آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

چون \(AD\) و \(BC\) ضلع‌های مقابل مستطیل هستند، پس \(AD=BC\). بنابراین، نسبت مساحت مثلث \(ADM\) به \(BCM\) برابر است با:
\[\frac{\frac{1}{2}AD\times DM}{\frac{1}{2}BC\times CM}=\frac{DM}{CM}.\]

برای سادگی،‌ قرار می‌دهیم \(AB=2x\). در ادامه، طول \(DM\) و \(BM\) را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم.

به‌سادگی می‌توانیم اندازهٔ زاویه‌های مثلث‌های \(ADM\) و \(BCM\) را به‌دست آوریم:

بنابراین، \(BM=x\) و \(AM=\sqrt{3}\,x\). (چرا؟)

در نتیجه، \(CM=\frac{1}{2}x\) و \(DM=\frac{3}{2}x\).

پس:\[\frac{DM}{CM}=\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{1}{2}x}=3.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

ضلع‌ \(a\) نمی‌تواند با ضلع \(b\) متناظر باشد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

چون \[\frac{2039}{1650}=1.2357575757...=1.23\overline{57}\] پس رقم‌های بعد از ممیز، از رقم سوم به بعد، یکی‌در‌میان \(5\) و \(7\) هستند. پس \(26\)اُمین رقم بعد از ممیز \(7\) است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

می‌دانیم \(a-b\) یک عدد صحیح و \(a+b\) عددی گویا و غیرصحیح است. از طرفی، واضح است که مجموع یک عدد صحیح و یک عدد گویای غیرصحیح، یک عدد گویای غیر صحیح است. پس:
\[(a-b)+(a+b)=2a\] یک عدد گویای غیرصحیح است. در نتیجه:
\[a\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z}).\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
حال، باید نشان دهیم که گزینه‌های دیگر نادرست هستند تا مطمئن شویم که این سؤال درست است.
\(\bullet\) در راه‌حل بالا، نشان دادیم که \(2a\) یک عدد گویای غیرصحیح است. پس، گزینهٔ ۱ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۲ درست باشد، آنگاه از \((a-b)\in\mathbb{Z}\) نتیجه می‌شود که \(a\) نیز یک عدد صحیح است. پس \(a+b\) نیز عددی صحیح می‌شود که با فرض مسئله در تناقض است. پس گزینهٔ ۲ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۴ درست باشد، آنگاه \(a+b=0\) که این با فرض \((a+b)\in (\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\) در تناقض است. پس گزینهٔ‌ ۴ نیز نادرست است.

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\sqrt{x^2}+\sqrt{(x+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{\sqrt{3}^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

\[\frac{x}{1+\dfrac{1}{1+\frac{x}{2}}}=\frac{2}{5}x.\]
(چرا؟)

گزینهٔ ۲ صحیح است.
طبق تعریف کسری که صورت و مخرج آن یک چندجمله‌ای باشد، گویا است. بین عبارت‌های داده شده فقط صورت و مخرج، $\dfrac{5\sqrt{7}}{a}$ و $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a-3b}$ چندجمله‌ای هستند.