیم که تنها مقدار ممکن برای \(n\) است.
با توجه به معادلۀ زیر:
\[\frac{T}{n-4}=89.5625,\]خواهیم داشت:
\[T=176\times 89.5625=15763.\] مجموع \(n\) عدد صحیح (متوالی) برابر است با:
\[1+2+3+4+\dots+(n-1)+n=\frac{1}{2}n(n+1).\] وقتی \(n=180\)، مجموع \(180\) عدد صحیح (متوالی) زیر:
\[1,2,3,\dots,178,179,180\]برابر است با:
\[\frac{1}{2}(180)(181)=16290.\] چون مجموع \(180\) عدد برابر است با \(16290\) و مجموع اعداد وقتی \(4\) عدد را حذف می‌کنیم برابر است با \(15763\)، پس مجموع \(4\) عدد حذف شده برابر است با:
\[16290-15763=527.\]یعنی:
\[p+q+r+s=527.\]حال می‌خواهیم تعداد حالاتی که می‌توانیم \(4\) عدد \(p\)، \(q\)، \(r\)، و \(s\) را با شرایط زیر انتخاب کنیم، بشماریم:
\(\bullet\) \(100 < p < q < r < s\leq 180\)
\(\bullet\) \(p+q+r+s=527\)
\(\bullet\) حداقل \(3\) تا از \(4\) عدد \(p\)، \(q\)، \(r\) و \(s\) متوالی باشند.
چهارمین عدد از این \(4\) عدد صحیح حداقل برابر \(101\) و حداکثر برابر \(180\) است، یعنی مجموع \(3\) عدد متوالی حداقل برابر است با:
\[527-180=347.\] و حداکثر برابر است با:
\[527-101=426.\] یعنی \(3\) عدد متوالی حداقل برابرند با اعداد \(115\)، \(116\)، و \(117\) (که مجموعشان برابر \(348\) است) ، چون اگر اعداد \(114\)، \(115\)، و \(116\) را انتخاب کنیم، مجموعشان برابر است با:
\[114+115+116=345,\] که مجموعشان کوچک است و اگر اعداد کوچکتر را انتخاب کنیم، مجموعشان نیز کوچکتر می‌شود که در این صورت انتخاب این اعداد مناسب نیست.
اگر \(p\)، \(q\)، و \(r\) به‌ترتیب برابر \(115\)، \(116\) و \(117\) باشند، آنگاه:
\[s=527-348=179.\]
سه عدد متوالی حداکثر برابرند با \(141\)، \(142\)، و \(143\) (مجموعشان برابر است با \(426\))؛ چون اگر اعداد \(142\)، \(143\)، و \(144\) را انتخاب کنیم، مجموعشان برابر است با:
\[142+143+144=429,\] که مجموعشان بزرگ است و اگر اعداد بزرگتر را انتخاب کنیم، مجموعشان نیز بزرگتر می‌شود که در این صورت انتخاب این اعداد مناسب نیست. اگر \(p\)، \(q\)، و \(r\) به‌ترتیب برابر \(141\)، \(142\)، و \(143\) باشند، پس:
\[s=527-426=101.\]
چون هر کدام از \(3\) عدد متوالی \(1\) واحد افزایش می‌یابند و مجموع اعداد عددی ثابت است، پس چهارمین عدد \(3\) واحد کاهش می‌یابد تا مجموع اعداد همچنان ثابت بماند.
با توجه به اطلاعات بالا، حالات ممکن برای \(p\)، \(q\)، \(r\)، و \(s\) را در زیر آورده‌ایم:
\[\begin{aligned}&115,116,117,179\;;\;116,117,118,176\;;\;\dots\;;\;130,131,132,134\\&128,132,133,134\;;\;125,133,134,135\;;\;\dots\;;\;101,141,142,143\end{aligned}\]
\(26\) حالت مختلف از گروه‌های چهارتایی اعداد صحیح داریم که می‌توانیم از \(n\) عدد اولیه حذف کنیم (\(16\) حالت در ردیف اول و \(10\) حالت در ردیف دوم). مقادیر ممکن برای \(s\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&179,176,173,170,167,164,161,158,155,152,149,146,143,140,137,134\\&134,135,136,137,138,139,140,141,142,143\end{aligned}\] دو ردیف بالا، \(4\) عدد مشترک دارند، پس در مجموع \(26-4=22\) مقدار ممکن برای \(s\) داریم.

چرا \(n=180\) تنها مقدار ممکن برای \(n\) است؟
پاسخ:

پاسخ تشریحی

دنبالهٔ \(2k\)عضوی پرهام \(66\) عضو دارد. پس:
\[\begin{aligned}&2\times k=66\\&k=33.\end{aligned}\] جملاتی که در \(33\) مکان اول قرار دارند، به صورت زیر هستند:
\[1,2,3\dots,31,32,33\]این \(33\) جمله پس از بُر زدن (با همان ترتیب قبلی خود) به مکان‌های فرد منتقل می‌شوند. یعنی هر جمله که دارای مکان \(x\) \((1\leq x\leq 33)\) است، با بُر زدن به مکان \(2x-1\) منتقل می‌شود.
همچنین، جملاتی که در \(33\) مکان دوم قرار دارند، به صورت زیر هستند:
\[34,35,36,\dots,64,65,66\] این \(33\) جمله پس از برُ زدن (با همان ترتیب قبلی خود) به مکان‌های زوج منتقل می‌شوند. یعنی هر جمله که دارای مکان \(x\) \((34\leq x\leq 66)\) است، با بُر زدن به مکان \(2(x-33)\) منتقل می‌شود.
به طور خلاصه، جمله‌ای که در مکان \(x\) قرار دارد، پس از بُر زدن به یکی از مکان‌های زیر منتقل می‌شود:
\(\bullet\) اگر \(1\leq x\leq 33\)، انتقال به مکان \(2x-1\)
\(\bullet\) اگر \(34\leq x\leq 66\)، انتقال به مکان \(2(x-33)\)
بنابراین، جابه‌جایی‌های عدد \(47\) به‌صورت زیر است:

چون عدد \(47\) در دنبالۀ \(13\)اُم مجدداً به مکان اولیه خود برگشت، می‌توان نتیجه گرفت که این عدد در یک چرخه با طول \(12\) به مکان قبلی خود برمی‌گردد:
\[47,28,55,44,22,43,20,39,12,23,45,24\]
باید توجه کنیم که عدد \(47\) هر \(12\) دنباله یکبار در مکان \(24\)اُم قرار می‌گیرد.
چون:\[12\times 83=996\] و \[12\times 84=1008\] این چرخه \(83\)بار کامل تکرار می‌شود و عدد \(47\) در \(83\) دنباله در مکان \(24\)اُم قرار می‌گیرد.

پاسخ تشریحی

در مسابقۀ اول، وقتی آزاده به خط پایان می‌رسد، کیانا \(20\) متر از او عقب‌تر است یا کیانا \(80\) متر دویده است. چون آزاده و کیانا این مسافت را در زمان مساوی دویده‌اند، پس نسبت سرعت آن‌ها برابر است با نسبت مسافتی که طی کرده‌اند، یعنی سرعت کیانا \(80\%\) سرعت آزاده است. به طور مشابه، سرعت گلناز \(90\%\) سرعت کیانا است. بنابراین، سرعت گلناز \(90\%\) سرعت کیانا که \(80\%\) سرعت آزاده است، است. یا سرعت گلناز \(90\%\) از \(80\%\) سرعت آزاده است. چون \(90\%\) از \(80\%\) برابر است با:\[0.90 \times 0.80=0.72=72\%,\] پس سرعت گلناز \(72\%\) سرعت آزاده است.
وقتی آزاده \(100\) متر دویده و به خط پایان رسیده است، گلناز \(72\%\) از \(100\) متر یا \(72\) متر را در زمان یکسان دویده است. پس وقتی آزاده به خط پایان می‌رسد، فاصلۀ گلناز با او برابر است با: \[100-72=28.\]

پاسخ تشریحی

فرض کنید \(b\) بیانگر تعداد پسران، و \(g\) بیانگر تعداد دخترانی باشد که از ابتدا در کلاس ثبت‌نام کرده‌اند.
وقتی \(11\) پسر به کلاس اضافه می‌شوند، تعداد پسران برابر می‌شود با:
\[b+11.\] وقتی \(13\) دختر از کلاس انصراف می‌دهند، تعداد دختران برابر می‌شود با:
\[g-13.\] بعد از این جابه‌جایی‌ها، نسبت پسران به دختران برابر است. یعنی، تعداد پسران کلاس برابر است با تعداد دختران کلاس، یا به‌عبارت دیگر:
\[\begin{aligned}&b+11=g-13\\&\Rightarrow g=b+24.\quad(1)\end{aligned}\] چون حداقل \(66\) دانشجو از ابتدا در کلاس ثبت‌نام کرده بودند، پس می‌توان نتیجه گرفت: \[b+g\geq 66.\quad(2)\]
حال، با استفاده از رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}b+g&=b+(b+24)\\&=2b+24.\quad(3)\end{aligned}\]
اکنون، با استفاده از رابطه‌های \((2)\) و \((3)\) داریم:
\[\begin{aligned}&b+g\geq66\\&\Rightarrow2b+24 \geq 66\\&\Rightarrow2b\geq42\\&\Rightarrow b \geq 21.\quad(4)\end{aligned}\]

در ادامه، با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((4)\) هریک از نسبت‌های داده شده را بررسی می‌کنیم. با استفاده از رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\frac{b}{g}=\frac{b}{b+24}.\]
نسبت تعداد پسران به دختران قبل از تغییر تعدادشان می‌تواند برابر \(\frac{4}{7}\) باشد.
چرا؟

نسبت تعداد پسران به دختران قبل از تغییر تعدادشان می‌تواند برابر \(\frac{1}{2}\) باشد.
چرا؟

نسبت تعداد پسران به دختران قبل از تغییر تعدادشان می‌تواند برابر \(\frac{9}{13}\) باشد.
چرا؟

نسبت تعداد پسران به دختران قبل از تغییر تعدادشان نمی‌تواند برابر \(\frac{5}{11}\) باشد.
چرا؟

نسبت تعداد پسران به دختران قبل از تغییر تعدادشان می‌تواند برابر \(\frac{3}{5}\) باشد.
چرا؟

پاسخ تشریحی

جمع سه عدد دورقمی \(\overline{xx}\)، \(\overline{yy}\)، و \(\overline{zz}\) را به‌صورت ستونی و مرحله به مرحله انجام می‌دهیم.

مرحلهٔ اول:

بنابراین: \[\begin{aligned}y+z=10.\quad(1)\end{aligned}\]

مرحلهٔ دوم:

بنابراین: \[1+x+z=10.\quad(2)\]

مرحلهٔ سوم:

بنابراین، \(z=1\).
حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود که \(y=9\) و \(x=8\). در نتیجه:
\[\begin{aligned}x\times y\times z=8\times9\times1=72.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

چون فقط یکی از سه گزارهٔ داده شده درست است، پس دو گزارۀ دیگر اشتباه هستند.

گزارهٔ دوم نمی‌تواند درست باشد.
چرا؟

گزارهٔ سوم نمی‌تواند درست باشد.
چرا؟

چون هر دو گزارۀ دوم و سوم نمی‌توانند درست باشند، پس گزارۀ اول باید درست باشد.
چون گزارۀ اول درست است، پس نیوتن یا بلندترین ساختمان است یا دومین ساختمان بلند. چون گزارۀ سوم اشتباه است، پس گالیله بلندترین ساختمان است، که یعنی نیوتن دومین ساختمان بلند است. چون گزارۀ دوم نیز اشتباه است، پس اقلیدس بلندترین ساختمان نیست و در نتیجه کوتاه‌ترین ساختمان است (چون نیوتن دومین ساختمان بلند است). اسامی ساختمان‌ها از کوتاه‌ترین به بلندترین به صورت زیر است:
\[E,\;N,\;G.\]

پاسخ تشریحی

باید تمام حالت‌های ممکن برای ساخت گروه‌هایی را که مجموع اعداد داخل آن‌ها (شمارۀ سنگ‌ها) برابر \(11\) است، بسازیم.
\(\bullet\) گروه‌های دوعضوی که مجموع اعداد هر گروه برابر \(11\) است:
\[\{1,10\},\{2,9\},\{3,8\},\{4,7\},\{5,6\}.\]
\(\bullet\) گروه‌های سه‌عضوی که مجموع اعداد هر گروه برابر \(11\) است:
\[\{1,2,8\},\{1,3,7\},\{1,4,6\},\{2,3,6\},\{2,4,5\}.\](آیا می‌توانید ثابت کنید که هیچ گروه سه‌عضوی دیگری وجود ندارد؟)
\(\bullet\) گروه‌های چهارعضوی که مجموع اعداد هر گروه برابر \(11\) است:
\[\{1,2,3,5\}.\]
بنابراین، فقط می‌توانیم گروه‌های دوعضوی و سه‌عضوی بسازیم.
در ادامه، باید تعداد حالت‌هایی را بشماریم که می‌توانیم سه گروه از ده گروهِ دوعضوی و سه‌عضوی بالا را طوری انتخاب کنیم که در بین گروه‌ها عدد تکراری وجود نداشته باشد. این حالت‌ها به صورت زیر هستند:
حالت ۱. هر \(3\) گروه دوعضوی باشند. در این حالت، مسئله \(10\) جواب دارد.
چرا؟

حالت ۲. \(2\) گروه دوعضوی و \(1\) گروه سه‌عضوی. در این حالت، مسئله \(5\) جواب دارد.
چرا؟

حالت ۳. \(1\) گروه دوعضوی و \(2\) گروه سه‌عضوی. در این حالت، مسئله جواب ندارد.
چرا؟

حالت ۴. هر \(3\) گروه سه‌عضوی باشند. در این حالت، مسئله جواب ندارد.
چرا؟

بنابراین، تعداد کل حالت‌های ممکن برای این مسئله برابر است با:
\[10+5=15.\]

پاسخ تشریحی

واضح است که \(a\)، \(b\)، و \(c\) بین \(0\) و \(1\) هستند.
چرا؟

\(c=\frac{1}{2}\).
چرا؟

در نتیجه، \(b=\frac{1}{4}\) یا \(b=\frac{3}{4}\).
چرا؟

بنابراین، چهار حالت برای \(a\) وجود دارد: \(a=\frac{1}{8}\)، \(a=\frac{3}{8}\)، \(a=\frac{5}{8}\)، یا \(a=\frac{7}{8}\).
چرا؟

بنابراین، حاصل‌جمع همهٔ مقدارهای ممکن برای \(a\) برابر است با:
\[\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{5}{8}+\frac{7}{8}=\frac{16}{8}=2.\]

پاسخ تشریحی

کلید هر لامپ به تعداد مجموع مقسوم‌علیه‌هایش فشار داده می‌شود. برای مثال، کلید لامپ \(4\) را \(1\)بار دیوانهٔ اول، \(2\)بار دیوانهٔ دوم، و \(4\)بار دیوانهٔ چهارم فشار می‌دهد. بنابراین، تعداد دفعاتی که کلید لامپ \(4\) فشار داده می‌شود برابر است با:\[1+2+4=7.\] پس برای اینکه شمارهٔ لامپ‌‌های روشن را بیابیم، باید اعداد کوچک‌تر یا مساوی \(100\) را مشخص کنیم که مجموع مقسوم‌علیه‌های هریک از آن‌ها عددی فرد باشد.
مجموع مقسوم‌علیه‌های یک عدد وقتی فرد است که تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد آن عدد، فرد باشد.
چرا؟

هر عدد طبیعی را می‌توان به‌صورت \(2^n\times k\) نوشت که \(n\) یک عدد صحیح نامنفی و \(k\) عددی فرد باشد.
می‌شه چندتا مثال بزنید؟!

فرض کنید \(m=2^n\times k\) (که \(n\) یک عددی صحیح نامنفی و \(k\) عددی فرد باشد)، آنگاه مقسوم‌علیه‌های فرد \(m\) دقیقاً مقسوم‌علیه‌های \(k\) هستند. تعداد مقسوم‌علیه‌های \(k\) وقتی فرد است که \(k\) مربع کامل باشد.
چرا؟

به‌ این ترتیب، عددهایی که به‌دنبال آنها هستم به‌صورت \(a^2\times2^n\) هستند که \(a\) عددی فرد و \(n\) یک عدد صحیح نامنفی است. این اعداد عبارتند از:
\[\begin{aligned}&1^2\times2^0=1\\&1^2\times2^1=2\\&1^2\times2^2=4\\&1^2\times2^3=8\\&1^2\times2^4=16\\&1^2\times2^5=32\\&1^2\times2^6=64\\[5pt]&3^2\times2^0=9\\&3^2\times2^1=18\\&3^2\times2^2=36\\&3^2\times2^3=72\\[5pt]&5^2\times2^0=25\\&5^2\times2^1=50\\&5^2\times2^2=100\\[7pt]&7^2\times2^0=49\\&7^2\times2^1=98\\[5pt]&9^2\times2^0=81.\end{aligned}\]
و حاصل‌جمع این اعداد برابر \(665\) است.

پاسخ تشریحی

در یک مستطیل لبه‌سفید، اگر \(n=4\)، آنگاه \(r=1-\frac{4}{m+2}\).
چرا؟

از طرفی، می‌دانیم \(r=\frac{a}{23}\). پس:
\[\begin{aligned}&1-\frac{4}{m+2}=\frac{a}{23}\\[7pt]&\Rightarrow1-\frac{a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{23-a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow(23-a)(m+2)=4\times23.\end{aligned}\] چون \(m\geq3\)، پس \(m+2\geq5\) و از آنجا که \(m\) عددی طبیعی است، نتیجه می‌گیریم که \(23-a\) نیز عددی طبیعی است و بنابراین، \(a<23\). از طرفی، \[\begin{aligned}&4\times23\\&=1\times92\\&=2\times46.\end{aligned}\] در نتیجه، سه مقدار متفاوت برای \(a\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&23-a=4\Rightarrow 19=a\\&23-a=1\Rightarrow22=a\\&23-a=2\Rightarrow21=a.\end{aligned}\] بنابراین، حاصل‌ضرب همهٔ مقدارهای ممکن برای \(a\) برابر است با:
\[19\times22\times21=8778.\]

پاسخ تشریحی

باید با دقت تمامی الگوهای متفاوت را بشماریم. دسته‌بندی الگوهای متفاوت به گروه‌هایی که دارای یک ویژگی مشترک هستند، می‌تواند روش خوبی برای شمارش دقیق باشد. الگوهای متفاوت را براساس تعداد مثلث‌های رنگی در گوشه‌ها (\(3\)، \(2\)، \(1\)، یا \(0\)) دسته‌بندی می‌کنیم.

