تست آزمون شبیه‌ساز نهم

ضلع چهارم چهارضلعی اول را با \(x\) و ضلع چهارم چهارضلعی دوم را با \(y\) نمایش می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&{\color{blue}2},{\color{red}3},{\color{green}4},{\color{brown}x}\\&{\color{blue}4},{\color{brown}5},{\color{red}6},{\color{green}y}.\end{aligned}\]
با توجه به اندازهٔ اضلاع این دو چهارضلعی، نسبت تشابه برابر \(2\) است.
چرا؟

بنابراین: \[\frac{y}{4}=2\Rightarrow y=8.\] پس، محیط چهارضلعی بزرگ‌تر برابر است با:\[4+5+6+8=23.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

تعریف چندضلعی محدب. یک چندضلعی محدب است اگر هر پاره‌خطی که دو نقطهٔ دلخواه درون آن چندضلعی را به‌هم وصل می‌کند، به‌طور کامل درون آن چندضلعی قرار بگیرد.
با توجه به تعریف چندضلعی محدب، استدلال نرگس درست و استدلال‌های مهدیه و مریم نادرست است.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۴۲ و ۴۳ کتاب ریاضی نهم

از تعریف همنهشتی و تعریف تشابه نتیجه می‌شود که دو شکل همنهشت، دو شکل متشابه با نسبت تشابه \(1\) هستند. پس گزارهٔ اول درست است.

شکل‌های زیر، دو مثلث قائم‌الزاویهٔ متشابه با نسبت تشابه \(2\) هستند.

این دو مثلث یک ضلع برابر دارند ولی واضح است که همنهشت نیستند. پس گزارهٔ دوم نادرست است.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

اثبات گزینهٔ ۱ را می‌توانید در اینجا ببینید.

پاسخ تشریحی

این مسئله، در واقع تمرین ۳ صفحهٔ ۵۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.
اندازهٔ زاویه‌های $B$ و $C$ نمی‌تواند بیش از \(180\) درجه باشد.
چرا؟

اگر اندازهٔ یکی زاویه‌های $B$ یا $C$ بیش از \(180\) درجه باشد، آنگاه یکی از دو مثلث $ABD$ یا $ADC$ درون مثلث دیگر قرار می‌گیرد! (یکی از چهار حالت زیر اتفاق می‌افتد.) که دراین‌صورت فرض مسئله برقرار نیست.

بنابراین دو حالت وجود دارد:
حالت اول. اندازهٔ زاویهٔ $A$ بیشتر از \(180\) درجه باشد.

حالت دوم. اندازهٔ زاویهٔ $D$ بیشتر از \(180\) درجه باشد.

در هر دو حالت بالا، چون بنابه فرض مسئله دو مثلث $ABD$ و $ADC$ هم‌نهشت‌اند و ضلع $AD$ در این دو مثلث مشترک است، پس داریم:
\[A\widehat{C}D=A\widehat{B}D.\quad (1)\]
اکنون در هریک از حالت‌های بالا، ضلع‌ها و زاویه‌های متناظر دیگر را پیدا می‌کنیم.

حالت اول. زاویهٔ $BAD$ (از مثلث $BAD$) یا با زاویهٔ $ADC$ برابر است یا با زاویهٔ $CAD$. زاویهٔ $BAD$ نمی‌تواند با زاویهٔ $ADC$ برابر باشد.
چرا؟

بنابراین $B\widehat{A}D=C\widehat{A}D$ و در نتیجه $A\widehat{D}B=A\widehat{D}C$. پس
\[BD=CD\quad (2)\]
و
\[AC=AB.\quad(3)\]

برای رسم شکلی که شرایط بالا را داشته باشد، کافی است مثلث مختلف‌الاضلاع $ACD$ با زاویهٔ منفرجه $A$ را رسم کنیم و آن را نسبت به خط $AD$ بازتاب دهیم و نقطهٔ جدید را $B$ بنامیم. اکنون چهارضلعی $ABCD$ شرایط گفته شده در مسئله را دارد و روابط به‌دست آمده در بالا، در آن برقرار است.

حالت دوم نیز مشابه حالت اول است. پس قبل از اینکه ادامهٔ متن را بخوانید، سعی کنید خودتان حالت دوم را حل کنید!

حالت دوم. زاویهٔ $ADC$ (از مثلث $ADC$) یا با زاویهٔ $BAD$ برابر است یا با زاویهٔ $ADB$. زاویهٔ $ADC$ نمی‌تواند با زاویهٔ $BAD$ برابر باشد.
چرا؟

بنابراین $A\widehat{D}C=A\widehat{D}B$ و در نتیجه $C\widehat{A}D=B\widehat{A}D$. پس
\[AC=AB\quad(3)\]
و
\[CD=BD. \quad (2)\]

برای رسم شکلی که شرایط بالا را داشته باشد، کافی است مثلث مختلف‌الاضلاع $ADB$ با زاویهٔ منفرجه $D$ را رسم کنیم و آن را نسبت به خط $AD$ بازتاب دهیم و نقطهٔ جدید را $C$ بنامیم. اکنون چهارضلعی $ABCD$ شرایط گفته شده در مسئله را دارد و روابط به‌دست آمده در بالا، در آن برقرار است.

اکنون درستی یا نادرستی هریک از گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم.
گزینهٔ ۱. همان‌طور که می‌بینید، در هر دو حالت بالا، داریم: \(A\widehat{D}C=B\widehat{D}A\).
گزینهٔ ۲. نادرست است. هریک از شکل‌های حالت اول یا دوم بالا، می‌توانند مثال نقضی برای این قسمت باشند.
گزینهٔ ۳. درست است. چون بنابه رابطهٔ $(3)$، در هر دو حالتِ بالا داریم $AB=AC$، پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین $A\widehat{B}C=A\widehat{C}B$.
گزینهٔ ۴. درست است. بنابه رابطهٔ $(2)$، در هر دو حالت بالا داریم $BD=CD$.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم
تمرین ۲ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم
تمرین ۴ صفحهٔ ۵۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

می‌توان مثالی زد که جمع دو مثلث متساوی‌الساقین، متساوی‌الساقین باشد:
مثلث اول به ضلع‌های $3$، $3$، و $5$، و مثلث دوم به‌ ضلع‌های $3$، $3$، و $4$. حاصل‌جمع این دو مثلث، یک مثلث متساوی‌الساقین به ضلع‌های $6$، $6$، و $9$ است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ نادرست است.

