برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
مثال ۱. در زیر، تساوی قسمت «الف» چه تفاوتی با تساوی قسمت «ب» دارد؟
الف) \(10(y+1)=10y+10\)
ب) \(10(y+1)=10\)
تعریف اتحاد
اگر دو عبارت جبری به‌گونه‌ای باشند که به‌ازای هر مقدار برای متغیرهایشان حاصل یکسانی داشته باشند، برابری جبری حاصل از آنها را اتحاد می‌نامند.
مثال ۲. با ذکر دلیل مشخص کنید که کدام تساوی‌ها اتحاد هستند.
الف) \(9(2x+7)-3x=3(5x+21)\)
ب) \(5x+7=2x\)
مثال ۳. کدام تساوی‌ها اتحاد هستند؟ چرا؟
الف) \(x=2x-x\)
ب) \((2x-3)^2=4x^2-12x-9\)
ج) \((2x+3)(x-4)-x=x^2+(x+1)(x-1)-6x-12\)
د) \(x^2(x+1)-xy=x(x^2+x-y)\)
زنگ تفریح
اگر سؤال یا ایرادی دارید، آن را در بخش دیدگاه‌های زیر بنویسید.
برای اینکه به مطالب این جلسه مسلط شوید، باید تمرینهای بیشتری حل کنید. برای مشاهدهٔ تمرینهای بیشتر، روی لینک زیر کلیک کنید.
سلام من توی آزمون پایش از این روش برای فهمیدن اتحاد بودن یا نبودن استفاده کردم اما شاید مسخره بیاد ولی میگم، اگه موردی بود شما بفرمایید:
من در آزمون پایش بخاطر وقت کم 3 تا عدد برای تست اتحاد بودن قرار دادم (2، 0، 2-) ولی فک کنم با قرار دادن این اعداد ها به صورت قطعی میشه گفت که یه معادله اتحاد هست یا نه: (27، 26، 3، 2، 0، 2-، 3-، 26-، 27-).
چرا؟
عدد های مثبت یه همچین ترتیبی از چپ به راست دارن: مرکب فرد، مرکب زوج، عدد اول فرد، عدد اول زوج
عدد صفر که در حالت های استثنا کاربرد داره و مهم ترین عدد ریاضی هست
عدد های منفی هم همون منفی شده عدد های مرکب هستن البته توی بخش عدد اول بودن یکم مشکل هست
طور کلی یه همچین ایده ای دارم برای تشخیص اتحاد بودن یا نبودن (بیشتر روش تستی هست تا روش دقیق)
سلام
میشه گفت هر معادله ای بی نهایت جواب داشته باشه
حتما اتحاده ؟
سلام
خیر!
دو عبارت جبری یک اتحاد تشکیل می‌دهند وقتی که برای هر مقداری که به‌جای متغیرها می‌گذاریم، برابر شوند.
مثلاً \(2x=\frac{2x^2}{x}\) معادله‌ای است که بی‌نهایت جواب دارد؛ ولی اتحاد نیست. چون به‌ازای \(x=0\) عبارت \(2x\) و \(\frac{2x^2}{x}\) برابر نمی‌شوند.
سلام و عرض خسته نباشید
ببخشید در قسمت الف مثال ۲، در صورت سوال نوشته شده که عبارت جبری اول برابر میشه با (5x + 21)3 اما در راه‌حل نوشته شده 15x-63 و بعدش هم رسیده به (5x-21)3؛ در صورتی که در صورت سوال نوشته شده (5x +21)3
الان در نوشتن راه‌حل اشتباهی رخ داده یا من دارم اشتباه می‌کنم؟
سلام
در تایپ علامت مثبت و منفی اشتباه رخ داده بود که اصلاح شد.
با سپاس فراوان از شما که تذکر دادید.
سلام ! من خودم برای این تمرین هایی که اینجا در درسنامه نوشتین روشی که استفاده کردم برای اینکه بفهمم اتحاد هست یا نه این بود که ببینم آیا به یک عبارت جبری یکسان در دو طرف می رسیم یا نه ! اگر نمی رسیدم نتیجه می گرفتم اتحاد نیست و البته برای تایید این حدس میتونستیم عدد دلخواهی رو قرار بدیم
مثلا در مثال دو قسمت ب تنها مقداری که معادله رو برقرار می کرد 7/3- بود ( منفی 7 تقسیم بر 3 ) و برای همین هر عددی به جز این مثال نقض هست مثلا 1 و 2 و رادیکال 2 و …
یا در مثال 3 قسمت ب وقتی حل می کردیم می دیدیم دو طرف معادله میشه 9=9- یعنی 18=0 و این غیر منطقی بود پس اصلا جوابی وجود نداشت که این معادله رو برقرار کنه!
یا در مثال 3 قسمت ج بدست می اومد 0= 1- و این باز هم غیر منطقیه پس هیچ جوابی نداره !