سه مثلث رنگی در گوشه‌ها. در این‌حالت فقط یک ‌الگو وجود دارد:

دو مثلث رنگی در گوشه‌ها. در این حالت، \(3\) الگوی متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

یک مثلث رنگی در گوشه. در این‌ حالت، \(4\) الگوی متفاوت وجود دارد.
چرا؟

بدون گوشهٔ رنگی. در این حالت، \(2\) الگوی متفاوت وجود دارد.
چرا؟

چون این \(4\) دسته از الگوها (که در بالا بررسی کردیم)، در تعداد مثلث‌های رنگی گوشه تفاوت دارند، پس در آن‌ها الگویی نیست که با دوران یا بازتاب، با الگویی دیگر یکسان باشد.
در نتیجه، مجموع تعداد الگوهای متفاوت که می‌توانیم بسازیم برابر است با:
\[1+3+4+2=10.\]

پاسخ تشریحی

طول بلندترین ضلع، یعنی \(z\)، از نصف محیط، یعنی \(57\)، کمتر است.
چرا؟

بنابراین:\[z<\frac{57}{2} \Rightarrow z < 28.5\]
اما چون \(z\) یک عدد صحیح است، پس\(z \leq 28\).
اگر \(z=28\)، آنگاه \(13\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=28\)، آنگاه:\[x+y=57-28=29.\] در جدول زیر تمام مقادیر ممکن برای \(x\) و \(y\) به شرط \(z=28\) و \(x < y < z\) را نوشته‌ایم.

اگر \(z=27\)، آنگاه \(11\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=27\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-27=30.\]

اگر \(z=26\)، آنگاه \(10\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=26\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-26=31.\]

اگر \(z=25\)، آنگاه \(8\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=25\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-25=32.\]

اگر \(z=24\)، آنگاه \(7\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=24\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-24=33.\]

اگر \(z=23\)، آنگاه \(5\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=23\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-23=34.\]

اگر \(z=22\)، آنگاه \(4\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=22\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-22=35.\]

اگر \(z=21\)، آنگاه \(2\) مثلث متفاوت می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=21\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-21=36.\]

اگر \(z=20\)، آنگاه فقط \(1\) مثلث می‌توان ساخت.
چرا؟

اگر \(z=20\)، خواهیم داشت:
\[x+y=57-20=37.\]

اگر \(z\leq19\)، آنگاه نمی‌توان مثلثی ساخت که محیط آن برابر \(57\) باشد و \(x < y < z\).
چرا؟

در نتیجه، تعداد مثلث‌های ممکن با شرایط داده شده در سؤال برابر است با:
\[\begin{aligned}&13+11+10+8+7+5+4+2+1\\&=61.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

شکل داده شده از چهارده مکعب تشکیل شده است که اگر آن‌ها را به‌هم نچسبانده بودیم، مساحت کل برابرِ \[14\times6=84\] سانتی‌متر مربع بود.

اما همان‌طور که در شکل بالا می‌بنید، وجه‌های قرمز را به وجه‌های کناری آن‌ها و وجه‌های سبز را به‌ وجه‌های بالا یا پایین آن‌ها چسبانده‌ایم. (توجه کنید که وجه‌های زیرین سه مکعب سطر سوم نیز، سبز هستند.) بنابراین، مساحت کل شکل (پس از چسباندن مکعب‌ها) برابر است با:
\[\begin{aligned}&84-{\color{red}10\times2}-{\color{green}9\times2}\\&=84-{\color{red}20}-{\color{green}18}\\&=46.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

در ترازوی اول، وزن \(1\) دایره با وزن \(2\) مثلث برابر است. اگر محتویات دو کفهٔ این ترازو است را دو برابر کنیم، آنگاه وزن \(2\) دایره با وزن \(4\) مثلث برابر می‌شود:
\[{\color{blue}\triangle\triangle\triangle\triangle}={\color{green}\bigcirc\bigcirc}\quad(*)\]
در ترازوی دوم، وزن \(2\) دایره با وزن \(1\) مثلث و \(1\) مربع برابر است. بنابراین از محتویات ترازوی دوم و رابطهٔ \((*)\)، نتیجه می‌شود که وزن \(4\) مثلث با وزن \(1\) مثلث و \(1\) مربع برابر است:
\[{\color{blue}\triangle\triangle\triangle\triangle}={\color{blue}\triangle}{\color{purple}\square}\] بنابراین، وزن \(3\) مثلث با وزن \(1\) مربع برابر است.
واضح است که اگر وزن \(3\) مثلث با وزن \(1\) مربع برابر باشد، آنگاه وزن \(6\) مثلث با وزن \(2\) مربع برابر است:
\[{\color{blue}\triangle\triangle\triangle\triangle\triangle\triangle}={\color{purple}\square}{\color{purple}\square}\quad(**)\]
اکنون با استفاده از رابطهٔ \((*)\)، می‌توانیم در رابطهٔ \((**)\) به‌جای \(4\)تا از مثلث‌ها \(2\)تا دایره قرار دهیم. بنابراین داریم:
\[{\color{green}\bigcirc\bigcirc}{\color{blue}\triangle\triangle}={\color{purple}\square}{\color{purple}\square}\]

پاسخ تشریحی

می‌دانیم:
\[1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&1+2+3+\dots+10^{100}\\[7pt]&=\frac{10^{100}\big(10^{100}+1\big)}{2}\\[7pt]&=\frac{10\times10^{99}\big(10^{100}+1\big)}{2}\\[7pt]&=5\times10^{99}\big(10^{100}+1\big)\\[7pt]&=5\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}\big(1\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}1\big)\\[7pt]&=5\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}5\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}.\end{aligned}\] در نتیجه، مجموع ارقام حاصل عبارت \(1+2+3+\dots+10^{100}\) برابر است با:
\[5+5=10.\]

پاسخ تشریحی

شکل داده شده در صورت مسئله، یک مربع \(4 \times 4\) است که از \(30\) مربع تشکیل شده است، که \(16\)تای آن‌ها مربع‌های \(1 \times 1\)، \(9\)تای آن‌ها مربع‌های \(2 \times 2\)، \(4\)تای آن‌ها مربع‌های \(3 \times 3\)، و یکی از آن‌ها مربع \(4 \times 4\) است. پس تعداد کل مربع‌های شکل اصلی برابر است با:
\[16+9+4+1=30.\]
هر پنج گزینۀ داده شده، \(1\) یا \(2\) مربع از مربع اصلی کمتر دارند. حال می‌خواهیم تعداد مربع‌هایی را که نمی‌توانند توسط مربع‌های \(1 \times 1\)حذف شده تشکیل شوند، به‌دست آورده، و از تعداد کل \(30\) مربع کم کنیم تا تعداد مربع‌ها در هریک از پنج گزینهٔ داده شده را به‌دست آوریم.

در شکل‌های زیر، \(6\) مربعی را که در مربع اصلی وجود دارند اما در مربع گزینۀ \(2\) وجود ندارند، نشان داده‌ایم:

پاسخ تشریحی

واضح است که مسئله فقط وقتی جواب دارد که علی در قرن چهاردهم و پدربزرگ او در قرن سیزدهم متولد شده باشد. در غیر این‌صورت، باید هم‌سن باشند!
در سال \(1332\)، علی \(16\) ساله بوده است.
چرا؟

در سال \(1332\)، پدربزرگ علی \(66\) ساله بوده است.
چرا؟

بنابراین، در سال \(1332\) حاصل‌ضرب سن علی در سن پدربزرگش \[16\times66=1056\] بوده است.

پاسخ تشریحی

دوچرخه‌سواران پس از \(3\) ساعت از آغاز حرکت به یکدیگر می‌رسند.
چرا؟

در این \(3\) ساعت، مگس با سرعت \(30\) کیلومتر در ساعت بین دو تیم پرواز کرده است. پس کل مسافتی که مگس پیموده برابر \[3\times30=90\] کیلومتر است.

پاسخ تشریحی

برای این کار، به بیش از دو رنگ نیاز داریم.
چرا؟

در وسط لانهٔ زنبور، یک رأس را در نظر بگیرید. این رأس، رأس مشترک سه‌تا شش‌ضلعی است. چون هریک از این شش‌ضلعی‌ها با دو شش‌ضلعی دیگر همسایه است، پس با دو رنگ و قانون گفته شده، نمی‌توان لانهٔ زنبور را رنگ‌آمیزی کرد. برای مثال، در شکل زیر، شش‌ضلعی‌های \(A\)، \(B\)، و \(C\) در یک رأس مشترکند. واضح است که رنگ خانه‌های \(A\) و \(B\) باید متفاوت باشند و رنگ خانهٔ \(C\) نمی‌تواند با رنگ خانه‌های \(A\) و \(B\) یکسان باشد.

اکنون، اگر بتوانیم با سه رنگ و قانون گفته شده، لانهٔ زنبورها را رنگ‌آمیزی کنیم، پاسخ مسئله را یافته‌ایم!

مراحل رنگ‌آمیزی ما به‌صورت حلقه‌حلقه است!
حلقهٔ صفرم. یک شش‌ضلعی در مرکز لانهٔ زنبور انتخاب می‌کنیم. و آن را با رنگ شمارهٔ ۱ رنگ می‌زنیم.
حلقهٔ اول. شش‌ضلعی‌های حلقهٔ اول همگی همسایهٔ شش‌ضلعی حلقهٔ صفر هستند. آن‌ها را یکی‌‌درمیان با رنگ‌های شمارهٔ ۲ و ۳ رنگ می‌کنیم.

حلقهٔ دوم. شش‌ضلعی‌های حلقهٔ دوم با شش‌ضلعی‌های حلقهٔ اول همسایه‌اند. برخی از شش‌ضلعی‌های حلقهٔ دوم دوتا همسایه از حلقهٔ اول دارند و برخی یک همسایه.
\(\bullet\) اگر شش‌ضلعی مورد نظر در حلقهٔ دوم، دوتا همسایه از حلقهٔ اول داشت، آن را با رنگ شمارهٔ ۱ رنگ می‌زنیم.
\(\bullet\) اگر شش‌ضلعی مورد نظر در حلقهٔ دوم، یک همسایه از حلقهٔ اول داشت، آن را با رنگ ۲ یا ۳ (رنگ مخالف همسایه‌اش در حلقهٔ اول) رنگ می‌زنیم.

حلقهٔ سوم. ابتدا شش‌ضلعی‌هایی را که دوتا همسایه از حلقهٔ دوم دارند، رنگ می‌کنیم (واضح است که برای رنگ‌آمیزی این شش‌ضلعی‌ها فقط یک انتخاب داریم). سپس، شش‌تا شش‌ضلعی باقی می‌ماند که با توجه به همسایه‌های رنگ‌ شدهٔ آن‌ها در حلقهٔ دوم و سوم، فقط یک انتخاب داریم.

قاعدهٔ حلقه‌های چهارم به بعد نیز مشابه قاعدهٔ حلقهٔ سوم است.

پاسخ تشریحی

طبق جدول زیر، دو حرف \(m\) و \(n\) را در ستون اول جایگذاری می‌کنیم.

در این صورت، اعداد \(5\)، \(m\)، \(n\)، و \(23\)، چهار جملۀ متوالی از یک دنبالۀ حسابی هستند. چون \(5\) و \(23\)، سه جمله با یکدیگر فاصله دارند و اختلاف بین این دو عدد برابر است با: \[23-5=18,\] پس در ستون اول، عدد ثابتی که به هر جمله باید اضافه شود تا جملۀ بعد را بسازد، برابر است با:\[\frac{18}{3}=6.\]یعنی:\[\begin{aligned}&m=5+6=11,\\&n=11+6=17.\end{aligned}\] (پس \(5\)، \(11\)، \(17\)، و \(23\) جملات متوالی یک دنبالۀ حسابی هستند.)
حال، طبق جدول زیر، دو حرف \(p\) و \(q\) را در ردیف دوم جایگذاری می‌کنیم.

در این صورت، اعداد \(11\)، \(p\)، \(q\)، و \(1211\)، چهار جملۀ متوالی از یک دنبالۀ حسابی هستند. چون \(11\) و \(1211\)، سه جمله با یکدیگر فاصله دارند و اختلاف بین این دو عدد برابر است با: \[1211-11=1200,\] پس در ردیف دوم، عدد ثابتی که به هر جمله باید اضافه شود تا جملۀ بعد را بسازد، برابر است با: \[\frac{1200}{3}=400.\] یعنی:\[\begin{aligned}&p=11+400=411,\\&q=411+400=811.\end{aligned}\] (پس \(11\)، \(411\)، \(811\)، و \(1211\) جملات متوالی یک دنبالۀ حسابی هستند.)
اکنون، طبق جدول زیر، حرف \(r\) را در ردیف سوم جایگذاری می‌کنیم.

در این صورت، اعداد \(17\)، \(r\)، و \(1013\)، سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ حسابی هستند. چون \(17\) و \(1013\)، دو جمله با یکدیگر فاصله دارند و اختلاف بین این دو عدد برابر است با:\[1013-17=996,\] پس در ردیف سوم، عدد ثابتی که به هر جمله باید اضافه شود تا جملۀ بعد را بسازد، برابر است با: \[\frac{996}{2}=498.\] یعنی: \[r=17+498=515.\] (پس \(17\)، \(515\)، و \(1013\) جملات متوالی یک دنبالۀ حسابی هستند.)
در نهایت، در ستون دوم، اعداد \(411\)، \(515\)، و \(x\)، سه جملهٔ متوالی از یک دنبالۀ حسابی هستند. چون \(411\) و \(515\) دو جملۀ پشت‌سر‌هم در این دنبالۀ حسابی هستند، عدد ثابتی که به هر جمله باید اضافه شود تا جملۀ بعد را بسازد، برابر است با:\[515-411=104.\] پس:\[x=515+104=619.\]
جدول کامل شده به صورت زیر است.

پاسخ تشریحی

از \(A\) بر امتداد \(CD\) عمودی رسم می‌کنیم و پای عمود را \(F\) می‌نامیم.

چهارضلعی \(AFCE\) سه زاویهٔ قائمه دارد. پس، زاویهٔ چهارم آن نیز قائمه است و در نتیجه، \(AFCE\) مستطیل است. در ادامه ثابت می‌کنیم که \(AFCE\) مربع است. برای این کار، کافی است نشان دهیم ضلع‌های \(AE\) و \(AF\) برابرند.

دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) در حالت ززض همنهشت‌اند.

چرا؟

چون چهارضلعی \(AFCE\) مستطیل است، پس \(E\widehat{A}F=90^\circ\). از طرفی، بنابه فرض مسئله می‌دانیم \(B\widehat{A}D=90^\circ\). پس در شکل زیر، داریم:
\[\left.\begin{aligned}\widehat{A}_2+\widehat{A}_3=90^\circ\\\widehat{A}_1+\widehat{A}_2=90^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}_1=\widehat{A}_3.\quad(1)\]

بنابه داده‌های مسئله و عمودی که از \(A\) بر امتداد \(CD\) رسم کردیم، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{E}B=A\widehat{F}D=90^\circ\quad(2)\\&AB=AD.\quad(3)\end{aligned}\] حال، از رابطه‌های \((1)\)،\((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود که دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) در حالت ززض همنهشت‌اند.

از همنهشتی دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) نتیجه می‌‌شود که ضلع‌های \(AE\) و \(AF\) برابرند. پس، چهارضلعی \(AFCE\) مربع است. همچنین، با توجه به همنهشتی دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) داریم:
\[\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{ABE}+S_{AECD}\\&=S_{ADF}+S_{AECD}\\&=S_{AFCE}.\end{aligned}\] یعنی مساحت چهارضلعی \(ABCD\) با مساحت مربع \(AFCE\) برابر است. در نتیجه، مساحت مربع \(AFCE\) برابر \(100\) است. پس طول هر ضلع آن برابر است با \[\sqrt{100}=10.\] بنابراین، \(AE=10\).

پاسخ تشریحی

مستطیلی با اضلاع \(a+c\) و \(b+d\) رسم می‌کنیم.

حاصل‌جمع مساحت ناحیه‌های آبی‌رنگ مستطیل بالا برابر است با: \[ab+bc+cd.\] در این مسئله، می‌خواهیم \(ab+bc+cd\) بیشترین مقدار ممکن باشد. پس باید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) را طوری انتخاب کنیم که مساحت ناحیهٔ سفید شکل بالا، یعنی \(ad\)، کمترین مقدار ممکن شود.
می‌دانیم که \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عددی طبیعی هستند. پس کمترین مقدار ممکن برای \(ad\) برابر \(1\) است. بنابراین، \(a=1\) و \(d=1\). از طرفی می‌دانیم که
\[\begin{aligned}&a+b+c+d=23\\&\Rightarrow1+b+c+1=23\\&\Rightarrow b+c=21.\end{aligned}\] حال باید مقدارهای \(b\) و \(c\) را طوری تعیین کنیم که \(bc\) بیشترین مقدار ممکن شود.
\[\begin{aligned}&b=1,c=20\Rightarrow bc=20\\&b=2,c=19\Rightarrow bc=38\\&b=3,c=18\Rightarrow bc=54\\&b=4,c=17\Rightarrow bc=68\\&b=5,c=16\Rightarrow bc=80\\&b=6,c=15\Rightarrow bc=90\\&b=7,c=14\Rightarrow bc=98\\&b=8,c=13\Rightarrow bc=104\\&b=9,c=12\Rightarrow bc=108\\&b=10,c=11\Rightarrow bc=110.\end{aligned}\] بنابراین \(b=10\) و \(c=11\)، یا \(b=11\) و \(c=10\). در نتیجه، بیشترین مقدار ممکن برای \(ab+bc+cd\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&1\times10+10\times11+11\times1\\&=10+110+11\\&=131.\end{aligned}\]

پرسش. فرض کنید \(b+c\) برابر با یک عدد ثابت، مانند \(n\)، باشد. مقدارهای \(b\) و \(c\)، برحسب \(n\)، چه باشند تا \(bc\) بیشترین مقدار ممکن شود؟

پاسخ: تمرین ۶ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.