می‌توان مثالی زد که جمع دو مثلث متساوی‌الساقین، متساوی‌الساقین نباشد:
مثلث اول به ضلع‌های $3$، $3$، و $5$، و مثلث دوم به‌ ضلع‌های $7$، $7$، و $5$. حاصل‌جمع این دو مثلث، مثلثی  به ضلع‌های $8$، $10$، و $12$ است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ نادرست است.

برای هر مثلث، می‌دانیم که حاصل‌جمع هر دو ضلع، از ضلع سوم بزرگ‌تر است. بنابراین، برای دو مثلث به اضلاع $a\leq b\leq c$ و $a'\leq b'\leq c'$ داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}a+b&>c\\a'+b'&>c'\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(a+a')+(b+b')> (c+c')\\\left.\begin{aligned}a+c&>b\\a'+c'&>b'\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(a+a')+(c+c')>(b+b')\\\left.\begin{aligned}b+c&>a\\b'+c'&>a'\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(b+b')+(c+c')>(a+a').\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۴ نادرست است.
 
بنابراین، گزینه ۱ درست است.

با دو بار دوران می‌توان پاره‌خط $ab$ را به پاره‌خط $cd$ منتقل کنیم به‌گونه‌ای که نقطهٔ $a$ روی $c$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $d$ منتقل شود.

محل برخورد پاره‌خط‌های $ad$ و $bc$ را $M$ می‌نامیم.

ابتدا $ab$ را $180$ درجه حول نقطهٔ $M$ دوران می‌دهیم. پس از این دوران، نقطهٔ $a$ روی نقطهٔ $d$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $c$ می‌افتد. (چرا؟)

سپس، پاره‌خط دوران یافته را $180$ درجه حول نقطهٔ وسط $cd$ دوران می‌دهیم. دراین‌صورت نقطهٔ $a$ روی نقطهٔ $c$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $d$ می‌افتد.

از طرفی، واضح است که با یک بار دوران نمی‌توان پاره‌خط $ab$ را به پاره‌خط $cd$ منتقل کنیم به‌گونه‌ای که نقطهٔ $a$ روی $c$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $d$ منتقل شود. بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

دوتا. (چگونه؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. یک $n$-ضلعی منتظم داده شده است. چند تا چندضلعی منتظم درون این $n$-ضلعی منتظم می‌توان رسم کرد که همهٔ رأس‌های هریک از آنها روی رأس‌های $n$-ضلعی منتظم داده شده باشند؟
 

دقت کنید که لاک‌پشت در هر گوشهٔ چندضلعی، به‌اندازهٔ زاویهٔ خارجی آن رأس می‌چرخد.

از طرفی، می‌دانیم مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی محدب برابر \(360\) درجه است. (چرا؟)

زاویهٔ مکمل زاویهٔ \(115\) درجه برابر \(65\) درجه است. چون می‌دانیم شکل داده شده یک کاشی‌کاری است، پس کاشی‌های زرد همنهشت‌اند. در نتیجه، مثلثی که از چسبیدن مثلث سبز به ذوزنقهٔ سفید حاصل می‌شود، یک مثلث متساوی‌الساقین است. بنابراین، اندازهٔ زاویهٔ مثلث سبز که با علامت سؤال مشخص شده، برابر است با: \[180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ.\]
از طرفی، واضح است که اندازهٔ زاویهٔ دیگری که با علامت سؤال مشخص شده، برابر \(65\) درجه است.

پس مجموع دو زاویه‌‌ای که با علامت سؤال مشخص شده‌اند، برابر است با: \[65^\circ+50^\circ=115^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اندازهٔ هریک از زاویه‌های نُه‌ضلعی منتظم داده شده برابر است با:
\[\frac{(9-2)\times180^\circ}{9}=\frac{7\times180^\circ}{9}=140^\circ.\]
بنابراین، می‌توان اندازهٔ چهار زاویهٔ چهارضلعی زردرنگ شکل زیر را به‌دست آورد.

می‌دانیم که مجموع زاویه‌های هر چهارضلعی برابر \(360^\circ\) است(؟). پس اندازهٔ زاویه‌ای که با علامت سؤال مشخص شده، برابر است با:
\[360^\circ-40^\circ-220^\circ-40^\circ=60^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

نقاط تقاطع شکل را به‌‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

به‌سادگی اندازهٔ زاویه‌های \(NMP\) و \(RPQ\) به‌دست می‌آید(؟)
\(\bullet\) \(a\nparallel b\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(b\nparallel c\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(a\parallel c\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(f\parallel e\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

واضح است که پس از تا زدن، اندازهٔ زاویه‌های \(x\) و \(y\) تغییر نمی‌کند.

زاویهٔ \(\alpha\)، با یکی از زاویه‌های مثلث زرد‌رنگ بالا متقابل‌به‌رأس است. پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث داریم:
\[\begin{aligned}\alpha&=180^\circ-\big((180^\circ-2x)+(180^\circ-2y)\big)\\&=180^\circ-180^\circ+2x-180^\circ+2y\\&=2x+2y-180^\circ\\&=2(x+y-90^\circ).\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

ارتفاع \(BH\) را رسم ‌می‌کنیم.

در نتیجه، اختلاف مساحت ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین \(ABCD\) با مساحت مثلث \(BCD\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(AB+CD)\times BH-\frac{1}{2}CD\times BH\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times\big((AB+CD)-CD\big)\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times AB\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times4\\[7pt]&=2BH.\end{aligned}\]

حال باید طول \(BH\) را بیابیم.

\(BH=\sqrt{5}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

هریک از زاویه‌های هشت‌ضلعی منتظم برابر \(135\) درجه، و هر یک از زاویه‌های پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

همچنین، در شکل بالا داریم: \[B\widehat{A}C=135^\circ-90^\circ=45^\circ.\]
پس:
\[\beta+\gamma=135^\circ.\quad(2)\]

گزارهٔ اول درست است.
گزارهٔ دوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در شکل زیر، هریک از مثلث‌های زرد، آبی، و سبز، مثلث‌هایی قائم‌الزاویه هستند.