یعنی به طور کلی بهتره اول از نظر جبری حل کنیم و ببینیم آیا دو طرف معادله یک چیز وجود داره یا نه ! و بعد هم میتونیم عددی رو بگذاریم که اثبات بشه ( اگر میخواهیم اثبات کنیم که اتحاد نیست ) برای اثبات اتحاد کردن فقط باید به شکل جبری اثباتش کنیم و تمام !
سلام
از نظر منطقی پاسخ شما کامل نیست. در پایان باز هم باید یک مثال بیاورید.
با توجه به تعریف اتحاد، وقتی دو عبارت تشکیل اتحاد نمی‌دهند که حداقل یک مقدار برای متغیرهایشان وجود داشته باشد که آن دو برابر نشوند. بنابراین، باید یک مثال بیاورید که نابرابری دو عبارت جبری را نشان دهد.
سلام! منظور من از این حرف این بود که وقتی می بینیم یک معادله به ازاء هیچ مقداری صدق نمیشه دیگه متوجه میشیم هر مثالی بزنیم باز هم اشتباه در میاد ! یا مثلا معادله ای که فقط یک یا دو یا تعداد متناهی جواب داره باز هم میتونیم یک عدد به جز اونا مثال بزنیم ( بی شمار عدد داریم و وقتی تعداد متناهی رو نتونیم انتخاب کنیم باز هم بی شمار انتخاب هستش )
یعنی برای اتحاد حتما باید مثال نقض زد ؟ آیا استدلال های منطقی به تنهایی کافی نیست ؟
سلام
خیر! آیا مطمئن هستید که اگر قیافهٔ دو عبارت جبری شبیه هم نباشد، حاصل آنها برای همهٔ مثال‌ها نابرابر است؟! اینکه می‌گویید بی‌شمار مثال وجود دارد، باید بتوانید حداقل یکی از آنها را بنویسید. همان یکی را که بنویسید، یعنی اثبات شما برای اینکه بگویید دو عبارت مورد نظر تشکیل اتحاد نمی‌دهند کافی است. در واقع، وقتی عبارت‌ها را ساده می‌کنید و قیافه‌شان شبیه نمیشود، خیالتان راحت است که به‌سادگی می‌توانید یک مثال نقض پیدا کنید.
آوردن مثال نقض یکی از اجزاء «استدلال‌های منطقی» و بیرون از آن نیست.
منطق ریاضی برای اثبات درستی یا نادرستی یک گزاره به‌صورت زیر است:
\(\bullet\) گزاره داده شده وقتی درست است که برای همهٔ حالت‌های ممکن درست باشد.
\(\bullet\) گزارهٔ داده شده وقتی نادرست است که حداقل برای یک مقدار یا یک مثال (مثال نقض) نادرست باشد.
حتماً کوتاهترین مقالهٔ ریاضیات را بخوانید.
سلام! بله این قسمت رو متوجه شدم ولی اینطوری برای اثبات اینکه اتحاد هست که دیگه نمیتونیم همه اعداد رو مثال بزنیم ! پس برای اثبات اتحاد بودن فقط همون قیافه کافیه ؟ چون برای اتحاد نبودن فقط یه مثال میخواد ولی اتحاد بودن همه اعداد رو باید مثال بزنیم اونطوری که عملا نمیشه ! پس برای اتحاد همون برابری جبری کافیه ؟
سلام
برای اتحاد بودن باید روشی را پیدا کنید که بدون اینکه همهٔ حالت‌ها را مثال بزنید، نشان دهید که برای همهٔ مثال‌ها درست است.
و در همه‌جای ریاضی اثبات گزاره‌ها همینطور است. مثلاً وقتی می‌خواهد نشان دهید که حاصل‌جمع دو عدد زوج همواره زوج است، همهٔ اعداد را مثال نمی‌زنید؛ بلکه با روشی نشان می‌دهید که این گزاره برای همهٔ اعداد زوج درست است. اما وقتی می‌خواهید ثابت کنید که برای عدد طبیعی \(n\)، حاصل عبارت \(n^2+n+41\) عددی اول نیست، کافی است که فقط یک مثال بیاورید.
در هندسه هم همینطور است. وقتی می‌خواهید نشان دهید که دو مثلث در حالت ززض همنهشت‌اند، همهٔ مثلث‌ها را مثال نمی‌زنید. بلکه با روشی نشان می‌دهید که این قضیه برای همهٔ مثلث‌ها برقرار است. اما وقتی می‌خواهید ثابت کنید که دو مثلث در حالت ض‌ض‌ز لزوماً همنهشت نیستند، کافی است فقط یک مثال بیاورید که در آن دو ضلع و زاویهٔ غیر بین مثلثی با اجزاء متناظرش در مثلث دیگر برابر باشد، ولی این دو مثلث همنهشت نباشند.
بسیار ممنونم 🙂