پاسخ تشریحی

ابتدا هریک از برش‌ها (خط‌های آبی شکل زیر) را طوری می‌زنیم که همهٔ برش‌های قبلی را قطع کند و از روی محل تقاطع برش‌های قبلی نگذرد. سپس، باید روشی برای شمارش تعداد ناحیه‌ها داشته باشیم که هیچ ناحیه‌ای جا نماند و هیچ‌ ناحیه‌ای را دوبار نشماریم.

ما به این‌ترتیب ناحیه‌ها را شمرده‌ایم:
مرحلهٔ اول. ناحیه‌هایی که با دایرهٔ صورتی مرز مشترک دارند.
مرحلهٔ دوم. ناحیه‌هایی که با دایره مرز مشترک ندارند ولی با ناحیه‌های مرحلهٔ اول مرز مشترک دارند.
مرحلهٔ سوم. ناحیه‌هایی که با دایره و ناحیه‌های مرحلهٔ اول مرز مشترک ندارند ولی با ناحیه‌های مرحلهٔ دوم مرز مشترک دارند.

پرسش. با \(n\) برش، یک پیتزای دایره‌ای شکل، حداکثر به چند تکه تقسیم می‌شود؟


این پرسش در مسئلهٔ هفتهٔ بیستم سایت تکمیلی مطرح شده است.

پاسخ تشریحی

پاسخ عدد \(4\) است.
در هر سطر، اگر حاصل‌ِجمع عدد سمت‌چپ و عدد میانی را با یک جمع بزنیم عدد سمت راست به‌دست می‌آید. برای مثال، در سطر اول داریم:
\[(2+3)+1=6\]

پاسخ تشریحی

همهٔ حالت‌های ممکن برای ابعاد این مکعب‌مستطیل عبارتند از:
\[\begin{aligned}&1\times1\times42\\&1\times2\times21\\&1\times3\times14\\&1\times6\times7\\&2\times3\times7\end{aligned}\] چون محیط قائدهٔ مکعب‌مستطیل حسین برابر \(18\) است، پس مجموع طول و عرض آن برابر است با: \[18\div2=9.\] در بین حالت‌های بالا، فقط \(2\times3\times7\) چنین خاصیتی دارد. بنابراین، طول، عرض، و ارتفاع به‌ترتیب برابر \(7\)، \(2\)، و \(3\) است.

پاسخ تشریحی

می‌دانیم که فرمول‌هایی وجود دارد که صرفاً با جایگذاری مقدارها در آن می‌توان چنین مسائلی را حل کرد؛ ولی ما از چنین فرمول‌هایی استفاده نمی‌کنیم!
با اینکه مهم نیست حجم استخر چقدر است، فرض می‌کنیم حجم استخر \(600\) لیتر باشد. شیر اول در هر ساعت \(\frac{600}{2}\) لیتر، یعنی \(300\) لیتر، آب وارد استخر می‌کند و شیر دوم ساعتی \(\frac{600}{3}\) لیتر، یعنی \(200\) لیتر آب وارد استخر می‌کند. پس وقتی دو شیر باز باشند، ساعتی \(500\) لیتر آب وارد استخر می‌کنند. بنابراین، زمان مورد نیاز برای پر شدن استخر برابر است با:
\[\frac{600}{500}=1.2\] و \(1.2\) ساعت معادل \(1\) ساعت و \(12\) دقیقه یا \(72\) دقیقه است.

پاسخ تشریحی

قرار دادن لامپ اول در جای مناسب، بسیار مهم است. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، لامپ صورتی فضای زیادی از موزه را روشن کرده است.

حالا می‌خواهیم بقیهٔ دیوارهای قسمت داخلی موزه را نیز روشن کنیم. برای این کار، جایگاه لامپ آبی را مطابق شکل زیر، انتخاب می‌کنیم.

اکنون فقط بخشی از ناحیهٔ پایین و سمت راست موزه روشن نشده است. با استفاده از یک لامپ سبز، این کار را انجام می‌دهیم:

پاسخ تشریحی

پاسخ تشریحی این مسئله و حل آن در حالت کلی، در یکی از ویدئوهای بخش ویدئوی هفته سایت تکمیلی آمده است.

پاسخ تشریحی

پاسخ، عدد \(137\) است.

جدول اعداد داده شده را چهار قسمت می‌کنیم:

در هریک از کادرهای بالا، مجموع دو عدد سطر اول و عدد سمت‌چپِ سطر دوم، برابر عدد سمت راستِ سطر دوم است.

\[\begin{aligned}1+2+3&=6\\4+2+12&=18\\1+10+2&=13\\28+58+51&=137.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

چون زاویه‌های \(AOB\) و \(COD\) متقابل‌به‌رأس هستند، پس برابرند. همچنین، زاویه‌های \(AOD\) و \(BOC\) نیز متقابل‌به‌رأس، و در نتیجه، برابرند.

بسیاری از افراد شکلی مشابه شکل زیر برای این مسئله رسم می‌کنند و نتیجه می‌گیرند که گزینه‌های دیگر نیز درست هستند!

اما می‌توان برای همهٔ عبارت‌های دیگر نیز، مثال نقض ساخت. در شکل بالا، دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AC\) رسم می‌کنیم.

به‌جای نقطهٔ \(C\) در شکل اول، نقطهٔ سیاه‌رنگ بالا را \(C\) می‌نامیم.

حالا، در چهارضلعی \(ABCD\)، همهٔ شرایط مسئله برقرار است ولی در این شکل، هیچ‌یک از گزینه‌های دیگر، درست نیست.

پاسخ تشریحی

مرحلهٔ اول. به طبقهٔ \(14\) می‌رویم و گاوصندوق اول را پرتاب می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر گاوصندوق اول در پرتاب از طبقهٔ \(14\) شکست، آنگاه به طبقهٔ اول برمی‌گردیم و گاوصندوق دوم را به‌ترتیب از طبقه‌های \(1\) تا \(13\) پرتاب می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر گاوصندوق اول در پرتاب از طبقهٔ \(14\) نشکست به مرحلهٔ بعد می‌رویم.

مرحلهٔ دوم. به طبقهٔ \(14+13=27\) می‌رویم و گاوصندوق اول را پرتاب می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر گاوصندوق اول در پرتاب از طبقهٔ \(27\) شکست، آنگاه به طبقهٔ \(15\) برمی‌گردیم و گاوصندوق دوم را به‌ترتیب از طبقه‌های \(15\) تا \(26\) پرتاب می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر گاوصندوق اول در پرتاب از طبقهٔ \(27\) نشکست به مرحلهٔ بعد می‌رویم.

مرحلهٔ سوم. به طبقهٔ \(14+13+12=39\) می‌رویم و گاوصندوق اول را پرتاب می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر گاوصندوق اول در پرتاب از طبقهٔ \(39\) شکست، آنگاه به طبقهٔ \(28\) برمی‌گردیم و گاوصندوق دوم را به‌ترتیب از طبقه‌های \(28\) تا \(39\) پرتاب می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر گاوصندوق اول در پرتاب از طبقهٔ \(39\) نشکست، به مرحلهٔ بعد می‌رویم.

و به همین‌ترتیب مراحل را ادامه می‌دهیم. با این‌گونه تفکر می‌توانید طبقهٔ مورد نظر را در \(14\) مرحله یا کمتر پیدا کنید.

توجه کنید که \(n=14\) کوچک‌ترین عدد طبیعی است که برای آن، عبارت
\[n+(n-1)+(n-2)+\dots+3+2+1\]بزرگ‌تر از \(100\) (تعداد طبقه‌های ساختمان) می‌شود.

پاسخ تشریحی

در هر \(60\) دقیقه ساعت دوم \(3\) دقیقه از ساعت اول جلوتر می‌افتد. یعنی در \(1\) ساعت، دومی \(3\) دقیقه از اولی جلو می‌افتد.
پس، در \(2\) ساعت، دومی \(6\) دقیقه جلو می‌افتد؛
در \(3\) ساعت، دومی \(9\) دقیقه جلو می‌افتد؛
\(\vdots\)
و در \(20\) ساعت، دومی \(60\) دقیقه جلو می‌افتد.
بنابراین، \(20\) ساعت (یا \(20\times60\) دقیقه) طول می‌کشد که دومی \(60\) دقیقه (یا \(1\) ساعت) از اولی جلو بیوفتد.
در نتیجه، پاسخ مسئله برابر است با:
\[20\times60=1200.\]

پاسخ تشریحی

احسان در معاملهٔ فرش اول \(1\) میلیون تومان سود کرده است.
چرا؟

احسان در معاملهٔ فرش دوم \(1.5\) میلیون تومان ضرر کرده است.
چرا؟

بنابراین، احسان در معاملهٔ این دو فرش، در مجموع \(500\) هزار تومان ضرر کرده است.

پاسخ تشریحی

پاسخ، عدد \(18\) است.

در هر ستون، اعداد بالایی و میانی را جمع بزنید و حاصل را بر \(3\) تقسیم کنید تا عدد پایینیِ آن ستون به‌دست آید.

پاسخ تشریحی

اگر اختلاف رقم ده‌هزارگان این دو عدد بیشتر از \(1\) باشد، آنگاه فاصلهٔ این دو عدد بیشتر از \(10000\) است. (برای مثال، اگر عدد اول به فرم \(5\!*\!*\!*\!*\) باشد، این عدد حداقل برابر است با \(50000\) و اگر عدد دوم به فرم \(3\!\star\!\star\!\star\!\star\) باشد، این عدد از \(40000\) کمتر است، پس فاصلهٔ این دو عدد بیشتر از \(10000\) است.)
رقم ده‌هزارگان عدد کوچکتر را \(d\) و رقم ده‌هزارگان عدد بزرگتر را \(D\) در نظر می‌گیریم. برای این‌که تفاوت بین دو عدد \(D\!*\!*\!*\!*\) و \(d\!\star\!\star\!\star\!\star\) کوچک‌ترین مقدار ممکن باشد، باید سعی کنیم ارقام متفاوت از بین ارقام \(0\) تا \(9\) را به گونه‌ای انتخاب کنیم که \(D\!*\!*\!*\!*\) به \(D0000\) و \(d\!\star\!\star\!\star\!\star\) به \(d9999\) نزدیک باشد. به‌عبارت دیگر، می‌خواهیم ارقام متفاوت از بین ارقام \(0\) تا \(9\) را به‌گونه‌ای انتخاب کنیم که کوچک‌ترین ارقام ممکن به \(D\!*\!*\!*\!*\) و بزرگ‌ترین ارقام ممکن به \(d\!\star\!\star\!\star\!\star\) تعلق گیرند.
چون ارقام به کار رفته باید متفاوت باشند، پس کوچک‌ترین مقدار ممکن برای \(D\!*\!*\!*\!*\) برابر \(D0123\) و بزرگ‌ترین مقدار ممکن برای \(d\!\star\!\star\!\star\!\star\) برابر \(d9876\) است.
اکنون، تنها رقم‌هایی که انتخاب نکرده‌ایم، \(4\) و \(5\) هستند. پس قرار می‌دهیم: \(D = 5\) و \(d = 4\). در نتیجه، اعداد مورد نظر \(50123\) و \(49876\) هستند که فاصلهٔ آنها برابر است با:
\[50123-49876=247.\]

پاسخ تشریحی

اول باید پیتزا را به \(11\) قسمت مساوی تقسیم کرد. سپس، بدون در نظر گرفتن برش‌های موجود، باید پیتزا را به \(7\) تکهٔ مساوی تقسیم کرد. فقط برای تقسیم پیتزا به \(7\) قسمت، می‌توان از یکی از برش‌های قبلی استفاده کرد و \(6\) برش به‌کار برد. بنابراین، کمترین تعداد برش برابر است با: \[11+7-1=17.\]

پاسخ تشریحی

برای این‌که زیبا به نقطۀ \(\big[{1056\atop1007}\big]\) برسد، باید از نقطۀ \(\big[{0\atop0}\big]\) به سمت بالا و راست حرکت کند. او باید حداقل \(1056\) واحد به سمت راست \((R)\) حرکت کرده باشد. چون زیبا نمی‌تواند در یک ردیف دوبار پشت سر هم حرکت کند، پس او نمی‌تواند دوبار پشت هم به سمت راست حرکت کند. به عبارت دیگر، باید بین هر دو حرکت به سمت راست، حداقل یک حرکت به سمتی دیگر وجود داشته باشد.
چون \(1056\) حرکت به سمت راست داریم و باید حداقل یک حرکت (به سمت دیگری) بین دو حرکت \(R\) باشد، پس حداقل \(1055\) حرکت دیگر (بین \(1056\) حرکت \(R\)) خواهیم داشت (حداقل یک حرکت بین حرکت اول و دوم، یک حرکت بین حرکت دوم و سوم و \(\dots\)).
بنابراین، کمترین تعداد حرکتی که نیاز داریم، برابر است با: \[1056 + 1055 = 2111.\]
حال، اگر یک مسیر با \(2111\) حرکت بسازیم که از شرایط سؤال پیروی کند و زیبا را به مقصد برساند، پاسخ را به‌دست آورده‌ایم.

می‌دانیم که زیبا باید حداقل \(1007\) حرکت به سمت بالا \((U)\) داشته باشد. پس بین حرکت اول و دوم \(R\)، حرکت دوم و سوم \(R\)، \(\dots\)، و \(1007\)اُم و \(1008\)اُم \(R\)، یک حرکت \(U\) قرار می‌دهیم.
پس تا اینجا، \(1007\) حرکت \(U\) بین حرکت‌های \(R\) قرار داده‌ایم. و \(48\) حرکت دیگر بین حرکت‌های \(R\) باقی‌مانده است که باید آن‌ها را پر کنیم (\(1055-1007=48\)). توجه کنید که مجموع این \(48\) حرکت نباید تأثیری در موقعیت (مختصات) زیبا داشته باشد، و هیچ کدام از آن‌ها نباید \(R\) باشد. (زیرا این جاهای خالی بین حرکت‌های \(R\) است).
می‌توانیم با استفاده از \(24\) حرکت \(U\) و \(24\) حرکت \(D\) (حرکت به سمت پایین)، این جاهای خالی را پر کنیم. در این‌صورت، زیبا \(24\) حرکت به سمت پایین و \(24\) حرکت به سمت بالا داشته که در مجموع، هیچ تغییری در موقعیت (مختصات) او ایجاد نمی‌کند.

بنابراین با \(2111\) حرکت، طبق شرایط بالا، زیبا می‌تواند به نقطۀ \(\big[{1056\atop1007}\big]\) برسد، و \(2111\) حرکت، کمترین تعداد حرکت برای رسیدن به مقصد است.

پاسخ تشریحی

هر روز، سپیده ساعت \(5\) سوار ماشین همسرش می‌شده است. می‌دانیم که همسر سپیده هر روز از خانه به اداره می‌رفته و او را سوار می‌کرده است. در روزی که سپیده ساعت \(4\) تعطیل شده است، همسر سپیده، فاصلهٔ سپیده تا اداره را دوبار طی نکرده است (یک‌بار در مسیر خانه تا اداره و یک‌بار مسیر اداره تا خانه). مسیر آبی‌رنگ زیر را ببینید.

در این روز، آن‌ها \(10\) دقیقه زودتر به خانه رسیده‌اند، پس \(5\) دقیقه در رفت و \(5\) دقیقه در برگشت صرفه‌جویی شده است! یعنی همسر سپیده، ساعت \(16:55\) دقیقه او را سوار کرده است. بنابراین، مدت زمان پیاده‌روی سپیده \(55\) دقیقه بوده است.

پاسخ تشریحی

این افراد را برحسب مدت زمانی که طول می‌کشد از پل عبور کنند، \(1\)، \(2\)، \(5\)، و \(10\) می‌نامیم. آن‌ها می‌توانند ظرف \(17\) دقیقه به‌ترتیب زیر از پل عبور کنند.

مرحلهٔ اول. \(1\) و \(2\) باهم از پل عبور می‌کنند و \(2\) چراغ‌قوّه را برمی‌گرداند.
مرحله دوم. \(5\) و \(10\) باهم از پل عبور می‌کنند و \(1\) چراغ‌قوّه را برمی‌گرداند.
مرحلهٔ سوم. \(1\) و \(2\) باهم از پل عبور می‌کنند.

واضح است که مدت زمان هریک از مراحل بالا به ترتیب \(4\)، \(11\)، و \(2\) دقیقه است.

پاسخ تشریحی

در راه‌حل زیر، بارها از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها استفاده خواهیم کرد.

برای سادگی، مساحت مثلث‌های \(BGH\)، \(DGH\)، \(BCG\)، و \(CDG\) را به‌ترتیب با \(k\)، \(t\)، \(m\)، و \(n\) نمایش می‌دهیم.

با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث‌های \(BDH\) و \(BCD\) داریم:
\[\frac{k}{t}=\frac{m}{n}.\quad(1)\]
چرا؟

از رابطهٔ \((1)\) نتیجه می‌شود که \(x=5\).