طول وتر مثلث‌های زرد، آبی، و سبز به‌ترتیب برابر \(\sqrt{2}\)، \(3\sqrt{2}\)،‌ و \(\sqrt{10}\) است. (چرا؟)

در نتیجه، محیط شکل صورتی برابر است با:
\[\begin{aligned}&4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}\\&=7\sqrt{2}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(\bullet\) هر دو مربع متشابه هستند. زیرا، زاویه‌های آنها برابر است و ضلع‌ها به یک نسبت بزرگ یا کوچک می‌شوند.
\(\bullet\) هر دو لوزی متشابه نیستند. برای مثال، یک لوزی که هر چهار زاویه‌ٔ آن قائمه است با لوزی دیگری که دو زاویهٔ \(30\) درجه و دو زاویهٔ \(60\) درجه دارد، متشابه نیستند.
\(\bullet\) هر دو مستطیل متشابه نیستند. برای مثال، یک مستطیل با طول و عرض \(2\) و \(1\)، با مستطیل دیگری با طول و عرض \(3\) و \(1\) متشابه نیست.
\(\bullet\) هر دو متوازی‌الاضلاع متشابه نیستند. به‌عنوان مثال نقض، می‌توان مثالی را که برای لوزی‌ها (یا مثالی را که برای مستطیل‌ها) نوشته شد، در نظر گرفت.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

می‌دانیم \(AB\parallel DG\) و ضلع ‌\(BC\) این دو خط موازی را قطع کرده است. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، داریم: \[\widehat{B}=D\widehat{G}C=60^\circ.\quad(1)\]

پس می‌توان ثابت کرد:
\[DG=CE.\quad(2)\] (چگونه؟)

پاره‌خط \(DG\) را از طرف \(D\) امتداد می‌دهیم تا ضلع \(AC\) را در نقطهٔ \(M\) قطع کند. در این‌صورت:
\[DF=AM.\quad(3)\]
(چرا؟)

\(AC=5\). (چرا؟)

به‌سادگی می‌توانیم طول \(BH\) را بیابیم. (چگونه؟)

اگر فرض کنیم که نوار کاغذی مستطیل است، آن‌وقت بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، زاویه‌های آبی‌رنگ شکل زیر، برابرند.

حالا اگر از روی خط مورب، نوار کاغذی را تا بزنیم، مثلث شکل زیر، دو زاویهٔ برابر دارد.

پس بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، مثلث ایجاد شده، متساوی‌الساقین است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است. (دقت کنید که فقط در صورتی مثلث ایجاد شده متساوی‌الاضلاع است که خط مورب با نوار کاغذی زاویهٔ \(60\) درجه بسازد.)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[A\widehat{O}C=A\widehat{C}O=15^\circ.\quad(1)\]
(چرا؟)

پس:
\[B\widehat{O}D=45^\circ.\]
(چرا؟)

دو مثلث \(AMN\) و \(ABC\) متشابه‌اند. (چرا؟)

حال، از قضیهٔ فیثاغورس نتیجه می‌شود که \(BN=\sqrt{97}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

قطرهای هر مستطیل آن را به چهار مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند. (چرا؟)

در نتیجه، مساحت قسمت تیره \(\frac{1}{4}\) مساحت کل است؛ یعنی مساحت قسمت تیره برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{4}\times16\times5=20.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. در مستطیل \(ABCD\) قطرهای \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(O\) قطع کرده‌اند. آیا چهار مثلث \(ABO\)، \(BCO\)، \(CDO\)، و \(ADO\) همنهشت‌اند؟

در متوازی‌الاضلاع زاویه‌های روبه‌رو برابرند(؟). پس: \[\widehat{A}=\widehat{C}=50^\circ.\quad(1)\]

\(BC'\) بر \(BC\) عمود است. (چرا؟)

حال با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توانیم اندازهٔ زاویهٔ \(C'CD\) را به‌دست آوریم:
\[\begin{aligned}C'\widehat{C}D&=\widehat{C}+B\widehat{C}C'\\&=50^\circ+45^\circ\\&=95^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

از قضیهٔ خطوط موازی و مورب نتیجه می‌شود که زاویهٔ \(x\)، مکمل زاویهٔ \(110^\circ\) است. پس \[\begin{aligned}&x+110^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow x=70^\circ.\end{aligned}\]

مطابق شکل زیر، یکی از ضلع‌های زاویهٔ \(y\) را امتداد می‌دهیم تا خط افقی پایین را در نقطهٔ‌ \(A\) قطع کند.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، اندازهٔ زاویهٔ \(A\) برابر \(80\) درجه است. پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(ABC\)) داریم:
\[\begin{aligned}A\widehat{C}B&=180^\circ-70^\circ-80^\circ\\&=30^\circ.\end{aligned}\]
در نتیجه روی خط \(AC\) داریم:
\[\begin{aligned}&30^\circ+90^\circ+y=180^\circ\\&\Rightarrow y=180^\circ-120^\circ\\&\Rightarrow y=60^\circ.\end{aligned}\]

پس:
\[x+y=70^\circ+60^\circ=130^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

باتوجه به فرض مسئله، و برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}AD&=x\\CD&=2x\\AB&=4x.\end{aligned}\]

از نقطهٔ \(C\) خطی موازی با \(AD\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(E\) می‌نامیم. چهارضلعی \(AECD\) متوازی‌الاضلاع است(؟).
چون در متوازی‌الاضلاع، ضلع‌های روبه‌رو برابرند، پس داریم: \(AE=CD=2x\). از طرفی، چون \(AB=4x\)، پس
\[\begin{aligned}BE&=AB-AE\\&=4x-2x\\&=2x.\end{aligned}\]

حال اگر وسط پاره‌خط \(BE\) را \(F\) بنامیم، مثلث \(CEF\) متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

چون \(AD\) و \(EC\) موازی‌اند و \(AB\) این دو خط موازی را قطع کرده است، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب و فرض مسئله (\(\widehat{A}=60^\circ\)) داریم:
\[C\widehat{E}B=\widehat{A}=60^\circ.\]
چون \(F\) وسط پاره‌خط \(BE\) است و \(BE=2x\)، پس \(EF=BF=x\). از طرفی، می‌دانیم \(CE=x\). در نتیجه، مثلث \(CEF\) یک مثلث متساوی‌الساقین است که یکی از زاویه‌هایش \(60^\circ\) است.

بنابراین، از قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث نتیجه می‌شود که دو زاویهٔ دیگر این مثلث نیز \(60^\circ\) است و در نتیجه مثلث \(CEF\) متساوی‌الاضلاع است.

