آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

راهنمای حل

هر سه عبارت نادرست است. تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵

۹. ۳. ۷. ۴. الف) آیا در دو چندضلعی زیر، می‌توان اضلاع را طوری دوبه‌دو نظیر یکدیگر قرار داد که نسبت همهٔ اضلاع متناظر برابر باشند؟ یا به‌عبارتِ‌دیگر اضلاع متناظر متناسب باشند؟

ب) فرض کنید $n>3$. روشی برای رسم دو $n$-ضلعی که اضلاع متناظرشان متناسب باشند ولی دو چندضلعی متشابه نباشند، ارائه دهید.

راهنمای حل

الف) ابتدا اندازهٔ هریک از ضلع‌های دو چندضلعی داده شده را به‌دست می‌آوریم.
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی صورتی را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[1,\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2},2,\sqrt{5}.\]
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی سبز را نیز از کوچک به‌بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[2, 2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2},4,2\sqrt{5}.\]
می‌توان اضلاع این دو شش‌ضلعی را طوری دوبه‌دو نظیر کرد که نسبت اضلاع نظیر شده، برابر باشند:
\[\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.\]

ب) یک $n$ضلعیِ محدب در نظر بگیرید و یکی از رأس آن را $A$ بنامید. رأس $A$ به دو رأس دیگر متصل است؛ این دو رأس را $B$ و $C$ بنامید. فرض کنید این $n$ضلعی محدب طوری رسم شده باشد که اگر $A$ را نسبت به قطر $BC$ قرینه کنیم نقطهٔ حاصل درون $n$ضلعی باشد. قرینهٔ $A$ نسبت به $BC$ را $A'$ می‌نامیم. اگر از $n$ضلعی محدب رأس $A$ را حذف کنیم و به‌جای آن رأس $A'$ را اضافه کنیم، یک $n$ضلعی مقعر به‌دست می‌آید. این $n$ضلعی مقعر و $n$ضلعیِ محدبی که در ابتدا رسم کردیم، شرایط مسئله را دارند ولی متشابه نیستند. برای مثال، شکل‌ زیر را ببینید.

اگر فرض کنیم که نوار کاغذی مستطیل است، آن‌وقت بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، زاویه‌های آبی‌رنگ شکل زیر، برابرند.

حالا اگر از روی خط مورب، نوار کاغذی را تا بزنیم، مثلث شکل زیر، دو زاویهٔ برابر دارد.

پس بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، مثلث ایجاد شده، متساوی‌الساقین است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است. (دقت کنید که فقط در صورتی مثلث ایجاد شده متساوی‌الاضلاع است که خط مورب با نوار کاغذی زاویهٔ \(60\) درجه بسازد.)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

می‌دانیم قطر مکعبی به یال \(x\) برابر با \(\sqrt{3}x\) است. (چرا؟)

\[\begin{aligned}&-33\times\big|3^2-10.\overline{72}\big|\\&=-33\times\big|9-(10+0.\overline{72})\big|\\&=-33\times\Big|9-10-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-1-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{171}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{57}{33}\Big|\\&=-33\times\frac{57}{33}\\&=-57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

توجه کنید که در عبارتِ
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]
علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$ مشخص نشده است؛ ابتدا باید علامت این کسر را معلوم کنیم.
در عبارت داده شده علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$، منفی است. (چرا؟)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.