چگونه؟

بنابراین:
\[\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AFH}}&=4x+4=4(5)+4=24\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{DFH}}&=2x+20=2(5)+20=30\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{DGH}}&=5x+20=5(5)+20=45\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{BGH}}&=8x+50=8(5)+50=90.\end{aligned}\]

در نتیجه:
\[\begin{aligned}\frac{BG}{DG}=2.\quad(4)\end{aligned}\]

چگونه؟

پس
\[S_{\overset{\triangle}{ABH}}=108.\quad(5)\]
چرا؟

پرسش. آیا می‌توانید مساحت مثلث‌های \(AEH\) و \(BEH\) را به‌دست آورید؟

پاسخ

پاسخ تشریحی

فرض کنید عددی که رادوین انتخاب کرده است \(abcd\) باشد، که در آن \(d\) رقم یکان، \(c\) رقم دهگان، \(b\) رقم صدگان و \(a\) رقم هزارگان است.
رادوین حتماً رقم \(d\) را پاک کرده است.
چرا؟

حاصل‌جمع دو عدد \(abcd\) و \(abc\) را به‌صورت ستونی می‌نویسیم:

در ستون‌های بالا، اگر حاصل‌جمع ارقام ستون یکان بزرگ‌تر از \(9\) باشد، آن‌وقت \(1\) واحد به ستون دهگان اضافه می‌شود. رقم اضافه شونده به ستون دهگان را با \(x\) نمایش می‌دهیم. به‌همین‌ترتیب، رقم اضافه شونده به‌ستون‌های صدگان و هزارگان را به‌ترتیب با \(y\) و \(z\) نمایش می‌دهیم:

می‌توان نشان داد که \(z=1\).

چگونه؟

واضح است که \(y+a+b < 30\). زیرا \(y\)، \(a\)، و \(b\) سه رقم از ارقام \(0\) تا \(9\) هستند و مجموع سه رقم همواره کوچک‌تر از \(28\) است. (حاصل‌جمع سه رقم دلخواه، حداکثر برابر است با \(9+9+9=27\).
از طرفی، چون رقم یکان حاصل‌جمع \(y+a+b\) برابر \(0\) است، پس سه حالت برای \(y+a+b\) وجود دارد:
حالت اول: \(y+a+b=0\).
اگر مجموع این سه رقم برابر \(0\) باشد، آن‌وقت هر سه‌تای آن‌ها باید برابر صفر باشد. اما چون \(abcd\) یک عدد چهاررقمی است، \(a\) نمی‌تواند برابر \(0\) باشد.
حالت دوم: \(y+a+b=20\).
چون \(y\) دهگان حاصل‌جمع \(x+c+b\) است، پس بیشترین مقدار ممکن برای \(y\) برابر \(2\) است. اگر \(y\) برابر \(2\) باشد، آن‌وقت \(a\) و \(b\) باید برابر \(9\) باشند. اما در حاصل‌جمع زیر، واضح است که \(a\) نمی‌تواند برابر \(9\) باشد. (چون \(a+z=6\)، پس \(a\leq6\).)

حالت سوم: \(y+a+b=10\).
چون \(a\leq6\)، پس می‌توان ارقامی مانند \(b\) و \(y\) یافت به‌طوری‌که \(y+a+b=10\).
اکنون از سه حالت بالا نتیجه می‌شود که \(z=1\).

چون \(z=1\) و \(a+z=6\)، پس \(a=5\).

حال، می‌توان نشان داد که \(b=4\) و \(y=1\).
چگونه؟

اکنون، می‌توان نشان داد که \(x=1\)، \(c=8\)، \(d=3\).
چگونه؟

بنابراین، عدد چهاررقمی رادوین \(5483\) است و مجموع رقم‌های آن برابر است با:
\[5+4+8+3=20.\]

پاسخ تشریحی

برای $11$ بار انتقال کاغذ (از میز $1$ به میز $2$)، $6$ نوبت فرد و $5$ نوبت زوج وجود دارد. بنابراین، تعداد تکه‌های کاغذ روی میز $2$ از رابطه‌ٔ زیر به‌دست می‌آید.
\[6+5\times2=16.\]

برای $16$ بار انتقال کاغذ (از میز $1$ به میز $2$)، $8$ نوبت فرد و $8$ نوبت زوج وجود دارد. بنابراین، تعداد تکه‌های کاغذ روی میز $3$ از رابطه‌ٔ زیر به‌دست می‌آید.
\[8+8\times2=24.\]

برای $24$ بار انتقال کاغذ (از میز $3$ به میز $4$)، $12$ نوبت فرد و $12$ نوبت زوج وجود دارد. بنابراین، تعداد تکه‌های کاغذ روی میز $4$ از رابطه‌ٔ زیر به‌دست می‌آید.
\[12+12\times2=36.\]

پاسخ تشریحی

از حرف \(W\)، \(3\) حرف در جهت عقربه‌های ساعت حرکت می‌کنیم و به حرف \(Z\) می‌رسیم و بعد از \(Z\)، \(1\) حرف جلو رفته و به \(A\) که ابتدای حروف است، می‌رسیم. بنابراین \(4\)اُمین حرف (در جهت عقربه‌های ساعت) پس از حرف \(W\)، حرف \(A\) است.
به همین ترتیب \(4\)اُمین حرف بعد از حرف حرف \(I\)، حرف \(M\) و \(4\)اُمین حرف بعد از حرف \(N\) حرف \(R\) است.
بنابراین، حالت کد شدهٔ پیام \(WIN\)، پیام \(AMR\) خواهد بود.

پاسخ تشریحی

اطلاعات مسئله را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:
\((1)\) تعداد شکلات‌های کتایون از تعداد شکلات‌های آرام بیشتر است.

\((2)\) تعداد بستنی‌های کتایون از تعداد بستنی‌های بیتا بیشتر است.

\((3)\) تعداد بستنی‌های آرام از تعداد بستنی‌های کتایون بیشتر است.

\((4)\) تعداد شکلات‌های بیتا از تعداد شکلات‌های آرام بیشتر است.

از \((2)\) و \((3)\) می‌توان نتیجه گرفت که تعداد بستنی‌های آرام از تعداد بستنی‌های کتایون و بیتا بیشتر است. پس عبارت «آرام بیشترین تعداد بستنی را دارد» درست است.
از عبارت \((4)\) نتیجه می‌‌شود که عبارت «بیتا کمترین تعداد شکلات را دارد» نادرست است.
از عبارت \((2)\) نتیجه می‌شود که عبارت «کتایون کمترین تعداد بستنی را دارد» نادرست است.
از دو عبارت \((1)\) و \((4)\) نتیجه می‌‌شود که تعداد شکلات‌های کتایون و بیتا از شکلات‌های آرام بیشتر است. اما نمی‌توان گفت تعداد شکلات‌های کتایون از بیتا بیشتر است، یا برعکس. بنابراین، برای اینکه بدانیم عبارت‌های «بیتا بیشترین تعداد شکلات را دارد» و «کتایون بیشترین تعداد شکلات را دارد» درست هستند یا نادرست، اطلاعات کافی نداریم.

پاسخ تشریحی

وقتی علامت‌های مثبت و منفی را بین اعداد \(1\) تا \(100\) قرار دهیم، تعدادی عدد مثبت و تعدادی عدد منفی خواهیم داشت. پس می‌توانیم اعداد \(1\) تا \(100\) را به‌ دو دسته تقسیم کنیم:
دستهٔ اول. عددهایی که به‌ آن‌ها علامت مثبت داده‌ایم.
دستهٔ دوم. عددهایی که به آن‌ها علامت منفی داده‌ایم.

حاصل‌جمع اعداد دستهٔ اول را با \(P\) و حاصل‌جمع اعداد دستهٔ دوم را با \(N\) نشان می‌دهیم. برای مثال، اگر علامت‌های مثبت‌ و منفی را به‌صورت زیر قرار داده باشیم:
\[-1-2-3+4+5+6+7+\dots+100\] آنگاه \(P=4+5+6+\dots+100\) و \(N=1+2+3\).
واضح است که علامت‌های مثبت و منفی را با هر ترتیبی قرار دهیم، داریم: \(P+N=5050\).
چرا؟

در این مسئله می‌خواهیم دربارهٔ حاصل \(P-N\) بحث کنیم.
چون حاصل \(P+N\) عددی زوج است، پس \(P-N\) نمی‌تواند عددی فرد باشد.
چرا؟

در نتیجه، \(P-N\) نمی‌تواند برابر با \(-13\)، \(1\)، و \(1399\) باشد.
از طرفی، واضح است که \(P-N\) نمی‌تواند بیشتر از \(5050\) یا کمتر از \(-5050\) باشد. پس \(P-N\) نمی‌تواند برابر \(10000\) شود.
حاصل \(P-N\) می‌تواند برابر \(0\) باشد.
آیا می‌توانید یک مثال بیاورید؟

حاصل \(P-N\) می‌تواند برابر \(-10\) باشد.
آیا می‌توانید یک مثال بیاورید؟

حاصل \(P-N\) می‌تواند برابر \(1400\) باشد.
آیا می‌توانید یک مثال بیاورید؟

پاسخ تشریحی

مساحت مربع \(PQRS\) برابر است با: \[60\times60=3600.\] می‌خواهیم مساحت قسمت رنگی، نصف مساحت مربع \(PQRS\) باشد. پس مساحت قسمت رنگی باید برابر \(\frac{3600}{2}=1800\) باشد.
از نقطهٔ \(C\) خطی بر ضلع \(PS\) عمود می‌کنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم. چون \(C\) مرکز مربع است، پس \(CH=30\).

حالا در ناحیهٔ رنگی، یک مثلث (\(CHW\)) و دوتا ذوزنقه (\(CHSX\) و \(CYQZ\)) وجود دارد. مجموع مساحت این سه شکل باید برابر \(1800\) باشد. پس داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(CH\times HW)+\frac{1}{2}(CH+SX)(SH)+\frac{1}{2}(CY+ZQ)(QY)=1800\\[6pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}(30\times 23)+\frac{1}{2}(30+20)(30)+\frac{1}{2}(30+ZQ)(30)=1800\\[6pt]&\Rightarrow15\times 23+(50)(15)+(30+ZQ)(15)=1800\\[6pt]&\Rightarrow\big(23+50+(30+ZQ)\big)(15)=1800\\[6pt]&\Rightarrow(103+ZQ)(15)=1800\\[6pt]&\Rightarrow103+ZQ=\frac{1800}{15}\\[6pt]&\Rightarrow103+ZQ=120\\[6pt]&\Rightarrow ZQ=17.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

توجه کنید که در همه گزینه‌ها صورت کسر برابر است با \((20!) (19!)\).
چون \(20!\) برابر است با حاصل‌ضرب اعداد صحیح \(1\) تا \(20\)، می‌توانیم بگوییم که \(20!\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&(1\times2\times3\times\dots\times19)\times20\\&=19!\times20.\end{aligned}\]پس صورت کسرها (که در همۀ گزینه‌ها مشترک است) را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
\[(19!\times 20) (19!) = (19!)^2 \times 20.\]

حال گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&\frac{(20!) (19!)}{1}=\frac{(19!)^2\times20}{1} = (19!)^2 \times 20\\[7pt]&\frac{(20!) (19!)}{2}=\frac{(19!)^2\times20}{2}= (19!)^2 \times 10\\[7pt]&\frac{(20!) (19!)}{3}=\frac{(19!)^2\times20}{3} = (19!)^2 \times \frac{20}{3}\\[7pt]&\frac{(20!) (19!)}{4} = \frac{(19!)^2\times20}{4} =(19!)^2 \times 5\\[7pt]&\frac{(20!) (19!)}{5}=\frac{(19!)^2\times20}{5} = (19!)^2 \times 4.\end{aligned}\]
حاصل‌ضرب یک عدد مربع کامل در یک عدد صحیح مثبت مانند \(a\)، مربع کامل است، هرگاه \(a\) خودش مربع کامل باشد. بنابراین، چون در بین اعداد \(20\)، \(10\)، \(\frac{20}{3}\)، \(5\)، و \(4\)، فقط \(4\) مربع کامل است، پس در بین گزینه‌های داده شده، فقط \((19!)^2 \times 4\) یا \(\frac{(20!) (19!)}{5}\) مربع کامل است.

پاسخ تشریحی

در جدول زیر، حاصل \(n (n + 1) (n + 2)\) را برای \(n\)های \(1\) تا \(10\) محاسبه کرده‌ایم:

چون \(5\) عددی اول است، پس برای اینکه \(n(n+1)(n+2)\) مضرب \(5\) باشد، کافی است که حداقل یکی از اعداد \(n\)، \(n+1\)، یا \(n+2\) بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. (توجه کنید که اگر \(n (n + 1) (n + 2)\) مضربی از \(5\) نباشد، پس اعداد \(n\)، \(n + 1\) و \(n + 2\) نیز بر \(5\) بخش‌پذیر نیستند.)
برای چه مقادیری از \(n\)، حداقل یکی از اعداد \(n\)، \(n + 1\)، یا \(n + 2\) بر \(5\) بخش‌پذیر است؟
چرا؟

می‌دانیم که هر عدد صحیح مثبت در یکی از پنج گروه زیر قرار می‌گیرد:
\(\bullet\) مضارب \(5\)
\(\bullet\) اعدادی که یک واحد کمتر از مضرب \(5\) هستند.
\(\bullet\) اعدادی که دو واحد کمتر از مضرب \(5\) هستند.
\(\bullet\) اعدادی که سه واحد کمتر از مضرب \(5\) هستند.
\(\bullet\) اعدادی که چهار واحد کمتر از مضرب \(5\) هستند.

از طرفی، دیدیم که \(n (n + 1) (n + 2)\) مضربی از \(5\) است، وقتی \(n\) مضربی از \(5\) باشد، یا یکی کمتر از مضربی از \(5\) باشد، یا دوتا کمتر از مضربی از \(5\) باشد. همچنین، دیدیم که \(n (n + 1) (n + 2)\) مضربی از \(5\) نیست، وقتی \(n\) سه‌تا کمتر از مضربی از \(5\) باشد، یا چهارتا کمتر از مضربی از \(5\) باشد.

بنابراین، اگر اعداد صحیح مثبت را به‌ترتیب به دسته‌های پنج‌تایی تقسیم کنیم، یعنی:
دستهٔ اول: اعداد \(1\) تا \(5\)
دستهٔ دوم: اعداد \(6\) تا \(10\)
دستهٔ سوم: اعداد \(11\) تا \(15\)
\(\quad\) \(\vdots\)
آنگاه:
\(\bullet\) در بین اعداد \(1\) تا \(5\)، سه عدد صحیح مانند \(n\) وجود دارد به‌طوری‌که \(n (n + 1) (n + 2)\) مضربی از \(5\) باشد.
\(\bullet\) در بین اعداد \(6\) تا \(10\)، سه عدد صحیح مانند \(n\) وجود دارد به‌طوری‌که \(n (n + 1) (n + 2)\) مضربی از \(5\) باشد.
\(\bullet\) در بین اعداد \(11\) تا \(15\)، سه عدد صحیح مانند \(n\) وجود دارد به‌طوری‌که \(n (n + 1) (n + 2)\) مضربی از \(5\) باشد.
و این الگو به همین ترتیب ادامه دارد.
این اعداد صحیح مثبت را در یک دنباله و به‌ترتیب از کوچک به بزرگ می‌نویسیم: \[3,4,5,8,9,10,13,14,15,\dots.\quad(\star)\] همان‌طور که می‌بینید، از هر دستهٔ پنج‌تایی، دوتای اول در دنبالهٔ \((\star)\) قرار نمی‌گیرند، ولی سه‌تای بعدی در دنبالهٔ \((\star)\) هستند. برای مثال، از اولین دستهٔ پنج‌تایی، اعداد \(1\) و \(2\) در دنبالهٔ \((\star)\) قرار ندارند، ولی اعداد \(3\)، \(4\)، و \(5\) در دنبالهٔ \((\star)\) هستند.
می‌خواهیم \(1400\)اُمین جملهٔ دنبالهٔ \((\star)\) را پیدا کنیم. برای این کار، بین شمارهٔ هر جملهٔ دنبالهٔ \((\star)\) و مقدار آن جمله، رابطه‌ای برقرار می‌کنیم. ابتدا جمله‌های دنبالهٔ \((\star)\) را در یک جدول به‌صورت زیر می‌نویسیم.

چون از هر دستهٔ \(5\)تایی، سه عدد در دنبالهٔ \((\star)\) ظاهر می‌شود، پس شمارهٔ هر جمله را برحسب مضارب \(3\) می‌نویسیم:

حالا می‌توانیم رابطه‌ای بین \(i\) و جملهٔ \(i\)اُم بیابیم:

بنابراین، \(1400\)اُمین عضو دنبالهٔ \((\star)\) برابر است با:
\[5\times467-1=2334.\]

پاسخ تشریحی

پاسخ، عدد 8 است.
در هر سطر، حاصل‌ضرب عدد‌های اول و سوم برابر است با عددی که از چسبیدنِ عدد‌های دوم و چهارم به یکدیگر حاصل می‌شود. برای مثال، در سطر اول داریم:
\[3\times 8=24.\]

پاسخ تشریحی

فرض می‌کنیم \(a\)، \(b\)، \(c\) و \(d\)، \(4\) رقم انتخابی از اعداد \(1\) تا \(9\) باشند که با یکدیگر متفاوتند. لیانا با این \(4\) رقم، \(24\) عدد \(4\)رقمی (با رقم‌های متفاوت) ساخته است.

مسئله را در \(3\) مرحله حل می‌کنیم.

مرحلهٔ اول: بررسی یکان، دهگان، صدگان، و هزارگان
در این \(24\) عدد، ارقام \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) در جایگاه‌های یکان، دهگان، صدگان، و هزارگان قرار می‌گیرند. اگر رقم هزارگان \(a\) باشد، آنگاه \(6\) حالت ممکن برای \(3\) رقم بعدی داریم:\[bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb.\] یعنی، \(6\) حالت ممکن برای اعداد \(4\)رقمی وجود دارد به‌طوری‌که رقم هزارگان آن‌ها \(a\) باشد.
به طور مشابه، اگر رقم هزارگان \(b\)، \(c\)، یا \(d\) باشد، \(6\) حالت ممکن برای \(3\) رقم بعدی داریم. یعنی، \(6 \times 3 = 18\) حالت ممکن برای اعداد \(4\)رقمی وجود دارد به‌طوری‌که رقم هزارگان آن‌ها \(b\)، \(c\)، یا \(d\) باشد.
بنابراین، می‌توان گفت هر کدام از ارقام \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\)، \(6\)بار در جایگاه هزارگان، \(6\)‌بار در جایگاه صدگان، \(6\)‌بار در جایگاه دهگان، و \(6\)‌بار در جایگاه یکان قرار می‌گیرند.