در نتیجه:
\[CE=EF=CF=BF=x.\]

پس، \(\widehat{B}=30^\circ\). (چرا؟)

بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین (در مثلث \(BCF\)) داریم: \[\widehat{B}=B\widehat{C}F.\quad(1)\] از طرفی، بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(BCF\)) داریم:
\[\widehat{B}+B\widehat{C}F=C\widehat{F}E=60^\circ.\quad(2)\]
حال از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\widehat{B}=B\widehat{C}F=30^\circ.\]

می‌توان ثابت کرد: \[B\widehat{M}D=C\widehat{N}D.\quad (1)\] (چگونه؟)

گزارهٔ اول درست است. (چرا؟)

گزارهٔ دوم درست است. (چرا؟)

گزارهٔ سوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

می‌دانیم هریک از زاویه‌های یک \(n\)ضلعی منتظم از رابطهٔ \(\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}\) به‌دست می‌آید. (نوشتهٔ «دربارهٔ زاویه‌های یک \(n\)ضلعی محدب» را بخوانید.) بنابراین اندازهٔ هریک از زاویه‌های شش‌ضلعی منتظم برابر است با:
\[\frac{(6-2)\times180^\circ}{6}=4\times30^\circ=120^\circ.\]
در نتیجه، \(2y=120^\circ\). از طرفی، \(x=30^\circ\). (چرا؟)

ضلع‌ \(a\) نمی‌تواند با ضلع \(b\) متناظر باشد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

قطر مستطیل‌های با ابعاد \(a\times b\) و \(c\times d\) به‌ترتیب برابرند با \(\sqrt{a^2+b^2}\) و \(\sqrt{c^2+d^2}\). (چرا؟)

یکی از ضلع‌های زاویهٔ با اندازهٔ $b$ را مانند شکل زیر امتداد می‌دهیم؛ در نتیجه زاویهٔ با اندازهٔ $c$ به دو قسمت تقسیم می‌شود؛ اندازهٔ یکی از این دو قسمت ۱۸۰ درجه و اندازهٔ قسمت دیگر $c-180^\circ$ می‌شود.

بنابه فرض مسئله دو خط $d$ و $d'$ موازی‌اند. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب زاویه‌های صورتی‌رنگ شکل زیر باهم برابرند(؟).

اکنون در شکل زیر، ناحیهٔ زرد‌رنگ یک مثلث است.

در مثلث زردرنگ، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&a+b+(c-180^\circ)=180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=180^\circ+180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=360^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

باتوجه‌به قضیهٔ دندان کوسه، مجموع چهار زاویهٔ مشخص شده ۳۶۰ درجه است.

گزینهٔ ۱ درست است. یعنی اگر سه‌تا از زاویه‌های مشخص شده برحسب درجه مضرب ۴ باشند، آنگاه زاویهٔ چهارم برحسب درجه مضرب ۴ است. (چرا؟)

در شکل زیر، \(AC=29\). (چرا؟)

پس با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث \(ABC\) داریم:
\[\begin{aligned}&AB^2+BC^2=AC^2\\&\Rightarrow x^2+21^2=29^2\\&\Rightarrow x^2+441=841\\&\Rightarrow x^2=841-441\\&\Rightarrow x^2=400\\&\Rightarrow x=20.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مجموع زاویه‌های داخلی هر $n$ضلعی محدب برابر است با:
\[(n-2)\times 180^\circ.\]
(چرا؟)

در نتیجه، مجموع زاویه‌های خارجی هر $n$ضلعی محدب برابر $360$ درجه است. (چرا؟)

در نتیجه، یک $n$ ضلعی محدب حداکثر سه زاویهٔ تند دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

یک چندضلعی محدب، حداقل چند زاویهٔ تند دارد؟

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، در شکل زیر، زاویه‌های صورتی باهم برابرند. از طرفی، چون یکی از زاویه‌های صورتی مکمل زاویهٔ \(100\) درجه است،‌ پس زاویه‌های صورتی \(80\) درجه‌اند.

$B\widehat{A}C=20^\circ$. (چرا؟)

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، در شکل زیر، زاویه‌های سبز باهم برابرند و اندازهٔ هریک از آنها \(20\) درجه است(؟).

بنابراین، چون در هریک از مثلث‌های تیرهٔ شکل زیر، زاویه‌ٔ صورتی برابر \(80\) درجه و زاویهٔ سبز برابر \(20\) درجه است، پس زاویه‌های سیاهِ این مثلث‌ها \(80\) درجه هستند.

بنابراین مجموع زاویه‌های سیاهِ مشخص شده در شکلِ صورت مسئله، برابر است با:
\[\begin{aligned}&5\times 80^\circ+100^\circ\\&=400^\circ+100^\circ\\&=500^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

مطابق شکل زیر، ضلع زاویهٔ \(130\) درجه را امتداد می‌دهیم تا خط بالایی را قطع کند.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، زاویه‌های آبی‌رنگ شکل بالا برابرند. در نتیجه، \(x=80^\circ\). (چرا؟)

\[\widehat{B}=B\widehat{D}L\quad(*)\] (چرا؟)

بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، روی یک خط بودن سه نقطهٔ \(B\)، \(D\)، و \(E\)، و رابطهٔ \((*)\)، داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{B}+\widehat{A}+A\widehat{D}B=180^\circ\\&B\widehat{D}L+L\widehat{D}E=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}+A\widehat{D}B=L\widehat{D}E.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

راهنمای حل (۲)

\(\widehat{A}=A\widehat{D}C\). (چرا؟)

پس \(L\widehat{D}E=\widehat{A}+A\widehat{D}B\). (چرا؟)

چون \(b=c\)، پس بنابه عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، \(L_3\) و \(L_4\) موازی‌اند.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

\(\bullet\) عبارت «هر مثلثی که قائم‌الزاویه باشد، متساوی‌الاضلاع نیست» همواره درست است و نمی‌توان برای آن مثال نقض آورد.
چرا؟

\(\bullet\) عبارت «چهارضلعی‌ای که قطر‌هایش باهم برابر و برهم عمود باشند، مربع است» نادرست است و می‌توان برای آن مثال نقض آورد.
چرا؟

در چهارضلعی زیر، قطرها با هم برابر و برهم عمودند، ولی این چهارضلعی، مربع نیست.

\(\bullet\) عبارت «هر چهارضلعی که دو قطرش برابر باشند، مستطیل یا ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین است.» نادرست است و می‌توان برای آن مثال نقضی آورد.
چرا؟

در چهارضلعی زیر، قطرها باهم برابرند، ولی این چهارضلعی نه مستطیل است و نه ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین.

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

این مسئله، به‌همراه چهار راه‌حل متفاوت، در صفحه‌های ۵۷ و ۵۸ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.

