test

پاسخ تشریحی 

برای مشاهدهٔ پاسخ تشریحی، راهنمای حل سؤال ۶۳ آزمون پیشرفت تحصلیی نهم (بهمن ۹۶) را ببینید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی
 
\[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}&=2^{2^4}=2^{16}\\2^{2^{2}}x&=2^4x\\4^{y^3}&=\big(2^2\big)^{y^3}=2^{2y^3}.\end{aligned}\]
باتوجه‌به تساوی‌های بالا، داریم:
\[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x&\Rightarrow 2^{16}=2^4x\\&\Rightarrow \frac{2^{16}}{2^4}=x\\&\Rightarrow 2^{12}=x\\&\Rightarrow x=4096.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}=4^{y^3}&\Rightarrow 2^{16}=2^{2y^3}\\&\Rightarrow 16=2y^3\\&\Rightarrow 8=y^3\\&\Rightarrow y=2.\end{aligned}\]
پس:
\[x+y=4098.\]

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۱۴ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی
\[\begin{aligned}&\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{8\times 2}}{\sqrt[3]{27\times 2}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2-2\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{2}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2(1-\sqrt[3]{2})}{3(\sqrt[3]{2}-1)}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{-2(\sqrt[3]{2}-1)}{3(\sqrt[3]{2}-1)}\Bigg)^{-3}\\&=\Big(1+\dfrac{-2}{3}\Big)^{-3}\\&=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-3}\\&=3^3\\&=27.\end{aligned}\]

این سؤال مشابه تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۲ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل سؤال ۷۵ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم (بهمن ۹۶) را ببینید.

پاسخ تشریحی

از تساوی $\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}$ می‌توان مقدارهای $x$ و $y+z$ را به‌دست آورد:
\[\begin{aligned}&\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|+1=5\\&\{m\}=\{z+1,-y\}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=4\\&z+1=-y\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=4,\;x=-4\\&y+z=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
برای دو حالت $x=4$ و $x=-4$ داریم:
\[\begin{aligned}x=4\Rightarrow-x^{-2}&=-(4)^{-2}\\&=-\frac{1}{4^2}\\&=-\frac{1}{16}\cdot\end{aligned}\]\[\begin{aligned}x=-4\Rightarrow-x^{-2}&=-(-4)^{-2}\\&=-\frac{1}{(-4)^2}\\&=-\frac{1}{16}\cdot\end{aligned}\]
اگر \(m\) عددی زوج باشد، آن‌وقت:
\[(y+z)^{m}=(-1)^{m}=1\]
و اگر \(m\) عددی فرد باشد، آن‌وقت:
\[(y+z)^{m}=(-1)^{m}=-1.\]
بنابراین، اگر \(m\) زوج باشد، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\\&=\Big|-\frac{1}{16}+1\Big|\\&=\Big|\frac{15}{16}\Big|\\&=\frac{15}{16}\cdot\end{aligned}\]
و اگر \(m\) فرد باشد، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\\&=\Big|-\frac{1}{16}-1\Big|\\&=\Big|-\frac{17}{16}\Big|\\&=\frac{17}{16}\cdot\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

بسیاری از افراد شکل مشابه شکل زیر برای این مسئله رسم می‌کنند و نتیجه می‌گیرند که فقط برای عبارت آخر می‌توان مثال نقض ساخت.

اما می‌توان برای همهٔ عبارت‌های دیگر نیز، مثال نقض ساخت. در شکل بالا، دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AC\) رسم می‌کنیم.

به‌جای نقطهٔ \(C\) در شکل اول، نقطهٔ سیاه‌رنگ بالا را \(C\) می‌نامیم.

حالا، در چهارضلعی \(ABCD\)، همهٔ شرایط مسئله برقرار است ولی این شکل مثال نقضی برای همهٔ عبارت‌های داده شده است.

پاسخ تشریحی
 
بنابه فرض مسئله $AB=BM$؛ یعنی مثلث $ABM$ متساوی‌الساقین است. پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[B\widehat{A}M=B\widehat{M}A.\quad (1)\]
بنابراین مکمل دو زاویهٔ بالا نیز برابرند؛ یعنی
\[B\widehat{A}D=A\widehat{M}C.\quad (2)\]

دو مثلث $ACM$ و $ABD$ همنهشت‌اند. زیرا:
\(\bullet\) بنابه فرض مسئله، \(AM=AD\).
\(\bullet\) بنابه رابطهٔ \((2)\)، \(A\widehat{M}C=B\widehat{A}D\).
\(\bullet\) چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=BC\). از طرفی، بنابه فرض مسئله، \(AB=BM\). در نتیجه، \(CM=AB\).
از همنهشتی دو مثلث \(ABD\) و \(AMC\) نتیجه می‌شود:
\[A\widehat{B}D=C.\quad(3)\]
اکنون می‌توانیم اندازهٔ زاویهٔ $ABC$ را به‌دست آوریم.
\[\left. \begin{aligned}\widehat{D}+\widehat{C}=70^\circ\\A\widehat{B}D=\widehat{C}\quad(3)\end{aligned}\right\}\Rightarrow \widehat{D}+A\widehat{B}D=70^\circ. \quad(4)\]
با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ خارجی در مثلث $ABD$ داریم:
\[\widehat{D}+A\widehat{B}D=B\widehat{A}M.\quad(5)\]
از رابطه‌های \((4)\) و \((5)\) نتیجه می‌شود $B\widehat{A}M=70^\circ$.
حال بنابه رابطهٔ \((1)\) و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث $ABM$) داریم:
\[\begin{aligned}&B\widehat{A}M+B\widehat{M}A+A\widehat{B}M=180^\circ\\&\Rightarrow70^\circ+70^\circ+A\widehat{B}M=180^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{B}M=180^\circ-140^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{B}M=40^\circ.\end{aligned}\]
پس $A\widehat{B}C=40^\circ$.