مرحلهٔ دوم: محاسبۀ \(N\)
چون از ارقام \(a\)، \(b\)، \(c\) و \(d\)، هر کدام \(6\)بار در جایگاه یکان قرار می‌گیرند، پس مجموع حاصل‌جمع‌ یکان‌های این \(24\) عدد \(4\)رقمی برابر است با:
\[6a + 6b + 6c + 6d = 6 (a + b + c + d).\]
به همین ترتیب می‌توان حاصل‌جمع دهگان‌ها، صدگان‌ها، و هزارگان‌های این \(24\) عدد \(4\) رقمی را نیز به‌دست آورد. بنابراین:
\[\begin{aligned}N&=1000 \times 6 \times (a + b + c + d) + 100 \times 6 \times (a + b + c + d) + 10 \times 6 \times (a + b + c + d)+ 6 \times (a + b + c + d)\\&=6000 (a + b + c + d) + 600 (a + b + c + d) + 60 (a + b + c + d) + 6 (a + b + c + d).\end{aligned}\]
حال، اگر قرار دهیم:\[s = a + b + c +d\] داریم:\[\begin{aligned}N &= 6000s + 600s + 60s + 6s\\&= 6666s.\end{aligned}\]

مرحلهٔ سوم: حاصل‌جمع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\)
عدد \(6666\) را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:
\[6666=2 \times 3 \times 11 \times 101.\]بنابراین:
\[N = 2 \times 3 \times 11 \times 101 \times s.\] حال، باید مقدار \(s\) را طوری تعیین کنیم که حاصل‌جمع مقسوم‌علیه‌های اول \(s\) بیشترین مقدار ممکن باشد.
می‌دانیم: \[s = a + b + c + d.\] بزرگترین مقدار ممکن برای \(s\) برابر است با: \[9 + 8 + 7 + 6 = 30\]و کوچکترین مقدار ممکن برای \(s\) برابر است با:\[1 + 2 + 3 + 4 = 10.\] اگر \(s = 29\) (یعنی اگر \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) برابر \(9\)، \(8\)، \(7\)، و \(5\) باشند)، آنگاه:\[N = 2 \times 3 \times 11 \times 101 \times 29\]و در نتیجه، مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\) برابر است با: \[2 + 3 + 11 + 101 + 29 = 146.\] اگر \(s\) عدد صحیح دیگری (از \(10\) تا \(30\)) باشد، مجموع مقسوم‌علیه‌های اول آن، کمتر از \(29\) خواهد بود(؟).
بنابراین، اگر لیانا این \(24\) عدد را طوری ساخته باشد که مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\)، بیشترین مقدار ممکن باشد، آنگاه مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\) برابر است با \(146\).

پاسخ تشریحی

ابتدا عدد \(1296\) را تجزیه می‌کنیم: \[1296=2^4\times3^4.\] پس همهٔ حالت‌هایی که می‌توان \(1296\) را به‌صورت حاصل‌ضرب سه‌ عدد طبیعی نوشت، به‌صورت زیر هستند:
\[1296=(2^a\times3^x)\times(2^b\times3^y)\times(2^c\times3^z)\]
به‌طوری‌که:
\[a+b+c=x+y+z=4.\]
بنابراین می‌توان همهٔ حالت‌هایی که می‌توان \(1296\) را به‌صورت حاصل‌ضرب سه عدد طبیعی نوشت، به‌دست آورد: (عدد داخل پرانتز، مجموع سه عدد است)
\[\begin{aligned}&1\times1\times1296\;,\;(1298)\\&1\times2\times648\;,\;(651)\\&1\times4\times324\;,\;(329)\\&1\times8\times162\;,\;(171)\\&1\times16\times81\;,\;(98)\\&1\times3\times432\;,\;(436)\\&1\times6\times216\;,\;(223)\\&1\times12\times108\;,\;(121)\\&1\times24\times54\;,\;(79)\\&1\times27\times48\;,\;(76)\\&1\times9\times144\;,\;(154)\\&{\color{red}1\times18\times72\;,\;(91)}\\&1\times36\times36\;,\;(73)\\&2\times2\times324\;,\;(328)\\&2\times4\times162\;,\;(168)\\&{\color{red}2\times8\times81\;,\;(91)}\\&2\times3\times216\;,\;(221)\\&2\times6\times108\;,\;(116)\\&2\times12\times54\;,\;(68)\\&2\times24\times27\;,\;(53)\\&2\times9\times72\;,\;(83)\\&2\times18\times36\;,\;(56)\\&4\times4\times81\;,\;(89)\\&4\times3\times108\;,\;(115)\\&4\times6\times54\;,\;(64)\\&4\times12\times27\;,\;(43)\\&4\times9\times36\;,\;(49)\\&4\times18\times18\;,\;(40)\\&8\times3\times54\;,\;(65)\\&8\times6\times27\;,\;(41)\\&8\times9\times18\;,\;(35)\\&16\times3\times27\;,\;(46)\\&16\times9\times9\;,\;(34)\\&3\times6\times72\;,\;(81)\\&3\times24\times18\;,\;(45)\\&3\times3\times144\;,\;(150)\\&3\times12\times36\;,\;(51)\\&3\times48\times9\;,\;(60)\\&6\times6\times36\;,\;(48)\\&6\times12\times18\;,\;(36)\\&6\times24\times9\;,\;(39)\\&12\times12\times9\;,\;(33).\end{aligned}\]
توجه کنید که آقای اسماعیلی شمارهٔ پلاک خانه‌اش را می‌داند (ولی ما نمی‌دانیم!). یعنی یکی از اعداد داخل پرانتز بالا، شمارهٔ پلاک خانهٔ‌ آقای اسماعیلی است. اما در مسئله نوشته شده است:

آقای اسماعیلی که به دردسر افتاده است تلاش می‌کند معما را حل کند و می‌گوید:«هنوز نتوانسته‌ام بفهمم افراد این خانه چند سال دارند.»

یعنی، آقای اسماعیلی همهٔ حالت‌های بالا را چک کرده و آنهایی را که، مجموع سه عدد (عدد داخل پرانتز)، شمارهٔ پلاک خانه‌اش نبوده، کنار گذاشته است. بنابراین، او دو یا چند حالت به‌دست آورده که مجموع سه عدد، شمارهٔ پلاک خانه‌اش است. در نتیجه، شمارهٔ پلاک خانهٔ آقای اسماعیلی \(91\) است و سن ساکنین یکی از دو مورد زیر است:
\[1,18,72,\;\text{یا}\;\;2,8,81.\]

در ادامهٔ مسئله، نوشته شده است:

ریاضیدان: «آیا می‌دانید من چند سال دارم؟»
آقای اسماعیلی: «بله.»
ریاضیدان: «خب، هر سه از من کوچک‌ترند.»
آقای اسماعیلی: «خیلی ممنون. حالا می‌دانم این سه نفر چند سال دارند.»

آقای اسماعیلی، وقتی و فقط وقتی می‌تواند جواب را فهمیده باشد که سن پیرمرد بین \(72\) و \(81\) باشد.
بنابراین، سن ساکنین \(1\)، \(18\)، و \(72\) است. و در نتیجه، اختلاف سن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین فرد آن خانه برابر است با: \[72-1=71.\]

این مسئله مشابه مسئلهٔ ۱۲ صفحهٔ ۴۹ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم است.

پاسخ تشریحی

فرض کنیم \(s\) طول ضلع مربع با مساحت \(k\) باشد.
مجموع ارتفاع مربع‌های سمت راست برابر است با:
\[3+8=11.\]
و مجموع ارتفاع مربع‌های سمت چپ برابر است با:
\[1+s+4=s+5.\]
چون ارتفاع مربع‌های سمت راست و چپ برابر است، بنابراین:
\[\begin{aligned}&s+5=11\\&\Rightarrow s=6.\end{aligned}\]
در نتیجه، ضلع مربع با مساحتِ \(k\) برابر \(6\) است. پس:
\[k = 6^{2}=36.\]

پاسخ تشریحی

احتمال انتخاب تیلۀ قهوه‌ای برابر \(0.3\) است.
احتمال انتخاب تیلۀ قهوه‌ای \(3\) برابر احتمال انتخاب تیلۀ بنفش است، پس احتمال انتخاب تیلۀ بنفش برابر \(0.3 \div 3 = 0.1\) است.
احتمال انتخاب تیلۀ سبز با احتمال انتخاب تیلۀ بنفش برابر است، پس احتمال انتخاب تیلۀ سبز هم \(0.1\) است.
احتمال انتخاب تیلۀ قرمز را \(p\) می‌نامیم.
احتمال انتخاب تیلۀ زرد نیز همانند احتمال انتخاب تیلۀ قرمز برابر \(p\) است (چون احتمال انتخابشان برابر است).
مجموع احتمالات انتخاب این تیله‌ها باید برابر \(1\) باشد.
بنابراین خواهیم داشت:\[\begin{aligned}&0.3 + 0.1 + 0.1 + p + p = 1\\&\Rightarrow 2p = 0.5\\&\Rightarrow p = 0.5 \div 2\\&\Rightarrow p=0.25\end{aligned}\] احتمال انتخاب تیلۀ قرمز \(0.25\) است و احتمال انتخاب تیلۀ سبز \(0.1\)، پس احتمال این‌که تیلۀ قرمز یا سبز انتخاب شود، برابر است با:
\[0.25 + 0.1 = 0.35\]

پاسخ تشریحی

چون برسام و رسام هر کدام (به ترتیب) با سرعت ثابت \(50\) کیلومتر در ساعت و \(40\) کیلومتر در ساعت به سمت یک دیگر رانندگی می‌کنند، پس فاصلۀ بین آن دو با سرعت \(50 + 40 = 90\) کیلومتر در ساعت کاهش می‌یابد.
اگر فاصلۀ بین آن‌ها \(120\) کیلومتر باشد و این فاصله با سرعت \(90\) کیلومتر در ساعت کاهش یابد، بنابراین مدت زمانی که طول می‌کشد تا آن‌ها به یکدیگر برسند، برحسب ساعت برابر است با:
\[\frac{120}{90}=\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}.\]
چون \(\frac{1}{3}\) ساعت برابر است با \(\frac{1}{3} \times 60 = 20\) دقیقه، پس \(60+20=80\) دقیقه طول می‌کشد تا برسام و رسام به یکدیگر برسند.

پاسخ تشریحی

اگر \(Y^X - W^V\) بیشتر مقدار ممکن باشد، یعنی باید \(Y^X\) بیشترین مقدار ممکن و \(W^V\) کمترین مقدار ممکن باشد. بنابراین، \(Y\) و \(X\) باید یکی از مقادیر \(4\) و \(5\) را داشته باشند.در زیر بررسی می‌کنیم که در چه حالتی \(Y^X\) بیشترین مقدار ممکن را خواهد داشت: \[\begin{aligned}&4^5=1024\\&5^4=625.\end{aligned}\] در نتیجه، اگر \(Y = 4\) و \(X = 5\)، آن‌وقت \(Y^X\) بیشترین مقدار ممکن را دارد.
به طور مشابه، \(W\) و \(V\) باید یکی از مقادیر \(2\) و \(3\) را داشته باشند. در زیر بررسی می‌کنیم که در چه حالتی \(W^V\) کمترین مقدار ممکن را خواهد داشت:\[\begin{aligned}&2^3 = 8\\&3^2 = 9.\end{aligned}\]در نتیجه، اگر \(W = 2\) و \(V = 3\)، آن‌وقت \(W^V\) کمترین مقدار ممکن است.
بنابراین، بیشترین مقدار ممکن برای \(Y^X - W^V\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&Y^X - W^V\\&=4^5-2^3\\&=1024-8\\&=1016.\end{aligned}\] و پاسخ مسئله به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:\[\begin{aligned}X+V&= 5 + 3\\&=8.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

در پایینی‌ترین تاس، دو وجهی که دیده می‌شوند، \(2\) و \(4\) نقطه دارند. چون مجموع تعداد نقاط دو وجه مقابل برابر \(7\) است، پس وجه‌های مقابل این دو وجه، به‌ترتیب \(5\) و \(3\) نقطه دارند. بنابراین، وجه بالایی این تاس (که توسط تاس بالایی پنهان شده)، \(1\) یا \(6\) نقطه دارد.
در دومین تاس از پایین، مجموع نقاط موجود بر روی وجه‌های بالا و پایین، برابر \(7\) نقطه است. به طور مشابه، در سومین تاس از پایین، مجموع تعداد نقاط موجود روی وجه‌های بالا و پایین برابر \(7\) نقطه است.
در نهایت، در تاس بالایی (چهارمین تاس از پایین) وجه بالایی \(3\) نقطه دارد، پس وجه مقابل آن \(4\) نقطه دارد.
بنابراین، مجموع نقطه‌های وجه‌هایی که بین دو تاسِ روی‌هم قرار دارند، یکی از حالت‌های زیر است:
\[\begin{aligned}&1 + 7 + 7 + 4 = 19\\&6+7+7+4=24.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

یکان حاصلِ \(1ABCDE \times 3\) برابر \(1\) است. در نتیجه، \(E \times 3 = 1\). بنابراین، تنها حالت ممکن برای مقدار \(E\) برابر \(7\) است. با جایگذاری \(E = 7\)، خواهیم داشت:

چون \(7 \times 3 = 21\)، پس \(2\) به ستون دهگان منتقل می‌شود. در این صورت خواهیم داشت:
\[\begin{aligned}&D \times3+2=7\\&\Rightarrow D\times3=5.\end{aligned}\] بنابراین، تنها حالت ممکن برای مقدار \(D\) برابر \(5\) است. با جایگذاری \(D = 5\)، خواهیم داشت:

چون \(5 \times 3 = 15\) ، پس \(1\) به ستون صدگان منتقل می‌شود. در این صورت خواهیم داشت:
\[\begin{aligned}&C \times 3 + 1 = 5\\&\Rightarrow C \times 3 = 4.\end{aligned}\] بنابراین، تنها حالت ممکن برای مقدار \(C\) برابر \(8\) است. با جایگذاری \(C = 8\)، خواهیم داشت:

چون \(8 \times 3 = 24\) ، پس \(2\) به ستون هزارگان منتقل می‌شود. در این صورت خواهیم داشت:
\[\begin{aligned}&B \times 3 + 2 = 8\\&\Rightarrow B \times 3 = 6.\end{aligned}\] بنابراین، تنها حالت ممکن برای مقدار \(B\) برابر \(2\) است. با جایگذاری \(B = 2\)، خواهیم داشت:

چون \(2 \times 3 = 6\)، پس عددی به ستون ده‌هزارگان منتقل نمی‌شود و این نشان می‌دهد که \(A \times 3 = 2\). بنابراین، تنها حالت ممکن برای \(A\) برابر \(4\) است. با جایگذاری \(A = 4\)، خواهیم داشت:

بنابراین، با برقراری شرط مسئله، خواهیم داشت: \[\begin{aligned}&A + B + C + D + E\\& = 4 + 2 + 8 + 5 + 7\\& = 26.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

با رسم یک خط (\(\ell_1\))، به دو رنگ نیاز داریم:

با رسم دو خط، حداقل به دو رنگ نیاز داریم:

پس از رسم خط سوم (\(\ell_3\))، رنگِ همهٔ ناحیه‌های یک طرف خط جدید (\(\ell_3\)) را برعکس می‌کنیم و رنگ ناحیه‌های طرف دیگر آن را تغییر نمی‌دهیم. (در شکل، پس از رسم خط \(\ell_3\)، رنگ ناحیه‌های زیر \(\ell_3\) را برعکس کرده‌ایم.)

پس از رسم خط چهارم (\(\ell_4\))، نیز همان کارِ مرحلهٔ قبل را انجام می‌دهیم. (در شکل، پس از رسم خط \(\ell_4\)، رنگ ناحیه‌های سمت چپ \(\ell_4\) را برعکس کرده‌ایم.)

بنابراین، هر چندتا خط دیگر که رسم کنیم، حداقل به دو رنگ نیاز داریم.

پاسخ تشریحی

مطابق شکل زیر، خط‌های \(\ell_1\)، \(\ell_2\)، \(\dots\)، \(\ell_7\) را رسم می‌کنیم.

مجموع اعداد روی خط‌های \(\ell_1\)، \(\ell_2\)، \(\ell_3\)، \(\ell_4\)، \(\ell_5\)، و \(\ell_6\)، به‌ترتیب برابر \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، \(8\)، و \(9\) است. بنابراین، مجموع اعداد روی خط \(\ell_7\) باید برابر \(10\) باشد. پس به‌جای علامت سؤال باید عدد \(10\) را قرار دهیم.

پاسخ تشریحی

مطابق شکل زیر، مساحت قسمت رنگی را به دو بخش نارنجی و سبز، تقسیم می‌کنیم.

مساحت ناحیهٔ نارجی با مساحت ناحیهٔ سبز برابر است.

چرا؟

حال، همانند شکل زیر، مربع \(DBEF\) را با طول ضلع \(4\) رسم می‌کنیم به‌طوری‌که رأس‌های \(D\) و \(E\) به‌ترتیب روی پاره‌خط‌های \(AB\) و \(BC\) قرار داشته باشند.

اکنون، می‌توانیم ثابت کنیم که \(F\) روی هر دو نیم‌دایره قرار دارد.
چگونه؟

بنابراین، مساحت ناحیهٔ نارنجی \((Y)\)، برابر است با \(8\pi-16\).
چرا؟

در نتیجه، مساحت قسمت رنگی برابر است با:
\[X+Y=2Y=16\pi-32.\]
نزدیکترین عدد طبیعی به \(16\pi-32\) برابر \(18\) است.