گزینهٔ ۴ درست است.

فرض کنید در ذوزنقهٔ \(ABCD\) داشته باشیم \(BC=CD=DA=1\) و \(AB=2\).

در این‌صورت \(B\widehat{C}D=120^\circ\).

چرا؟

بنابراین، در مثلث \(BCD\) بنابه قضیهٔ مثلث متساوی الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}B+D\widehat{B}C+B\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow 2C\widehat{D}B+120^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow2C\widehat{D}B=60^\circ\\&\Rightarrow C\widehat{D}B=30^\circ.\end{aligned}\]

به طریقی مشابه، می‌توان ثابت کرد که \(D\widehat{C}A=30^\circ\). حال، اگر محل برخورد دو قطر ذوزنقه \(ABCD\) را \(O\) بنامیم، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(CDO\)) داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}O+D\widehat{O}C+O\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow30^\circ+D\widehat{O}C+30^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow60^\circ+D\widehat{O}C=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{O}C=120^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

قبل از خواندن راه‌حل این مسئله، راهنمای حل تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را دقیق بخوانید.

از محل ایستادن حسین، خطی موازی با خط دروازه رسم می‌کنیم (خط زرد در شکل زیر). فاصلهٔ همهٔ نقاط روی خط زرد از خط دروازه برابر ۵ متر است.(؟) از تیر دروازه خطی بر خط دروازه عمود کرده‌ایم؛ این عمود، خط زرد را در نقطهٔ $P$ قطع کرده است.

واضح است نقاطی از خط زرد که در سمت چپ نقطهٔ $P$ قرار دارند، جواب مسئله نیستند.(؟)

مسئله از ما چه می‌خواهد؟!

اگر ثابت کنیم که \(HK=HT\)، آن‌وقت چون \(SH+HK\) کوتاهترین فاصلهٔ بین \(S\) و \(K\) است، پس، \(SH+HT\) نیز کوتاهترین مسیر برای توپ در این مسئله است. (تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مثلث $STK$ قائم‌الزاویه است ($K\widehat{T}S=90^\circ$)، $KT=10$، و $ST=24$. (چرا؟)

در ادامه، برای پیدا کردن فاصلهٔ‌ حسین از سعید (طول $HS$)، ابتدا طول $KS$ را به‌دست می‌آوریم و سپس، ثابت می‌کنیم که طول $KS$ دوبرابر طول $HS$ است.

به‌سادگی می‌توان ثابت کرد: \[HK=HT.\quad(1)\] (چگونه؟)

اکنون با توجه به رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم: \[HS=HK\] یعنی طول \(KS\) دوبرابر طول \(HS\) است.

حال، با به‌کارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $STK$ داریم:
\[KS=26\quad (1)\]
(چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}HT=HS&=\frac{KS}{2}\\[7pt]&=\frac{26}{2}\\[7pt]&=13.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

ایرادهای فوتبالی مسئله!

عرض زمین فوتبال حداقل ۴۵ متر است.
فاصلهٔ حسین از خط دروازه ۵ متر است. پس باتوجه‌به ابعاد محوطهٔ دروازه‌بان (محوطهٔ ۶ قدم)،  جایگاه حسین در شکل، درست نیست.
طول دروازهٔ فوتبال ۷ متر و ۳۲ سانتی‌متر است.

برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ زمین فوتبال، اینجا را کلیک کنید.

این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راه‌حلی که در زیر نوشته‌ایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است. 

راهنمای حل

می‌خواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پاره‌خط سبزِ شکل زیر را به‌دست آوریم.

برای پیدا کردن طول پاره‌خط سبز، فقط به سه‌ دایره‌ نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکز‌های این سه دایره و محل برخورد آنها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در ادامهٔ راه‌حل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پاره‌خط به‌هم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره،‌ روی پاره‌خط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

بنابه فرض مسئله، شعاع دایره‌های کوچک برابر \(1\) است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع \(2\) است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، می‌دانیم در مثلث متساوی‌الاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبق‌اند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $\sqrt{3}$ است. (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

توجه کنید که در این مسئله، مشخص نیست که قطر \(AC\) چهارضلعی را به دو مثلث همنهشت تقسیم کرده است یا قطر \(BD\).

\(\bullet\) $‌B\widehat{A}D=B\widehat{C}D$ همواره درست نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم به‌ترتیب برابر \(108^\circ\) و \(120^\circ\) است. (چرا؟)

در شکل زیر، دو قطر \(PQ\) و \(MN\) را امتداد داده‌ایم تا یکدیگر را در نقطهٔ \(A\) قطع کنند. باید زاویهٔ \(NAP\) را محاسبه کنیم؛ برای این کار، اندازهٔ زاویه‌های مثلث \(ANP\) را به‌دست می‌آوریم.

اندازهٔ زاویهٔ \(APN\) برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{P}N+P\widehat{N}A+N\widehat{A}P=180^\circ\\&\Rightarrow108^\circ+60^\circ+N\widehat{P}A=180^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=180^\circ-168^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=12^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108^\circ\) است. (چرا؟)

چون در لوزی زاویه‌های مجاور مکمل‌اند(؟)، پس:
\[\beta=180^\circ-144^\circ=36^\circ.\]
از طرفی، چون در لوزی، زاویه‌های روبه‌رو برابرند(؟)، پس با توجه به شکل زیر، داریم:
\[\alpha=360^\circ-60^\circ-144^\circ-60^\circ=96^\circ.\]

در نتیجه، نسبت \(\alpha\) به \(\beta\) برابر است با:
\[\frac{96}{36}=\frac{8}{3}.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

در شکل زیر، زاویه‌های \(PBC\) و \(PCB\)، زاویه‌های خارجی هفت‌ضلعی منتظم \(ABCDEFG\) هستند. می‌خواهیم اندازهٔ زاویهٔ \(P\) را به‌دست آوریم.

می‌دانیم اندازهٔ هریک از زاویه‌های خارجی یک \(n\)ضلعی منتظم از رابطهٔ \(\frac{360^\circ}{n}\) به‌دست می‌آید. (چرا؟)

واضح است که مساحت مربعی که روی ضلع \(AB\) بنا می‌شود برابر \(a^2\) است.

