آزمون آزمایشی

پاسخ تشریحی

اولی درست است. با استفاده از نمودار ون، واضح است که اگر \(A\subseteq B\) و \(B\subseteq C\)، آن‌وقت \(A\subseteq C\).

دومی نادرست است. مثال نقض:
\[x=1, A=\{1,2\}, B=\big\{\{1,2\},3\big\}.\]
در مثال بالا، \(1\in A\) و \(A\in B\)، ولی \(1\not\in B\).

پاسخ تشریحی

راهنمای حل تمرین ۹ صفحهٔ ۳۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد. پس عبارت «بزرگ‌ترین عدد طبیعی» مجموعهٔ تهی را مشخص می‌کند. (تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

چون بین ۴ و ۷ عدد صحیح منفی وجود ندارد، پس عبارت «عددهای صحیح منفی که بین ۴ و ۷ قرار دارند» مجموعهٔ تهی را مشخص می‌کند.

\(\{x\mid x\in\mathbb{N}, x(x-1)+1=x^2-x+1\}=\mathbb{N}\). قسمت «ج» تمرین ۵ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

\(\{x\mid x\in\mathbb{Z}, 5x+2=5-2x\}=\varnothing\). قسمت «ب» تمرین ۵ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

پاسخ تشریحی

راهنمای حل پرسش ۸۲ آزمون تیزهوشان نهم به دهم (خرداد ۹۷) را ببینید.

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

پاسخ تشریحی

\[xyz=42=2\times3\times7.\]
بنابراین، چهار حالت برای \(\{x,y,z\}\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}1)&\;\{x,y,z\}=\{2,3,7\}\\2)&\;\{x,y,z\}=\{1,6,7\}\\3)&\;\{x,y,z\}=\{1,2,21\}\\4)&\;\{x,y,z\}=\{1,3,14\}.\end{aligned}\]

این مسئله مشابه تمرین ۱۰ صفحهٔ ۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است. 

پاسخ تشریحی

چون \(\{b^2,a+1\}=\{3^2,-b^2\}\)، پس برای \(b^2\) دو حالت داریم:
حالت اول. \(b^2=3^2\) و \(a+1=-b^2\). در این حالت داریم:
\[b^2=3^2\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&b=3\\&b=-3\end{aligned}\right.\]
اگر \(b=3\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&a+1=-b^2\\&\Rightarrow a+1=-(3)^2\\&\Rightarrow a+1=-9\\&\Rightarrow a=-10\end{aligned}\]
و اگر \(b=-3\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&a+1=-b^2\\&\Rightarrow a+1=-(-3)^2\\&\Rightarrow a+1=-9\\&\Rightarrow a=-10.\end{aligned}\]
حالت دوم. \(b^2=-b^2\) و \(a+1=3^2\). در این حالت داریم:
\[b^2=-b^2\Rightarrow b=0\]
و
\[\begin{aligned}&a+1=3^2\\&\Rightarrow a+1=9\\&\Rightarrow a=8.\end{aligned}\]

بنابراین، سه مقدار مختلف برای \(a+b\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&1)\;a+b=-10+3=-7.\\&2)\;a+b=-10-3=-13.\\&3)\;a+b=8+0=8.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

اگر \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\)، آن‌وقت مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big\{1\times2,1\times3,1\times4,1\times6,1\times12,\\&\qquad2\times3,2\times4,2\times6,2\times12,\\&\qquad3\times4,3\times6,3\times12,\\&\qquad4\times6,4\times12,\\&\qquad6\times12\big\}\\&=\{2,3,4,6,12,6,8,12,24,12,18,36,24,48,72\}\\&=\{2,3,4,6,12,8,24,18,36,48,72\}\end{aligned}\]
که \(11\) عضو دارد.

پاسخ تشریحی

چون مجموعهٔ \(\{18,36,72\}\) حاصل‌ضرب جفت‌های مجموعهٔ \(A\) است، پس عدد \(18\) از حاصل‌ضرب دو عضو متفاوت مجموعهٔ \(A\) به‌دست آمده است. همهٔ حالت‌هایی که می‌توان عدد \(18\) را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد صحیح نوشت، عبارتند از:
\[\begin{aligned}&1\times18,\;-1\times(-18)\\&2\times9,\;(-2)\times(-9)\\&3\times6,\;(-3)\times(-6).\end{aligned}\]
\(\bullet\) اعداد \(1\) و \(18\) نمی‌توانند عضو \(A\) باشند. زیرا اگر \(1\) و \(18\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت \(36\) نیز باید عضو \(A\) باشد(؟)؛ در این‌صورت \(18\times36\) نیز باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
پس، \(-1\) و \(-18\) نیز نمی‌توانند عضو \(A\) باشند.