پاسخ تشریحی

شناگر سریع‌تر وقتی از شناگر دیگر جلو می‌زند که \(50\) متر بیشتر از او شنا کرده باشد.
چرا؟

شناگر سریع‌تر در هر \(10\) ثانیه \(16\) متر شنا می‌کند و شناگر دیگر در هر \(10\) ثانیه \(14\) متر. پس شناگر سریع‌تر در هر \(10\) ثانیه، \(16-14=2\) متر از دیگری بیشتر شنا می‌کند. پس اگر پاسخ مسئله را \(x\) در نظر بگیریم، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{10}{2}=\frac{x}{50}\\[7pt]&\Rightarrow x=\frac{50\times10}{2}\\[7pt]&\Rightarrow x=250.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

چون نسبت سیب به موز \(3\) به \(2\) است، بنابراین می‌توانیم تعداد سیب‌ها را مضربی از \(3\) تعداد موزها را مضربی از \(2\) در نظر بگیریم.

بنابراین، حاصل‌جمع سیب‌ها و موزها مضربی از \(5\) است.

در بین گزینه‌های داده شده، فقط عدد \(72\) مضرب \(5\) نیست، درنتیجه، \(72\) نمی‌تواند حاصل‌جمع سیب‌ها و موزها باشد.

پاسخ تشریحی

شکل اول یک کاشی دارد و محیط آن برابر است با:
\[3 \times 7 = 21.\]
در هر مرحله یک کاشی اضافه می‌کنیم و چون یک ضلع شکل قبلی پوشانده می‌شود و دو ضلع آجر جدید به محیط شکل اضافه می‌شوند، در نهایت به محیط کل شکل \(7\) واحد اضافه می‌شود. (به اندازه طول یک ضلع کاشی)

چون محیط شکل اول برابر \(21\) است و محیط شکل نهایی باید \(91\) باشد، بنابراین، محیط شکل مورد نظر \(91 - 21 = 70\) بیشتر از محیط شکل اول است.
در هر مرحله با اضافه کردن یک کاشی، \(7\) واحد به محیط اضافه می‌شود، پس تعداد کاشی‌های مورد نیاز برابر است با:
\[\frac{70}{7}=10.\]
پس شکل مورد نظر، در مجموع \(10+1=11\) کاشی دارد.

پاسخ تشریحی

جذر \(n\) بین \(17\) و \(18\) است، پس عدد \(n\) بین \(17^{2}=289\) و \(18^{2}=324\) است.

\(n\) مضرب \(7\) است، بنابراین باید اعداد مضرب \(7\) بین \(289\) و \(324\) را در نظر بگیریم.

چون \(41 \times 7 = 287\) و \(42 \times 7 = 294\) پس \(294\) کوچک‌ترین مضرب \(7\) است که بزرگ‌تر از \(289\) است.

و چون \(46 \times 7 = 322\) و \(47\times 7=329\) پس \(322\) بزرگ‌ترین مضرب \(7\) است که کوچک‌تر از \(324\) است.

درنهایت مضارب \(7\) بین \(289\) و \(324\)، برابرند با:
\[\begin{aligned}42\times 7 =& 294\\43 \times 7 =& 301\\44 \times 7 =& 308\\45\times7 =& 315\\46 \times 7 =& 322.\end{aligned}\]

تعداد حالت‌های ممکن برای \(n\) برابر با \(5\) است.

پاسخ تشریحی

هر کارت دقیقاً در یکی از حالت‌های زیر صدق می‌کند:
(الف) حرف کوچک انگلیسی در یک سمت، عدد زوج در سمت دیگر.
(ب) حرف کوچک انگلیسی در یک سمت، عدد فرد در سمت دیگر.
(ج) حرف بزرگ انگلیسی در یک سمت، عدد زوج در سمت دیگر.
(د) حرف بزرگ انگلیسی در یک سمت، عدد فرد در سمت دیگر.

می‌خواهیم درستی عبارت زیر را بررسی کنیم:
«اگر در یک طرف یک کارت حرف کوچک انگلیسی نوشته شده باشد، در طرف دیگر یک عدد فرد نوشته شده است.»

اگر یک کارت در حالت‌های (ب)، (ج) و (د) صدق کند، با حالت داده شده در صورت سؤال مغایرتی ندارد. اما اگر یک کارت در حالت (الف) باشد، با حالت داده شده در صورت سؤال مغایرت دارد.

بنابراین، باید تمام کارت‌هایی را که ممکن است در حالت (الف) باشند، برگردانیم. در بین \(15\) کارتی که می‌بینیم،
\((i)\) \(1\) کارت وجود دارد یک حرف کوچک انگلیسی را نشان می‌دهد و ممکن است در حالت (الف) باشند: \(e\).
\((ii)\) \(4\)تا کارت وجو دارد که یک حرف بزرگ انگلیسی را نشان می‌دهند و بنابراین، در حالت (الف) نیستند: \(D\)، \(E\)، \(G\)، و \(H\).
\((iii)\) \(2\)تا کارت وجود دارد که روی آنها عدد زوج است و ممکن است در حالت (الف) باشند: \(60\) و \(88\).
\((iv)\) \(8\)تا کارت وجود دارد که روی آنها عدد فرد است و بنابراین، در حالت (الف) نیستند: \(17\)، \(57\)، \(43\)، \(3\)، \(7\)، \(13\)، \(31\)، و \(21\).

پس باید کارت‌هایی را که در \((i)\) و \((iii)\) قرار دارند، بچرخانیم. تعداد این کارت‌ها برابر است با:
\[1 + 2 = 3.\]

پاسخ تشریحی

مکعب اصلی که \(5\times 5\times 5\) است، \(6\) وجه دارد که هر کدام \(5 \times 5\) هستند.

زمانی که مکعب‌های کوچک تشکیل دهنده‌ٔ سه ستون حذف شوند، از هر وجه مکعب اصلی، یک مکعب \(1 \times 1 \times 1\) حذف می‌شود. یعنی از مساحت هر وجه \(1\) واحد کم می‌شود:
\[5\times5-1= 24\]
در نتیجه، مساحت روی شکل جدید برابر است با:
\[6 \times 24=144.\]
هنگامی که هر یک از ستون‌ها حذف شوند، یک لوله ایجاد می‌شود که شامل \(5\) واحد مکعب است و هر لوله \(5\times 1 \times 1\) است. چون مکعب کوچک وسط مکعب \(5 \times 5 \times 5\) هنگام حذف کردن هرکدام از سه ستون حذف می‌شود، پس هر کدام از لوله‌ها تبدیل به \(2\)تا لوله‌ٔ \(2\times 1 \times 1\) می‌شوند. مساحت داخلی هر کدام از این لوله‌ها شامل \(4\) سطح \(2 \times 1\) است. بنابراین، مساحت داخلی \(6\) لوله که هر کدام \(4\) سطح \(2 \times 1\) دارند برابر است با:
\[6 \times 4 \times 2 \times 1 = 48\]
پس مساحت کل شکل جدید برابر است با:
\[144 + 48 = 192.\]

پاسخ تشریحی

چون \(4\) بازیکن در مسابقه وجود دارند و هر دو بازیکن تنها یک‌بار باهم بازی می‌کنند، پس در کل هر بازیکن \(3\)بار مسابقه می‌دهد.

از آنجایی که هر برد \(5\) امتیاز و هر تساوی \(2\) امتیاز دارد پس تمام حالت‌های امتیازگیری برای هر بازیکن به صورت زیر است:

\(\bullet\) \(3\) برد، \(0\) باخت، \(0\) تساوی : \(15\) امتیاز
\(\bullet\) \(2\) برد، \(0\) باخت، \(1\) تساوی : \(12\) امتیاز
\(\bullet\) \(2\) برد، \(1\) باخت، \(0\) تساوی : \(10\) امتیاز
\(\bullet\) \(1\) برد، \(0\) باخت، \(2\) تساوی : \(9\) امتیاز
\(\bullet\) \(1\) برد، \(1\) باخت، \(1\) تساوی : \(7\) امتیاز
\(\bullet\) \(1\) برد، \(2\) باخت، \(0\) تساوی : \(5\) امتیاز
\(\bullet\) \(0\) برد، \(0\) باخت، \(3\) تساوی : \(6\) امتیاز
\(\bullet\) \(0\) برد، \(1\) باخت، \(2\) تساوی : \(4\) امتیاز
\(\bullet\) \(0\) برد، \(2\) باخت، \(1\) تساوی : \(2\) امتیاز
\(\bullet\) \(0\) برد، \(3\) باخت، \(0\) تساوی : \(0\) امتیاز

حال، هریک از جدول‌های داده شده را بررسی می‌کنیم:

در جدول بالا، امیر \(2\) امتیاز دارد، یعنی او \(1\) تساوی دارد. اگر یک بازیکن تساوی داشته باشد یک بازیکن دیگر هم باید همراه با او \(1\) تساوی داشته باشد، اما امتیازهای \(15\) و \(5\) نمی‌توانند شامل یک تساوی باشند. پس این جدول ناممکن است.

در جدول بالا، علی با امتیاز \(12\) باید حتماً یک تساوی داشته باشد، اما هیچ‌کدام از دیگر بازیکنان امتیازی ندارند که بتواند شامل امتیاز تساوی باشد. پس این جدول ناممکن است.

در جدول بالا، حسن و امیر هریک باید \(2\) تساوی داشته باشند، اما علی و محمد نمی‌توانند تساوی داشته باشند زیرا هرکدام \(10\) امتیاز دارند. چون حسن و امیر فقط یک‌بار باهم بازی می‌کنند، پس هر کدام باید فقط یک تساوی در مقابل بازیکن دیگر داشته باشند که این ممکن نیست. بنابراین این جدول ناممکن است.

جدول بالا، امکان پذیر است:

پاسخ تشریحی

اگر یکی از قطرهای توری \(4 \times 5\) حذف کنیم، یکی از قطرها، \(8\)تا مربع را قطع می‌کند و \(12\) مربع باقی‌مانده با آن قطر، تقاطعی ندارند. (هرکدام از قطرها حذف شوند، نتیجه یکسان است.)

حال، می‌توانیم با به‌هم چسباندن چهارتا توری \(4\times5\)، یک توری $8 \times 10$ بسازیم:

همان‌طور که در شکل بالا می‌بینید، وقتی این چهار توری به‌هم چسبانده می‌شوند، قطرهای هریک از آن‌ها، قطر‌های توری بزرگ‌تر را می‌سازند؛ زیرا این قطرها، شیب یکسانی دارند.
در هر کدام از این چهار توری \(4\times5\)، \(12\)تا مربع \(1 \times 1\) وجود دارند که با قطرها تقاطعی ندارند. بنابراین، اگر قطرهای یک توری \(8 \times 10\) را رسم کنیم، تعداد مربع‌های \(1\times 1\) این توری که توسط قطرها قطع نمی‌شوند، برابر است با:
\[4\times12=48.\]

پاسخ تشریحی

چون نقطهٔ \(R\) روی \(PQ\) است، پس:
\[PQ=PR+QR=6+4=10.\]
طول شعاع نیم‌دایره‌هایی که قطر آنها \(10\)، \(6\) و \(4\) است، به‌ترتیب برابر است با \(5\)، \(3\) و \(2\).
مساحت نیم‌دایرهٔ با قطر \(PQ\)، برابر است با:
\[\frac{1}{2} \times \pi \times 5^{2} = \frac{25}{2}\pi.\]

مساحت نیم‌دایرهٔ با قطر \(PR\)، برابر است با:
\[\frac{1}{2} \times \pi \times 3^{2} = \frac{9}{2}\pi.\]
مساحت نیم‌دایرهٔ با قطر \(QR\)، برابر است با:
\[\frac{1}{2} \times \pi \times 2^{2} =2\pi.\]
مساحت قسمت رنگ‌آمیزی شده شامل بخشی از قسمت چپ \(PQ\) و بخشی از قسمت راست \(PQ\) است.
مساحت قسمت رنگ‌آمیزی شده‌ٔ سمت چپ \(PQ\) برابر است با مساحت نیم‌دایره‌ٔ با قطر \(PQ\) منهای مساحت نیم‌دایره‌ٔ با قطر \(PR\)؛ این مساحت برابر است با:
\[\frac{25}{2}\pi-\frac{9}{2}\pi=8\pi.\]
مساحت قسمت رنگ‌آمیزی شده‌ٔ سمت راست \(PQ\) برابر است با مساحت نیم‌دایرهٔ با قطر \(QR\)، که این مساحت برابر است با \(2\pi\). بنابراین مساحت کل قسمت‌های رنگ‌آمیزی شده برابر است با:
\[8\pi+2\pi=10\pi.\]
از طرفی، چون شعاع دایره بزرگ \(5\) است، پس مساحت آن برابر است با:
\[\pi\times 5^{2}=25\pi.\]
چون مساحت قسمت رنگ شده برابر با \(10\pi\) است، پس مساحت قسمت رنگ‌آمیزی نشده برابر با:
\[25\pi-10\pi=15\pi.\]
در نتیجه، نسبت قسمت رنگ شده به قسمت رنگ نشده برابر با \(10\pi\) به \(15\pi\) است که یعنی نسبت برابر با \(2\) به \(3\) است.

پاسخ تشریحی

حالت اول. اگر مینا فقط یک عدد انتخاب کند، \(8\) حالت ممکن وجود دارد، که همان اعداد داده شده هستند:
\[2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81.\]

حالت دوم. برای اینکه مجموع دو عدد را نشان دهیم، یک جدول رسم می‌کنیم و اعداد سمت چپ را با اعداد بالای جدول جمع می‌کنیم. از آنجایی که نیازی به جمع یک عدد با خودش و جمع دوباره‌ٔ دو عدد نداریم، فقط قسمت بالای جدول را پر می‌کنیم.

دو نکته از این جدول برداشت می‌شود:
\(\bullet\) اول اینکه، هرگاه دو عدد پشت سر هم را با هم جمع کنیم، یکی از همین اعداد داخل لیست را به دست می‌آوریم. پس آن را به عنوان مجموع جدید در نظر نمی‌گیریم، زیرا آن را به عنوان مجموع تک عددی حساب کرد‌ه‌ایم.
\(\bullet\) دوم اینکه، مجموع‌های دیگر، همگی متمایزند و \(20\)‌تا حاصل‌جمع وجود دارد که کمتر یا برابر با \(100\) هستند.

حالت سوم. در این حالت، حاصل‌جمع سه عدد از لیست را در نظر می‌گیریم.
نکتهٔ اول بند قبل (که درباره وجود مجموع هر دو عدد پشت سرهم در خود لیست گفته شد،) در اینجا بسیار اهمیت دارد.
اگر سه عدد پشت سر هم از لیست انتخاب شوند، ممکن است، از بین این سه عدد، مجموع دو عدد بزرگ‌تر برابر با عدد دیگری از لیست مینا باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&5+7+12\\&=5+(7+12)\\&=5+19\\&=26\end{aligned}\] که در حالت دوم آن را شمرده‌ایم.
توجه کنید که اگر دو عدد از این \(3\) عدد، پشت سر هم باشند، باز هم همین اتفاق مجدداً رخ می‌دهد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&12+19+50\\&=(12+19)+50\\&=31+50\\&=81\end{aligned}\]
یا
\[\begin{aligned}&2+31+50\\&=2+(31+50)\\&=2+81\\&=83.\end{aligned}\]
بنابراین، هر مجموع جدیدی که بخواهیم حساب کنیم، باید سه عددی باشند که دو عدد پشت سرهم نداشته باشند.
حال، هر کدام از حالت‌ها را جداگانه حساب می‌کنیم. با در نظر گرفتن این نکات که مجموع سه عدد باید کمتر از \(100\) باشد و همچنین، هیچ دو عددی نباید پشت سرهم باشند داریم:
\[\begin{aligned}&2+7+19=28\\&2+7+31=40\\&2+7+50=59\\&2+7+81=90\\&2+12+31=45\\&2+12+50=64\\&2+12+81=95\\&2+19+50=71\\[7pt]&5+12+31=48\\&5+12+50=67\\&5+12+81=98\\&5+19+50=74\\[7pt]&7+19+50=76.\end{aligned}\]
هر ترکیب دیگری از سه عدد، یا دو عدد پشت سرهم دارد (که در حالت‌های اول یا دوم شمرده شده‌اند) و یا \(81\) و \(31\)، یا \(81\) و \(19\) را شامل می‌شود (که خیلی بزرگ است).
در حالت سوم، \(13\)تا مجموع دیگر به‌دست آوردیم. پس همهٔ حالت‌های ممکن برای عددی که مینا نوشته، برابر است با:
\[8+20+13=41.\]

پاسخ تشریحی

قبل از شروع راه حل، پنج نکته از تجزیهٔ اعداد طبیعی به عوامل اول را باهم مرور می‌کنیم:
پنج نکته دربارهٔ تجزیهٔ اعداد طبیعی

حال، به حل مسئله می‌پردازیم.