مساحت مثلث \(ABD\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). (چرا؟)

در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است. (تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

بنابراین، در شکل بالا، مثلث‌های \(ABM\) و \(ACM\) متساوی‌الساقین هستند. اگر اندازهٔ زاویهٔ \(B\) را با \(b\)، و اندازهٔ زاویهٔ \(C\) را با \(c\) نمایش دهیم، آن‌وقت بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[C\widehat{A}M=c,\;B\widehat{A}M=b.\]
در نتیجه، \(c-b=40^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در شکل زیر، شعاع دایره و اضلاع شش‌ضلعی کوچک برابر \(1\) است(؟)؛ ضلع شش‌ضلعی بزرگ برابر \(y\)، \(OA=y\)، و \(AM=\frac{y}{2}\) (؟).

چون مثلث \(AOM\) قائم‌الزاویه است(؟)، پس بنابه قضیهٔ فیثاغورس \(y=\frac{2}{\sqrt{3}}\). (چرا؟)

چون \(AD\) و \(BC\) ضلع‌های مقابل مستطیل هستند، پس \(AD=BC\). بنابراین، نسبت مساحت مثلث \(ADM\) به \(BCM\) برابر است با:
\[\frac{\frac{1}{2}AD\times DM}{\frac{1}{2}BC\times CM}=\frac{DM}{CM}.\]

برای سادگی،‌ قرار می‌دهیم \(AB=2x\). در ادامه، طول \(DM\) و \(BM\) را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم.

به‌سادگی می‌توانیم اندازهٔ زاویه‌های مثلث‌های \(ADM\) و \(BCM\) را به‌دست آوریم:

بنابراین، \(BM=x\) و \(AM=\sqrt{3}\,x\). (چرا؟)

در نتیجه، \(CM=\frac{1}{2}x\) و \(DM=\frac{3}{2}x\).

پس:\[\frac{DM}{CM}=\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{1}{2}x}=3.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر برای سادگی قرار دهیم \(\widehat{B}=x\)، آن‌وقت می‌توان اندازهٔ هریک زاویه‌های دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) را برحسب \(x\) نوشت:

(چرا؟)

بنابراین، چون مثلث \(AEF\) متساوی‌الاضلاع است، پس دو زاویهٔ \(CEF\) و \(CFE\) برابرند.

(چرا؟)

(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(B\widehat{M}S=59^\circ\). (چرا؟)

\(C\widehat{N}S=59^\circ\). (چرا؟)

بنابه فرض مسئله، \(\widehat{C}=\widehat{S}\). برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\widehat{C}=\widehat{S}=x.\]
چون مجموع زاویه‌های داخلی هر پنج‌ضلعی برابر \(540\) درجه است. پس \(\alpha=62^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. آیا چهارضلعی \(AMSN\) لوزی است؟ چرا؟

ابتدا رئوس شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

چهارضلعی $DEFB$ را در نظر بگیرید. بنابه قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[D\widehat{B}F=\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\quad (1)\]
از طرفی، دو زاویهٔ $DBF$ و $ABC$ متقابل‌به‌رأس هستند؛ پس
\[A\widehat{B}C=D\widehat{B}F\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) و اینکه مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر ۱۸۰ درجه است، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{B}F+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow \big(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\big)+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط \(AD\) را (از طرف \(A\)) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(P\) به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ \(N\) روی پاره‌خط \(AB\) داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]
(چرا؟)

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) بیابیم به‌طوری‌که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از \(C\) به \(P\) پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(N\) می‌نامیم. در این حالت، \(CN+DN\) کوتاهترین کابل است. (چرا؟)

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر \(\sqrt{181}\) است. (چرا؟)

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) وجود دارد که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

۱. تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

۲. مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)

ابتدا شکل داده شده را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.
چهارضلعی $EFGH$ مربع است. (چرا؟)

برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}A\widehat{E}F&=w\quad (2)\\D\widehat{E}H&=z.\quad (3)\end{aligned}\]
دراین‌صورت داریم:
\[w+z=90^\circ\quad (4)\]
(چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}E\widehat{F}A&=z\quad(5)\\E\widehat{H}D&=w.\quad (6)\end{aligned}\]
(چرا؟)

پس دو مثلث $AEF$ و $DHE$ در حالت زض‌ز هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

بنابراین:
\[y=\sqrt{41}\quad (*)\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

مطابق شکل زیر، محل برخورد قطرهای چهارضلعی $ABCD$ را $E$ می‌نامیم و برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[AE=x,\;BE=y,\;CE=w,\;DE=z\]

اگر مقدار $x^2+z^2$ را داشته باشیم، آنگاه می‌توانیم مقدار $DA$ را به‌دست آوریم. (چرا؟)

پس $DA^2=1$ و در نتیجه $DA=1$.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

اگر زاویه‌ها را به‌صورت زیر نشان دهیم، آنگاه باید مقدار $x+y+z+a+b+c$ را بیابیم.

در چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، بنابه قضیهٔ دندان کوسه و قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس، اندازهٔ زاویه‌های آبی‌رنگ برابر است با \(a+b+c\).

چون مجموع زاویه‌های چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، برابر \(360\) درجه است، پس:\[a+b+c+y+x+z=360^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

مجموع زاویه‌های مشخص شده در شکل زیر چند درجه است؟

۱) \(180\) درجه
۲) \(270\) درجه
۳) \(360\) درجه
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله، مشابه تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، و همچنین مشابه تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ و تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ (هشتم)

۸. ۶. ۳. ۲۰. در شکل زیر، $\widehat{B}=120^\circ$ و مثلث $ACD$ متساوی‌الاضلاع است.

ثابت کنید:
الف) پاره‌خط $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $B$ است.
ب) $BD=AB+BC$.

راهنمایی: $BC$ را از طرف $B$ به اندازهٔ $AB$ امتداد دهید و نقطه انتها را $E$ بنامید. سپس ثابت کنید دو مثلث $ABD$ و $AEC$ هم‌نهشت‌اند.

راهنمای حل

همان‌طور که در راهنماییِ مسئله گفته شده است عمل کنیم. در زیر، شکلِ راه‌حل را دوبار رسم کرده‌ایم تا مثلث‌هایی که می‌خواهیم هم‌نهشتیِ آنها را ثابت کنیم، واضح‌تر دیده شوند.

مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۹. ۳. ۵. ۱۵ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۷. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ دایره‌ای را به سه کمان برابر تقسیم کرده‌اند و $M$ نقطه‌ای دلخواه روی کمان $AC$ است. ثابت کنید وتر $MB$ با مجموع وترهای $MA$ و $MC$ برابر است.