\(\bullet\) اعداد \(2\) و \(9\) نمی‌توانند عضو \(A\) باشند. زیرا می‌دانیم که به چهار حالت می‌توان عدد \(36\) را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی نوشت:
\[\begin{aligned}36&=1\times36\\&=2\times18\\&=3\times12\\&=4\times9.\end{aligned}\]
اگر \(2\) و \(9\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت برای اینکه \(36\) عضو مجموعه حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد باید یکی از حالت‌های زیر برقرار باشد:
۱) \(1,36\in A\)؛ در این‌صورت \(1\times2\) باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
۲) \(18\in A\)؛ در این‌صورت \(9\times18\) باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
۳) \(3,12\in A\)؛ در این‌صورت \(2\times3\) باید عضو مجموعهٔ‌حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
۴) \(4\in A\)؛ در این‌صورت \(2\times4\) باید عضو مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) باشد که نیست!
پس، \(-2\) و \(-9\) نیز نمی‌توانند عضو \(A\) باشند.

\(\bullet\) اگر \(3\) و \(6\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت عضو دیگر \(A\) عدد \(12\) است(؟). یعنی:
\[A=\{3,6,12\}.\]
\(\bullet\) اگر \(-3\) و \(-6\) عضو \(A\) باشند، آن‌وقت عضو دیگر \(A\) عدد \(-12\) است(؟). یعنی:
\[A=\{-3,-6,-12\}.\]
بنابراین، دو مجموعه وجود دارد که حاصل‌ضرب جفت‌های آنها برابر \(\{18,36,72\}\) است: \[\{3,6,12\},\{-3,-6,-12\}.\]

این مسئله با توجه به تمرین‌های صفحهٔ ۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم طرح شده است. 

پرسش. اگر \(x\in\big(\mathbb{N}-\{6,10,15\}\big)\) و \(A=\{6,10,15,x\}\)، آن‌وقت مجموعهٔ حاصل‌ضرب جفت‌های \(A\) حداقل چند عضو دارد؟

پاسخ تشریحی

دو حالت برای نمودار ون داده شده وجود دارد.

حالت اول.

در این حالت ناحیهٔ سایه‌خورده برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big((A\cap B)-C\big)\cup\big(C-(A\cup B)\big)\\&=\{10\}\cup\{6,7\}\\&=\{6,7,10\}.\end{aligned}\]
پس در این حالت، ناحیهٔ سایه‌خورده \(3\) عضو دارد.

حالت دوم. 

در این حالت، ناحیهٔ سایه‌خورده برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big((A\cap C)-B\big)\cup\big(B-(A\cup C)\big)\\&=\{0,3,4\}\cup\{9\}\\&=\{0,3,4,9\}.\end{aligned}\]
پس در این حالت، ناحیهٔ سایه‌خورده \(4\) عضو دارد.

بنابراین، ناحیهٔ سایه خورده حداکثر \(4\) عضو دارد.

این مسئله مشابه تمرین ۲۱ صفحهٔ ۱۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

پاسخ تشریحی

ادعا. دقیقاً پنج مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد که عبارتند از:
\[\begin{aligned}&\{1,3,5,15\}\\&\{1,3,7,13\}\\&\{1,3,9,11\}\\&\{1,5,7,11\}\\&\{3,5,7,9\}.\\\end{aligned}\]
اثبات. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد فرد متمایز باشند به‌طوری‌که \[a < b < c < d.\]
\(\bullet\) اگر \(a=1\)، آن‌وقت \(b\) نمی‌تواند بزرگ‌تر از \(5\) باشد. زیرا اگر \(b\geq7\)، آن‌وقت \(c\geq9\) و \(d\geq11\). پس: \[b+c+d\geq7+9+11=27.\]

پس اگر \(a=1\)، آن‌وقت برای \(b\) دو حالت داریم:
حالت اول. \(b=3\). در این‌حالت سه مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد. زیرا:
\[\begin{aligned}&a+b+c+d=24\\&\Rightarrow1+3+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=20\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&c=5,d=15\\&c=7,d=13\\&c=9,d=11.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
حالت دوم. \(b=5\). در این‌حالت یک مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد. زیرا:\[\begin{aligned}&a+b+c+d=24\\&\Rightarrow1+5+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=18\\&\Rightarrow c=7,d=11.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(a=3\)، آن‌وقت یک مجموعه با شرایط گفته شده وجود دارد. زیرا
\[\begin{aligned}&a+b+c+d=24\\&\Rightarrow3+5+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=16\\&\Rightarrow c=7,d=9.\end{aligned}\]
\(\bullet\) واضح است که اگر \(a\) بزرگ‌تر از \(3\) باشد، مجموعه‌ای با شرایط گفته شده وجود ندارد(؟).