فرض کنید زوج \((205800, 35k)\) یک زوج شاد باشد.
عدد \(205800\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}205800&=2058 \times 100\\&= 2 \times 1029 \times (2\times 5)^{2}\\&=2\times 3 \times 343 \times 2^{2} \times 5^{2}\\&=2 \times 3 \times 7^{3} \times 2^{2} \times 5^{2}\\&=2^{3} \times 3^{1} \times 5^{2} \times 7^{3}.\end{aligned}\]
همچنین، توجه کنید که
\[35k = 5^{1} \times 7^{1} \times k.\]
عدد \(d\) را به عنوان بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک \(205800\) و \(35k\) در نظر بگیرید. می‌خواهیم همهٔ حالت‌های ممکن برای \(k\leq 2940\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \(d\) یک مربع کامل باشد.
چون هم \(5\) و هم \(7\) مقسوم‌علیه‌های اول \(205800\) و \(35k\) هستند، بنابراین \(5\) و \(7\)، هر دو مقسوم‌علیه‌های اول \(d\) هم هستند. (بر اساس نکته‌ٔ پنجم)
برای اینکه \(d\) یک مربع کامل باشد، باید در تجزیه شدهٔ عدد \(d\)، توان \(5\) و \(7\) زوج باشد. (بر اساس نکته‌ٔ چهارم)
از آنجایی که توان‌های \(5\) و \(7\) در \(205800\)، \(5^{2}\) و \(7^{3}\) هستند، برای اینکه \(d\) مربع کامل باشد باید در تجزیهٔ شدهٔ \(d\)، اعداد \(5^{2}\) و \(7^{2}\) وجود داشته باشد.
چون
\[d=5\times 7 \times k\]
بنابراین برای برخی مقادیر صحیح و مثبت \(j\)،
\[k=5\times 7 \times j = 35j.\]از طرفی، داریم:
\[\begin{aligned}&k \leq 2940 \\&\Rightarrow 35j \leq 2940 \\&\Rightarrow j \leq 84\end{aligned}\]
می‌دانیم \(d\) بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک دو عدد \(2^{3} \times 3^{1} \times 5^{2} \times 7^{3}\) و \(5^{2} \times 7^{2} \times j\) است.
اکنون، چه اطلاعات بیشتری می‌توانیم از \(j\) به دست بیاوریم؟
\(\bullet\) \(j\) نمی‌تواند بر \(3\) بخش‌پذیر باشد.
چرا؟

\(\bullet\) \(j\) نمی‌تواند بر \(7\) بخش‌پذیر باشد.
چرا؟

\(\bullet\) اگر \(j\) بر \(2\) بخش‌پذیر باشد آنگاه \(2^{2}\) در تجزیه‌ شدهٔ عدد \(j\) وجود خواهد داشت. توجه کنید که در این حالت، چون \(d\) باید مربع کامل باشد، \(2^{1}\) یا \(2^{3}\) نمی‌تواند در تجزیهٔ شدهٔ عدد \(j\) وجود داشته باشد.

\(\bullet\) \(j\) می‌تواند بر \(5\) بخش‌پذیر باشد.
چرا؟

\(\bullet\) \(j\) می‌تواند بر اعداد اول دیگری به جز \(2\)، \(3\)، \(5\)، یا \(7\) بخش‌پذیر باشد.
چرا؟

با توجه به اطلاعات بالا، دو حالت برای \(j\) وجود دارد.
حالت اول. \(j\) بر \(2^{2}\) بخش‌پذیر باشد ولی بر توان بزرگ‌تر از آن بخش‌پذیر نباشد. در این حالت، \(6\) مقدار مختلف برای \(j\) وجود دارد.
چرا؟

حالت دوم. \(j\) بر \(2\) بخش‎پذیر نباشد. در این‌ حالت، \(24\) مقدار مختلف برای \(j\) وجود دارد.
چرا؟

بنابراین در مجموع، \(30\) مقدار ممکن برای \(j\) وجود دارد و درنتیجه \(30\) مقدار ممکن برای \(k \leq 2940\) داریم که باعث شوند زوج \((205800,35k)\) یک زوج شاد باشد.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}\frac{40}{0.5}+20&=80+20\\&=100.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

فرض کنیم روی هر نیمکت \(2\) نفر نشسته‌اند و یک نیمکت خالی باشد.
از نیمکت اول یک نفر را برمی‌داریم و روی نیمکت خالی می‌نشانیم. از نیمکت دوم نیز یک نفر را برمی‌داریم و روی زمین می‌نشانیم. حالا \(3\) نیمکت داریم که روی هریک از آنها یک نفر نشسته است و یک نفر مجبور شده روی زمین بنشیند! پس این مهدکودک \(3\) نیمکت و \(4\) کودک دارد.

پاسخ تشریحی

باید \(28\) مهره (یا بیشتر) بیرون بیاوریم تا در بین آنها حداقل \(10\) مهرهٔ همرنگ وجود داشته باشد. زیرا اگر \(27\) مهره را بیرون بیاوریم، ممکن است در بین آنها \(9\) مهره سفید، \(9\) مهره قرمز، و \(9\) مهره آبی باشد؛ اما وقتی مهرهٔ \(28\)اُم را بیرون می‌آوریم، مطمئن هستیم که در بین مهره‌های بیرون آمده حداقل \(10\) مهرهٔ همرنگ وجود دارد.

پاسخ تشریحی

هر ستون را (از بالا به پایین) یک عدد سه رقمی در نظر بگیرید. برای مثال ستون سمت چپ، عدد 394 را مشخص می‌کند. اگر عدد سه‌رقمی ستون اول (از سمت چپ) را با عدد سه‌رقمی ستون دوم جمع بزنیم، عدد سه‌رقمی ستون سوم به‌دست می‌آید.
\[394+568=962.\]
برای خانه‌های سمت راست جدول نیز همین کار را انجام می‌دهیم:
\[437+289=726.\] بنابراین، به‌جای علامت سؤال باید عدد \(6\) را قرار دهیم.

پاسخ تشریحی

با دو رنگ نمی‌توان رنگ‌آمیزی خواسته شده را انجام داد.
چرا؟

فرض کنید بخواهیم با دو رنگ زرد و قرمز، کار خواسته شده را انجام دهیم. در شکل زیر، دایره‌ٔ \(A\) را قرمز کرده‌ایم. بنابراین، مجبور بودیم که دایره‌های \(B\) و \(C\) را زرد کنیم. و در نتیجه، دایرهٔ \(D\) باید قرمز می‌شد.

حال، چون دایره‌ٔ \(F\) به دایره‌های \(C\) و \(D\) وصل است، پس نمی‌توانیم دایرهٔ \(F\) را زرد یا قرمز کنیم.

پس حداقل به سه رنگ نیاز داریم. حال اگر بتوانیم با سه رنگ و شرایط گفته شده در مسئله، دایره‌ها را رنگ کنیم، آن‌وقت پاسخ مسئله عدد \(3\) خواهد بود.

پاسخ تشریحی

برای حل این مسئله نیازی به رسم شکل نیست.
دورترین رأس از رأس \(2\)، رأسی است که وجه مشترکی با رأس \(2\) ندارد. رأس \(2\) در وجه‌های \((1,2,5,8)\)، \((2,4,5,7)\)، و \((2,3,7,8)\) آمده است. تنها عددی که در این سه وجه نیامده، عدد \(6\) است.

در زیر، برای زیبایی(!) مکعب مونا رسم شده است.

پاسخ تشریحی

هر سیم دو سر دارد. بنابراین تعداد سرهای \(13788\)تا سیم برابر است با:
\[13788\times2=27576.\] می‌دانیم که در یک مدار عجیب، هر گره به سه‌تا سیم متصل است. یعنی هر \(3\)تا سیم یک سرِ مشترک دارند که آن سرِ مشترک، یک گره است. بنابراین، تعداد گره‌ها برابر است با: \[27576\div3=9192.\]

پاسخ تشریحی

عدد \(2021\) را تجزیه می‌کنیم: \[2021=43\times47.\] بنابراین، همهٔ حالت‌هایی که می‌توان \(2021\) را به‌‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی نوشت، این‌گونه است: \[\begin{aligned}2021&=1\times2021\\&=43\times47.\end{aligned}\] حال با توجه به الگوی داده شده، از \(2021=1\times2021\) نتیجه می‌شود که \(2021\) در سطر \(2021\) ظاهر می‌شود؛ و از \(2021=43\times47\) نتیجه می‌شود که \(2021\) در سطر \(43+47-1=89\) ظاهر می‌شود.
بنابراین، \(2021\) برای اولین بار در سطر \(89\)اُم ظاهر می‌شود.

پاسخ تشریحی

فرض کنیم که این اعداد به \(n\) گروه (که \(n\geq2\))، تقسیم شوند به‌طوری‌که مجموع اعداد این گروه‌ها برابر \(s\) باشد.
\(n\) فقط می‌تواند برابر \(3\) یا \(5\) باشد.
چرا؟

اگر \(n=5\)، آن‌وقت \(s=9\). دراین‌حالت، مسئله \(5\) جواب دارد.
چرا؟

اگر \(n=3\)، آن‌وقت \(s=15\). دراین‌حالت، مسئله \(27\) جواب دارد.
چرا؟

بنابراین، تعداد جواب‌های مسئله برابر است با:
\[27+5=32.\]

پاسخ تشریحی

اگر اولین انتخاب فرید برابر \(-4\) باشد، هیچ عددی بزرگتر از \(-4\) در بین این اعداد نیست که مجموعش با \(-4\) برابر \(3\) شود (بزرگترین عدد در بین این اعداد \(6\) است و \(-4 + 6 = 2\)).
اگر اولین انتخاب فرید برابر \(-3\) باشد، پس او باید عدد \(6\) را انتخاب کند تا مجموعش با \(-3\) برابر \(3\) شود.
اگر اولین انتخاب فرید برابر \(-2\) باشد، پس او باید عدد \(5\) را انتخاب کند تا مجموعش با \(-2\) برابر \(3\) شود.
اگر اولین انتخاب فرید برابر \(-1\) باشد، پس او باید عدد \(4\) را انتخاب کند تا مجموعش با \(-1\) برابر \(3\) شود.
اگر اولین انتخاب فرید برابر \(0\) باشد، پس او باید عدد \(3\) را انتخاب کند تا مجموعش با \(0\) برابر \(3\) شود.
اگر اولین انتخاب فرید برابر \(1\) باشد، پس او باید عدد \(2\) را انتخاب کند تا مجموعش با \(1\) برابر \(3\) شود.
اگر اولین انتخاب فرید برابر \(2\) (یا هر عددی بزرگتر از \(2\)) باشد، در این‌صورت هیچ عددی نیست که او انتخاب کند تا مجموع برابر \(3\) شود. (چون عدد دوم باید بزرگتر از عدد اول باشد، پس مجموع بیشتر از \(5\) خواهد شد).
بنابراین، \(5\) جفت عدد وجود دارد که فرید می‌تواند انتخاب کند و مجموع نیز برابر \(3\) شود.

پاسخ تشریحی

ارتفاع این مکعب‌مستطیل برابر $3$ سانتی‌متر است.
چرا؟

پاسخ تشریحی

حداقل \(7\) خانه رنگی می‌شوند.

پاسخ تشریحی

پاسخ عدد \(13\) است.

در هر سطرِ جدول سمت چپ،‌ عدد میانیِ سطر، یک واحد بیشتر از حاصل‌ضرب عدد اول و عدد آخر آن سطر است. هر سطر جدول سمت راست نیز همین خاصیت را دارد.

پاسخ تشریحی

دو تا چهاروجهی منتظم را از یک وجه به‌هم بچسبانید. شکل زیر، دو تا چهار وجهی منتظم را که از یک وجه به‌هم چسبیده‌اند، نشان می‌دهد.

در شکل بالا، سه مثلث روبه بالا (مثلث‌های آبی)، سه مثلث رو به پایین (مثلث‌های قرمز) و یک مثلث در محل چسبیدن دو چهاروجهی به‌هم، وجود دارد. بنابراین، پاسخ این مسئله، \(7\) مثلث است.

پاسخ تشریحی

برای اینکه خیالمان راحت باشد که از هر میوه، حداقل یکی خریداری کرده‌‌ایم، ابتدا یک پرتقال و یک سیب برمی‌داریم. حالا، می‌خواهیم \(7\) میوه انتخاب کنیم به‌طوری‌که مجموع قیمت آنها برابر با:
\[3500-500-400=2600\] تومان باشد و گلابی‌هایی که برمی‌داریم، بیشترین تعداد ممکن باشد.
تعداد گلابی‌ها نمی‌تواند \(7\)تا باشد.
چرا؟

تعداد گلابی‌ها نمی‌تواند \(6\)تا باشد.
چرا؟

تعداد گلابی‌ها نمی‌تواند \(5\)تا باشد.
چرا؟

تعداد گلابی‌ها می‌تواند \(4\)تا باشد.
چرا؟

پاسخ تشریحی

مرکز مستطیل را \(O\) می‌نامیم و \(O\) را به \(P\) وصل می‌کنیم. همچنین، مطابق شکل زیر، عمودهای \(OM\) و \(ON\) را رسم می‌کنیم.

چون \(O\) مرکز مستطیل است، پس \(M\) نیز در وسط ضلع \(PQ\) قرار دارد و \(PM = \frac{1}{2} \times 4 = 2\). به طور مشابه، \(N\) در وسط \(PS\) قرار دارد و \(PN = \frac{1}{2} \times 2 = 1\).

در مثلث \(POV\)، قاعدهٔ \(PV = a\) و ارتفاع \(OM = 1\) را در نظر بگیرید. مساحت این مثلث برابر است با: \[\frac{1}{2} \times a \times 1 = \frac{1}{2} a.\]
در مثلث \(POW\)، قاعدهٔ \(PW = a\) و ارتفاع \(ON = 2\) را در نظر بگیرید. مساحت این مثلث برابر است با: \[\frac{1}{2} \times a \times 2 = a.\]
بنابراین، مساحت چهارضلعی \(PWOV\) برابر است با مجموع مساحت دو مثلث \(PVO\) و \(PWO\) یا \(\frac{1}{2} a + a = \frac{3}{2}a\).
به همین ترتیب می‌توان نشان داد که مساحت چهارضلعی \(RTOU\) نیز برابر است با \(\frac{3}{2} a\). در نتیجه، مساحت ناحیهٔ صورتی‌رنگ برابر است با \(2 \times \frac{3}{2} a = 3a\).
مساحت مستطیل \(PQRS\) برابر است با \(4 \times 2 = 8\) و چون مساحت ناحیهٔ صورتی‌رنگ باید \(\frac{1}{8}\) مساحت مستطیل \(PQRS\) باشد، پس داریم:
\[\begin{aligned}&3a = \frac{1}{8} \times 8\\&\Rightarrow 3a = 1\\&\Rightarrow a = \frac{1}{3}.\\\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

حرکت استوانهٔ کوچک را در دو مرحلهٔ زیر بررسی می‌کنیم:

مرحلهٔ اول. وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ فرو می‌رود، تا قبل از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، آب از کناره‌های استوانهٔ بزرگ روی زمین می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)

مرحلهٔ دوم. بعد از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شد، در ادامهٔ حرکت، آب از کناره‌ها داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)

می‌توانید آزمایش بالا را با دو استوانه یا لیوان بزرگ و کوچک انجام دهید.

در ادامه، مقدار آبی را که در مرحلهٔ اول روی زمین می‌ریزد و همچنین مقدار آبی را که در مرحلهٔ دوم داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد، محاسبه می‌کنیم.

(مرحلهٔ اول) در ابتدا، حجم آب داخل استوانهٔ بزرگ برابر \(625\pi\) است.
چرا؟

وقتی بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، حجم آب بین دو استوانه برابر \(430\pi\) است. (چرا؟)
چرا؟

بنابراین، وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ می‌رود، تا جایی که بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، مقدار آبی که روی زمین می‌ریزد برابر است با:\[625\pi-430\pi=195\pi.\]

(مرحلهٔ دوم) در ادامهٔ حرکت، تا وقتی که استوانهٔ کوچک به کف استوانهٔ بزرگ برسد، آب از کناره‌ها به داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. بنابراین، حجم آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد برابر \(250\pi\) است. (چرا؟)
چرا؟

در نتیجه:
\[250\pi\approx250\times3.14=785.\]

پاسخ تشریحی

خانه‌هایی از جدول داده شده را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

فرض کنیم که اختلاف \(y\) و \(40\) برابر \(d\) باشد، یا به‌عبارتِ‌دیگر، \(y=40+d\). دراین‌صورت، داریم:
\[\begin{aligned}n&=40+2d\\m&=40-d\\p&=37-2d\\q&=34-3d\\z&=50-6d\\r&=66-9d\\s&=82-12d.\end{aligned}\]
چرا؟

حال، از سطر پنجم جدول بالا می‌توان نتیجه گرفت که \(d=7\).

چگونه؟

بنابراین:
چون در سطر پنجم جدول بالا، هر عدد \(28\) واحد از عدد قبلی‌اش کمتر است، پس دومین و اولین عدد سطر پنجم، به‌ترتیب \(82\) و \(110\) هستند.
پس:
\[\begin{aligned}x&=110\\y&=47\\z&=8.\end{aligned}\] بنابراین: \[\begin{aligned}&x+y+z\\&=110+47+8\\&=165.\end{aligned}\]

توجه کنید که راه‌حل بالا نشان می‌دهد که به‌جای هریک از نمادهای \(x\)، \(y\)، و \(z\) فقط یک مقدار می‌توان قرار داد.

پرسش ۱. آیا می‌توانید همهٔ خانه‌های خالی را با قانون گفته شده پر کنید؟

پرسش ۲. آیا می‌توانید مسئله‌ای مشابه مسئلهٔ بالا طرح کنید که برای خانهٔ \(x\)، دقیقاً دو مقدار وجود داشته باشد؟

پاسخ تشریحی

به‌جای علامت سؤال باید عدد \(42\) را قرار داد. زیرا در این‌صورت تفاصل هر دو عضو متوالی دنبالهٔ داده شده، مضربی از \(6\) است:
\[\begin{aligned}&150-114=36=6\times6\\&114-84=30=5\times6\\&84-60=24=4\times6\\&60-42=18=3\times6\\&42-30=12=2\times6\\&30-24=6=1\times6.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

می‌توان یک خط راست رسم کرد به‌طوری‌که از هفت‌تا از مربع‌های کوچک شکل داده شده عبور کند.

چگونه؟

نمی‌توان یک خط راست رسم کرد به‌طوری‌که از بیش هفت‌تا از مربع‌های کوچک شکل داده شده عبور کند.

چرا؟

پاسخ تشریحی

چون در سطر اول و دوم، لامپ ۲ خاموش است، پس هر دو کلید متصل به آن کار کرده است. در نتیجه، کلیدهای \(A\) و \(B\) کار کرده‌اند.
چون در سطر اول و دوم، لامپ ۴ روشن است، پس هر دو کلید متصل به آن کار کرده است. در نتیجه، کلیدهای \(B\) و \(D\) کار کرده‌اند.
چون لامپ‌های ۱ و ۳ در یک سطر روشن و در سطر دیگر خامو‌ش‌اند، پس یکی از کلیدهای متصل به آنها کار نکرده است.
بنابراین، کلید $C$ خراب بوده است.