راهنمای حل

سه کمان $AB$، $AC$، و $BC$ برابرند. پس:
\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.\quad (1)\]

بنابراین:
\[A\widehat{M}B=C\widehat{M}B=60^\circ.\quad (2)\]
(چرا؟)

وتر $CM$ را (از طرف $M$) به‌اندازهٔ $MA$ امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. مثلث $AMD$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

بنابراین، دو مثلث $ABM$ و $ACD$ هم‌نهشت هستند. (چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}&CD=BM\\&\Rightarrow CM+MD=BM\\&\Rightarrow CM+MA=BM.\end{aligned}\]

راهنمای حل (۲)

نقشهٔ راه. نقطهٔ \(N\) را طوری روی \(MB\) انتخاب می‌کنیم که \(MN=MC\). در نتیجه مثلث \(CMN\) متساوی‌الاضلاع است. حال می‌توان ثابت کرد که دو مثلث \(ACM\) و \(BCN\) در حالت ززض همنهشت‌اند. پس \(BN=AM\) و در نتیجه \(AM+CM=BM\).

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۱۵ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۱۵. در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=120^\circ$. روی نیم‌ساز زاویهٔ $A$ نقطهٔ $D$ طوری انتخاب شده است که $AD=AB+AC$. اندازهٔ زاویه‌های مثلث $BDC$ چقدر هستند؟

راهنمای حل

ضلع $AC$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ $AB$ امتداد می‌دهیم و نقطهٔ حاصل را $E$ می‌نامیم.

چون بنابه فرض مسئله $B\widehat{A}C=120^\circ$، پس در مثلث $ABE$ داریم:

\[AB=AE, B\widehat{A}E=60^\circ.\]

در نتیجه مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است(؟).
دو مثلث $ABD$ و $EBC$ در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

راهنمای حل

هر سه عبارت نادرست است. تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵

۹. ۳. ۷. ۴. الف) آیا در دو چندضلعی زیر، می‌توان اضلاع را طوری دوبه‌دو نظیر یکدیگر قرار داد که نسبت همهٔ اضلاع متناظر برابر باشند؟ یا به‌عبارتِ‌دیگر اضلاع متناظر متناسب باشند؟

ب) فرض کنید $n>3$. روشی برای رسم دو $n$-ضلعی که اضلاع متناظرشان متناسب باشند ولی دو چندضلعی متشابه نباشند، ارائه دهید.

راهنمای حل

الف) ابتدا اندازهٔ هریک از ضلع‌های دو چندضلعی داده شده را به‌دست می‌آوریم.
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی صورتی را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[1,\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2},2,\sqrt{5}.\]
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی سبز را نیز از کوچک به‌بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[2, 2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2},4,2\sqrt{5}.\]
می‌توان اضلاع این دو شش‌ضلعی را طوری دوبه‌دو نظیر کرد که نسبت اضلاع نظیر شده، برابر باشند:
\[\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.\]

ب) یک $n$ضلعیِ محدب در نظر بگیرید و یکی از رأس آن را $A$ بنامید. رأس $A$ به دو رأس دیگر متصل است؛ این دو رأس را $B$ و $C$ بنامید. فرض کنید این $n$ضلعی محدب طوری رسم شده باشد که اگر $A$ را نسبت به قطر $BC$ قرینه کنیم نقطهٔ حاصل درون $n$ضلعی باشد. قرینهٔ $A$ نسبت به $BC$ را $A'$ می‌نامیم. اگر از $n$ضلعی محدب رأس $A$ را حذف کنیم و به‌جای آن رأس $A'$ را اضافه کنیم، یک $n$ضلعی مقعر به‌دست می‌آید. این $n$ضلعی مقعر و $n$ضلعیِ محدبی که در ابتدا رسم کردیم، شرایط مسئله را دارند ولی متشابه نیستند. برای مثال، شکل‌ زیر را ببینید.

چون $AC$ و $AD$ قطر هستند، پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی زاویه‌های $ABC$ و $ABD$ قائمه‌اند. بنابراین نقطه‌های $B$، $C$ و $D$ روی یک خط راست قرار دارند.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

مسئلهٔ‌ مشابه

تمرین ۱۴ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

ادعای اول درست است. (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&7.34\times10^{22}+5.9736\times10^{24}\\&=0.0734\times10^{24}+5.9736\times10^{24}\\&=\big(0.0734+5.9736\big)\times10^{24}\\&=6.0470\times10^{24}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ است.

\[\begin{aligned}27^{12}&=\big(9\times3\big)^{12}\\&=9^{12}\times3^{12}\\&=9^{12}\times\big(3^2\big)^6\\&=9^{12}\times9^6\\&=9^{18}\\&=\big(9^9\big)^2.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

چون:
\[\begin{aligned}a&=4^{3^2}=4^9=\big(2^2\big)^9=2^{18}\\b&=27^7=\big(3^3\big)^7=3^{21}=3\times3^{20}\\c&=\big(-5^4\big)^5=(-1)^5\big(5^4\big)^5=-5^{20}\\d&=3^2\times64^3=3^2\times\big(2^6\big)^3=3^2\times2^{18}\end{aligned}\]
پس:
\[c < a < d < b.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

ابتدا \(B\) و \(C\) را نیز به‌صورت نماد علمی می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}B&=0.9\times10^{-9}=9\times10^{-10}\\C&=0.8\times10^5=8\times10^4.\end{aligned}\]
حال، به‌سادگی می‌توان چهار عدد داده شده را مقایسه کرد.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\((-3)^{-4}\) مثبت است. (چرا؟)

\((-4)^{-3}\) منفی است. (چرا؟)

\(-3^{-4}\) منفی است. (چرا؟)

\(4^{-3}\) مثبت است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\\&3\times10^{-5} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}.\end{aligned}\] در نتیجه: \[m\in\{-4,-3,-2,-1\}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\(A=5^{51}\). (چرا؟)

\(B<0\). (چرا؟)

\(C=8068\). (چرا؟)

