آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

اگر برای سادگی قرار دهیم \(\widehat{B}=x\)، آن‌وقت می‌توان اندازهٔ هریک زاویه‌های دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) را برحسب \(x\) نوشت:

(چرا؟)

بنابراین، چون مثلث \(AEF\) متساوی‌الاضلاع است، پس دو زاویهٔ \(CEF\) و \(CFE\) برابرند.

(چرا؟)

(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزارهٔ اول درست است.
گزارهٔ دوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab-a^2}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(b-a)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(-1)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)}{a},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)b}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{ab+b^2}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a^2+ab}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a(a+b)}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a+b}{b}.\quad(a\ne b,\,a\ne0)\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

چون اعداد دورقمی را با \(M\) و اعداد زوج را با \(A\) نشان داده‌ایم، پس مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی برابر است با: \(M-A\).
چون مضارب طبیعی \(3\) را با \(B\) و مضارب طبیعی \(5\) را با \(C\) نشان‌ داده‌ایم، پس مجموعهٔ مضارب طبیعی \(15\) برابر است با: \(B\cap C\).
در نتیجه، مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی که مضرب \(15\) نیستند برابر است با: \((M-A)-(B\cap C)\) و نمودار گزینهٔ ۲ نشان‌دهندهٔ این مجموعه است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر به چنین مسائلی مسلط نیستید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی را بخوانید.

مسئله‌ٔ مشابه

سؤال ۴۱ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (فروردین ۹۷)

گزارهٔ اول نادرست است. برای مثال، عددِ \[0.333333\dots=0.\overline{3}=\frac{1}{3}\]
یک عدد اعشاری غیرمختوم است، ولی گنگ نیست.

گزارهٔ‌ دوم درست است. برای مثال، حاصل‌جمع دو عدد گنگ مثبت \(2-\sqrt{2}\) و \(2+\sqrt{2}\) گنگ نیست: \[(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})=4.\]

گزارهٔ سوم نادرست است. برای مثال، اگر \(a=2\) و \(b=8\)، آن‌وقت مساحت مستطیلی به ابعاد \(\sqrt{a}\) و \(\sqrt{b}\)، عددی اصم نیست: \[\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4.\]

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۱ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۲ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۳ مجموعهٔ تهی را معرفی نمی‌کند.

چرا؟

گزینهٔ ۴ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}\big(1-\sqrt{2}\,\big)^{-2}&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\times\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}\right)^2\\&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{-1}\right)^2\\[7pt]&=\frac{\big(1+\sqrt{2}\,\big)^2}{(-1)^2}\\[7pt]&=\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1}\\[7pt]&=3+2\sqrt{2}.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

می‌دانیم که مجموع عدد سه‌رقمی \(\overline{abc}\) و \(9\) برابر مقلوب آن، زوج است؛ یعنی حاصل عبارت
\[\begin{aligned}&\overline{abc}+9\overline{cba}\\&=(100a+10b+c)+9(100c+10b+a)\\&=100a+10b+c+900c+90b+9a\end{aligned}\]
زوج است. پس \(c+9a\) باید زوج باشد. واضح است که \(c+9a\) وقتی زوج است که \(a\) و \(c\) یا هر دو زوج باشند، یا هر دو فرد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.