پاسخ تشریحی

می‌دانیم هر جهانگرد \(\frac{1}{3}\) غذایی را که در بشقاب بوده، خورده است. پس هر جهانگرد \(\frac{2}{3}\) غذایی را که در بشقاب بوده، باقی گذاشته است.
از آخر مسئله به اول آن می‌ٰرویم. جهانگرد سوم که \(8\) کوفته به‌جا گذاشته، \(8\times\frac{3}{2}\) کوفته داشته است. همین‌طور، جهانگرد دوم که \(12\) کوفته باقی گذاشته، \(18\) کوفته و جهانگرد اول
\[8\times\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}=27\] کوفته داشته است.

پاسخ تشریحی

اختلاف مسافت دو دونده در یک دقیقه برابر است با $\frac{2}{35}$ از دور یک میدان.

چرا؟

بنابراین، پس از $1050$ ثانیه برای اولین بار بعد از حرکت کنار یکدیگر قرار خواهند گرفت.

چرا؟

پاسخ تشریحی

مسیر آبی‌رنگ شکل زیر را با دقت ببینید.

واضح است که این الگو از به‌هم چسباندن تعدادی مسیر آبی‌رنگ تولید می‌شود. هر مسیر آبی، از شش نقطه تشکیل شده است. پس برای اینکه بدانیم نقطهٔ‌ \(1399\) کجاست، ابتدا باید باقی‌ماندهٔ تقسیم \(1399\) بر \(6\) را به‌دست بیاوریم: \[1399=6\times233+1.\] پس جایگاه \(1399\) به‌صورت زیر است.

در این الگو، همهٔ نقاطی که باقی‌ماندهٔ تقسیم آنها بر \(6\) برابر \(1\) است، طول و عرض‌شان برابر است.
مختصات نقطهٔ \(1\) برابر است با: \(\big[{0\atop0}\big]\)
مختصات نقطهٔ \(7\) برابر است با: \(\big[{2\atop2}\big]\)
مختصات نقطهٔ‌ \(13\) برابر است با: \(\big[{4\atop4}\big]\)
پس \(x-y=0\).

پرسش. آیا می‌توانید \(x\) و \(y\) را به‌دست آورید.

پاسخ تشریحی

چون مثلث \(PQR\) متساوی‌الساقین است، پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، گزینهٔ آخر همواره درست است.

در این مسئله، اکثر افراد شکل زیر را رسم می‌کنند.

و از شکل بالا نتیجه می‌گیرند که به‌غیر از گزینهٔ اول، بقیهٔ گزینه‌ها درست هستند. اما می‌توان شکل را طوری رسم کرد که همهٔ‌ گزینه‌ها، به‌غیر از گزینهٔ آخر، نادرست باشند. در شکل بالا، به مرکز \(Q\) و شعاع \(QY\) دایره‌ای رسم می‌کنیم.

حالا اگر به‌جای نقطهٔ آبی، نقطهٔ سیاه شکل بالا را \(Y\) بنامیم، واضح است که همهٔ‌ گزینه‌ها، به‌غیر از گزینهٔ آخر، نادرست هستند.

پاسخ تشریحی

فرض کنید عدد هفت رقمی \(\overline{abcdefg}\) بر \(11\) بخش‌پذیر باشد. در این صورت، اگر
\[P=a-b+c-d+e-f+g\]آن‌وقت \(P\) باید بر \(11\) بخش‌پذیر باشد.

اگر \(M=a+c+e+g\) و \(N=b+d+f\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}P&=a-b+c-d+e-f+g\\&=(a+c+e+g)-(b+d+f)\\&=M-N.\quad(1)\end{aligned}\]
همچنین داریم:
\[\begin{aligned}M+N&=(a+c+e+g)+(b+d+f)\\&=1+2+3+4+5+6+7\\&=28.\quad(2)\end{aligned}\]

حال، بیشترین و کمترین مقدار ممکن برای \(P\) را به‌دست می‌آوریم.

\(\bullet\) بیشترین مقدار ممکن برای \(P\) برابر \(16\) است.

چرا؟

\(\bullet\) کمترین مقدار ممکن برای \(P\) برابر \(-8\) است.

چرا؟

بنابراین، چون \(P\) باید بر \(11\) بخش‌پذیر باشد و \(-8\leq P\leq16\)، پس دو حالت برای \(P\) وجود دارد: \(P=11\) و \(P=0\).
حالت اول. \(P\) نمی‌تواند برابر \(11\) باشد.

چرا؟

حالت دوم. اگر \(P=0\)، آن‌وقت \(M=14\) و \(N=14\).

چرا؟

دقیقاً چهار حالت وجود دارد که می‌توان \(14\) را به‌صورت مجموع سه عدد طبیعی کوچکتر یا مساوی \(7\) نوشت:
\[\begin{aligned}14&=7+6+1\\&=7+5+2\\&=7+4+3\\&=6+5+3.\end{aligned}\]
اگر \(b\)، \(d\)، و \(f\)، (نه لزوماً به‌ترتیب) برابر \(7\)، \(6\)، و \(1\) باشند، آن‌وقت \(a\)، \(c\)، \(e\)، و \(g\)، (نه لزوماً به‌ترتیب) برابر \(5\)، \(4\)، \(3\)، و \(2\) خواهند بود. دراین‌حالت، \(144\) عدد هفت رقمی \(\overline{abcdefg}\) وجود دارد که بر \(11\) بخش‌پذیر است.

چرا؟

واضح است که برای هریک از سه حالت دیگر نیز، \(144\) عدد هفت رقمی \(\overline{abcdefg}\) وجود دارد که بر \(11\) بخش‌پذیر است.

بنابراین، جواب مسئله برابر است با:
\[4\times144=576.\]

پرسش. با ارقام \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، \(8\)، و \(9\) یک عدد نُه رقمی تصادفی ساخته‌اند به‌طوری‌که تکرار ارقام مجاز نبوده است. احتمال اینکه این عدد هفت رقمی بر \(11\) بخش‌پذیر باشد، چقدر است؟

پاسخ تشریحی

ابتدا مطابق شکل زیر، داخل هر دایره یک حرف قرار می‌دهیم.

سپس مسئله را در چند مرحله حل می‌کنیم.

مرحلهٔ اول

با توجه به شکل بالا داریم:
\[S=12+\frac{a+b+c}{3}.\quad(1)\]

چرا؟

مرحلهٔ دوم

مقدار \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد.

چرا؟

مرحلهٔ سوم

مقدار \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد.

چرا؟

پس در مراحل بعد باید مقدارهای \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، \(18\)، و \(19\) را بررسی کنیم.

مرحلهٔ چهارم

مقدار \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد.

چرا؟

مرحلهٔ پنجم

مقدار \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد.

چرا؟

مرحلهٔ ششم

مقدار \(S\) می‌تواند برابر با \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد.

چرا؟

بنابراین، مجموع همهٔ مقادیر ممکن \(S\) برابر است با:
\[15+16+17+19=67.\]

پاسخ تشریحی

می‌دانیم محیط دایره‌ای به شعاع \(r\) برابر \(2\pi r\) و یا تقریباً \(6.28r\) است.

فرض کنید \(r\) شعاع دایره‌ای (برحسب متر) باشد که سیم تلفن به‌دور آن پیچیده شده است. مهندس می‌خواهد خط تلفن را به دایره‌ای به شعاع \(r+2\) منتقل کند. در این‌صورت طول سیم اضافی مورد نیاز برابر \(12.56\) است.

چرا؟

یعنی خط تلفن \(12.56\) متر بلندتر می‌شود. پس هزینه‌اش \(251,200\) تومان خواهد شد.

چرا؟

دقت کنید که در راه‌حل از \(40000\) کیلومتر (طول خط استوا) استفاده نشده است؛ به‌عبارت‌ دیگر، به‌ازای هر مقدار دلخواه \(r\)، هزینهٔ سیم اضافه دلخواه همین مقدار است!

پاسخ تشریحی

در هر یک از ساعت‌های \(12\) تا \(1\)، \(1\) تا \(2\)، \(4\) تا \(5\)، \(5\) تا \(6\)، \(6\) تا \(7\)، \(7\) تا \(8\)، \(10\) تا \(11\)، و \(11\) تا \(12\)، دوبار زاویهٔ بین عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار $90$ درجه می‌شود.
از ساعت \(2\) تا \(4\)، سه‌بار زاویهٔ بین عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار $90$ درجه می‌شود.
از ساعت \(8\) تا \(10\) نیز سه‌بار زاویهٔ بین عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار $90$ درجه می‌شود.

پس در طول شبانه‌روز، \(44\) بار زاویۀ بین عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار $90$ درجه می‌شود.

پاسخ تشریحی

در تصویر زیر، خانه‌های روی قطر جدول ضرب با رنگ زرد مشخص شده‌اند.

واضح است که اعدادی که روی قطر این جدول ضرب نیستند، حداقل دو بار دیده می‌شوند.
اعداد دورقمی روی قطر این جدول ضرب عبارتند از:
\[16,25,36,49,64,81.\]
از بین اعداد بالا، \(16\) و \(36\) بیش از یک‌بار دیده می‌شوند، زیرا: \[\begin{aligned}&16=4\times4=2\times8=8\times2\\&36=6\times6=4\times9=9\times4.\end{aligned}\]

پس در جدول‌ ضرب \(10\times10\)، فقط \(4\) عدد دورقمی وجود دارد که دقیقاً یک‌بار دیده می‌شود:
\[25,49,64,81.\]

پاسخ تشریحی

برای اینکه تعداد مهره‌های آبی، حداکثر شود، تعداد مهره‌های سبز درون کیسه را صفر در نظر می‌گیریم. چون از هر $5$ مهرهٔ درون کیسه، حداقل یکی قرمز است، پس باید حداقل $26$ مهرهٔ قرمز درون کیسه باشد. بنابراین، حداکثر $4$ مهرهٔ آبی می‌تواند درون کیسه باشد.

به واژه «هر» در صورت مسئله دقت کنید.
اگر کمتر از \(26\) مهرهٔ قرمز داخل کیسه باشد، آن‌وقت می‌توان پنج مهره برداشت که هیچ‌کدام از آنها قرمز نباشد؛ درحالی‌که در صورت مسئله نوشته شده که باید از «هر» پنج مهره، حداقل یکی قرمز باشد.

پاسخ تشریحی

نقاط روی شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

محل برخورد پاره‌خط‌های \(AE\) و \(BF\) را نیز نقطهٔ \(G\) می‌نامیم.

در شکل بالا، با استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، می‌توان ثابت کرد که هریک از زاویه‌های صورتی برابر \(30\) درجه، و هریک از زاویه‌های آبی برابر \(60\) درجه هستند.

چگونه؟

بنابراین، زاویه‌های \(G_1\)، \(G_2\)، \(G_3\)، \(G_4\)، \(G_5\)، \(G_6\)، \(A_1\)، \(A_2\)، \(B_1\)، \(B_2\)، \(C_1\)، \(C_2\)، \(ABC\)، \(BCA\)، و \(CAB\) حاده هستند. واضح است که
\[\widehat{G}_1+\widehat{G}_2+\widehat{G}_3+\widehat{G}_4+\widehat{G}_5+\widehat{G}_6=360^\circ.\quad(1)\]
چون مجموع زاویه‌های مثلث \(ABC\) برابر \(180\) درجه است، پس:
\[\widehat{A}_1+\widehat{A}_2+\widehat{B}_1+\widehat{B}_2+\widehat{C}_1+\widehat{C}_2=180^\circ.\quad(2)\]
همچنین:
\[A\widehat{B}C+B\widehat{C}A+C\widehat{A}B=180^\circ.\quad(3)\]
در نتیجه، بنابه رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\)، مجموع زاویه‌های حادهٔ شکل داده شده برابر است با:
\[360^\circ+180^\circ+180^\circ=720^\circ.\]

پاسخ تشریحی

با کمتر از ۸ رنگ (و با شرایط خواسته شده) نمی‌توان این مکعب را ساخت.

چرا؟

بنابراین برای ساختن این مکعب حداقل به ۸ رنگ نیاز داریم. می‌توان با ۸ رنگ، مکعبی با شرایط خواسته شده ساخت.

چگونه؟

بنابراین سعید باید حداقل ۸ رنگ داشته باشد.

پاسخ تشریحی

اعداد داخل دایره‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

می‌دانیم که مجموع این شش عدد با مجموع اعداد $1$ تا $6$ برابر است. یعنی:
\[\begin{aligned}&x+y+z+a+b+c\\&=1+2+3+4+5+6\\&=21.\end{aligned}\]

همچنین، می‌دانیم که مجموع اعداد روی هر ضلع، برابر $10$ است. پس: \[\begin{aligned}&(x+a+y)+(y+b+z)+(z+c+x)=10+10+10\\&\Rightarrow (x+y+z)+(\underbrace{x+y+z+a+b+c}_{=21})=30\\&\Rightarrow x+y+z=30-21\\&\Rightarrow x+y+z=9.\end{aligned}\]
در نتیجه، چون:
\[\begin{aligned}&(x+y+z)+(x+y+z+a+b+c)=30\\&\Rightarrow9+9+a+b+c=30\\&\Rightarrow a+b+c=30-18\\&\Rightarrow a+b+c=12.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

با روی هم قرار دادن سه مربع هم‌اندازه، حداکثر \(8\) مربع می‌توان ساخت. در شکل زیر، با سه مربع هم‌اندازه، هشت‌تا مربع ساخته شده است.

پاسخ تشریحی

فرض کنید \(x\) تعداد بسته‌های شکلاتی باشد که یکی از آقایان خریده است، همین‌طور مبلغی که پرداخته است. به‌همین ترتیب، \(y\) تعداد بسته‌های شکلاتی باشد که همسرش خریده است، همین‌طور مبلغی که پرداخته است. در این صورت: \[x^2+y^2=65.\quad(1)\]

چرا؟

در مورد زوج دیگر، فرض می‌کنیم \(w\) و \(z\) تعداد بسته‌های شکلاتی باشد که خریده‌اند، در نتیجه: \[w^2+z^2=65.\quad(2)\] چون \(x\) و \(y\) عددهای طبیعی‌اند، پس جواب‌های معادلهٔ \((1)\) چنین‌اند:
\[\begin{aligned}&x=1,\;y=8\\&x=4,\;y=7\\&x=7,\;y=4\\&x=8,\;y=1.\end{aligned}\]
به همین ترتیب، جواب‌های معادلهٔ \((2)\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&w=1,\;z=8\\&w=4,\;z=7\\&w=7,\;z=4\\&w=8,\;z=1.\end{aligned}\]
چون الیزابت \(1\) بسته شکلات خریده‌ است، شوهرش \(8\) بسته خریده است. ویلیام یک بسته بیشتر از کاترین خریده است؛ این حالت فقط زمانی ممکن است پیش بیاید که ویلیام \(8\) بسته و کاترین \(7\) بسته خریده باشد. چون \[8^2+7^2\ne65\]پس ویلیام و کاترین، زن‌ و شوهر نیستند. بنابراین، ویلیام همسر الیزابت، و کاترین همسر جرج است. بنابراین، جرج \(4\) بسته شکلات خریده است.

پاسخ تشریحی

اندازهٔ دوازده زاویهٔ \(A_1\)، \(A_2\)، \(B_1\)، \(B_2\)، \(C_1\)، \(C_2\)، \(D_1\)، \(D_2\)، \(E_1\)، \(E_2\)، \(E_3\)، و \(E_4\)، برحسب درجه، اعدادی صحیح هستند.
ابتدا قرار می‌دهیم \(\widehat{C}_1=x\)؛ سپس، اندازهٔ هریک از دوازده زاویهٔ بالا را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم.

این مسئله را در شش مرحله حل می‌کنیم.

مرحلهٔ ۱. اگر \(\widehat{C}_1=x\)، آن‌وقت اندازهٔ یازده زاویهٔ دیگر، برحسب \(x\) به‌صورت زیر است.

چرا؟

مرحلهٔ ۲. به‌سادگی می‌توان ثابت کرد که \(x<30^\circ\).

چگونه؟

و همچنین، به‌سادگی می‌توان نشان داد که \(x\ne1^\circ\).

چگونه؟

مرحلهٔ ۳. اندازهٔ زاویه‌های \(B_1\) و \(B_2\)، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، هیچ‌یک از مقدارهای \(2x\) و \(4x\)، برحسب درجه، نمی‌توانند عددی اول باشد.

چرا؟

مرحلهٔ ۴. اندازهٔ زاویهٔ \(D_1\)، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، \(90^\circ-2x\)، برحسب درجه، نمی‌تواند عددی اول باشد.

چرا؟

مرحلهٔ ۵. اندازهٔ زاویه‌های \(A_1\) و \(C_2\) وقتی و فقط وقتی عدد اول است که \(x=29^\circ\).

چرا؟

بنابراین، \(x=29^\circ\) یکی از جواب‌های مسئله است.

چرا؟

مرحلهٔ ۶. از مرحله‌های ۲، ۳، ۴،‌ و ۵ نتیجه می‌شود که اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) تا \(29\) باشد، آن‌وقت اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی مرکب است.
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{C}_1=90^\circ-3x\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_1=2x\\&\widehat{B}_2=4x\\&\widehat{D}_1=90^\circ-2x.\end{aligned}\]
بنابراین، اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) و \(29\) باشد، آن‌وقت باید اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی اول باشد.
\[\begin{aligned}&\widehat{C}_1=x\\&\widehat{E}_1=\widehat{E}_3=90^\circ+x\\&\widehat{E}_2=\widehat{E}_4=\widehat{D}_2=90^\circ-x.\end{aligned}\]
به‌عبارت دیگر، اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) و \(29\) باشد، آن‌وقت باید سه مقدار \(x\)، \(90^\circ-x\)، و \(90^\circ+x\) اعدادی اول باشند.
پس جواب‌های دیگر مسئله عبارتند از:
\[\begin{aligned}x&=7^\circ\\x&=11^\circ\\x&=17^\circ\\x&=19^\circ\\x&=23^\circ.\end{aligned}\]

چرا؟