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

اگر $a^b$ را به‌صورت $a^\wedge b$ نشان دهیم، این مسئله راحت‌تر حل می‌شود.
\[\begin{aligned}&((2^\wedge3)^\wedge4)^\wedge5=\Big(\big(2^3\big)^4\Big)^5=2^{3\times4\times5}\\&(2^\wedge(3^\wedge4))^\wedge5=\Big(2^{\big(3^4\big)}\Big)^5=2^{{3^4}\times5}\\&2^\wedge(3^\wedge(4^\wedge5))=2^{\bigg(3^{(4^5)}\bigg)}=2^{3^{4^5}}\\&2^\wedge((3^\wedge4)^\wedge5)=2^{\bigg(\big(3^4\big)^5\bigg)}=2^{3^{20}}\\&(2^\wedge3)^\wedge(4^\wedge5)=\big(2^3\big)^{\big(4^5\big)}=2^{3\times4^5}\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۰ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

\[\begin{aligned}&-33\times\big|3^2-10.\overline{72}\big|\\&=-33\times\big|9-(10+0.\overline{72})\big|\\&=-33\times\Big|9-10-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-1-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{171}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{57}{33}\Big|\\&=-33\times\frac{57}{33}\\&=-57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(\dfrac{\big(-\frac{3}{5}\big)^{-2}\times\frac{18}{25}}{(0.1)^3\times\big(-2^{-3}\big)}\in\mathbb{Z}\). (چرا؟)

\(\frac{-4^{-2}\times\frac{7}{3}}{16^{-1}\div\big(\frac{-3}{8}\big)}\in\mathbb{Q}\). (چرا؟)

\(\frac{-\sqrt{4.5}\times\big(\frac{1}{5}\big)^{-2}}{-3^3\times\sqrt{2}}\not\in\mathbb{Q'}\). (چرا؟)

برای هر چهار مورد می‌توان مثال آورد. (چگونه؟)

\(\sqrt{27}+1\) بین \(6\) و \(7\) است. (چرا؟)

\(-1+\sqrt{68}\) بین \(7\) و \(8\) است. (چرا؟)

\[\begin{aligned}&\sqrt{x^2}+\sqrt{(x+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{\sqrt{3}^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\Big(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{1024}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{8\times2}-\sqrt[3]{512\times2}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{2^3\times2}-\sqrt[3]{2^9\times2}\Big)^3\\&=\Big(2\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{2}\Big)^3\\&=\big(-6\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times\big(\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times2.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

گزینه‌های ۱ و ۲ نادرست هستند. زیرا: \[\sqrt{(-a)^2}=|-a|.\]
از طرفی، چون
\[\sqrt[3]{(-a)^3}=-a\]
پس گزینهٔ ۴ نیز نادرست است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[x^2=5\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{5}\\&x=-\sqrt{5}.\end{aligned}\right.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&2\sqrt[3]{A}=\frac{2}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt[3]{A}=\frac{1}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\sqrt[3]{A}\big)^3=\big(\frac{1}{3}\big)^3\\[7pt]&\Rightarrow A=\frac{1}{3^3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\frac{1}{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{147}+\sqrt{48}}{-3\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\). (چرا؟)

\(A=-3+\sqrt{5}\). (چرا؟)

اگر \(a>0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{(a+1)^2}\times(-2^3)}{\sqrt[3]{8(a+1)^{-1}}\times\sqrt{a+1}}=-2\sqrt{a+1}.\end{aligned}\]
(چرا؟)

اگر \(x < 0\)، آن‌وقت:
\[\Big|24-3|2x-7|+\sqrt[3]{-27x^3}\Big|=-3x-3.\]
(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(x\) منفی باشد، آن‌وقت:
\(\bullet\) \(\sqrt[3]{x}\) منفی است؛ زیرا ریشهٔ سوم هر عدد منفی، عددی منفی است.
\(\bullet\) \(-x^{-1}\) مثبت است؛ زیرا: \[-x^{-1}=-\,\frac{1}{\underbrace{x}_{<0}}>0.\]
\(\bullet\) \(-x^2\) منفی است؛ زیرا: \[-\,\underbrace{x^2}_{>0}<0.\] \(\bullet\) \(\frac{x}{|x|}\) منفی است؛ زیرا:\[\frac{\overbrace{x}^{<0}}{\underbrace{|x|}_{>0}}<0.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}2a^3 < 0&\Rightarrow a^3 < 0\\&\Rightarrow a < 0\\&\Rightarrow|a|=-a.\quad (*)\end{aligned}\]
بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}+\dots+\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}\big)+\big(\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}\big)+\dots+\big(\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}\big)+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(|a|+a\big)+\big(|a|+a\big)+\dots+\big(|a|+a\big)+|a|\\&=\big((-a)+a\big)+\big((-a)+a\big)+\dots+\big((-a)+a\big)+(-a)\\&=-a.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[\begin{aligned}&\frac{3\sqrt[3]{16}-\big|-2\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{-250}\big|}{\sqrt[3]{108}}\\[7pt]&=\frac{3\sqrt[3]{8\times2}-\big|-2\sqrt[3]{64\times2}-\sqrt[3]{-125\times2}\big|}{\sqrt[3]{27\times4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-\big|-8\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}\big|}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-\big|-3\sqrt[3]{2}\big|}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{3\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{4}}\times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{81\times8\times5}=3\times2\times\sqrt[3]{3\times5}=6\sqrt[3]{15}\\&\sqrt{50\times49}=\sqrt{2\times5^2\times7^2}=35\sqrt{2}\\&\sqrt[3]{9^2\times11^4}=\sqrt[3]{3^4\times11^4}=33\sqrt[3]{33}\\&\sqrt{64\times242}=\sqrt{8^2\times2\times121}=88\sqrt{2}.\end{aligned}\]
چون
\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}\\&\Rightarrow \sqrt[3]{15} < 3\\&\Rightarrow6\sqrt[3]{15} < 18\end{aligned}\]
و واضح است سه عدد دیگر از \(18\) بزرگ‌ترند، پس \(6\sqrt[3]{15}\) از بقیهٔ اعداد داده شده کوچک‌تر است.
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پرسش. کدام عدد از بقیه بزرگ‌تر است؟

در همهٔ عبارت‌های بالا حاصل‌جمع مقدارهای زیر رادیکال، برابر \(41\) است:
\[\begin{aligned}24+17&=41\\18+23&=41\\19+22&=41\\20+21&=41.\end{aligned}\]
گزاره. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد طبیعی باشند و \(a+b=c+d\). اگر \(ab>cd\)، آن‌وقت \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}\). (چرا؟)

پرسش. عدد طبیعی \(n\) را در نظر بگیرید. فرض کنید برای اعداد طبیعی \(a\) و \(b\) داشته باشیم \(a+b=n\). بیشترین مقدار ممکن برای \(ab\) (برحسب \(n\)) چیست؟ چرا؟ (راهنمایی: تمرین ۷ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ ۱۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

برای اینکه صورت مسئله واضح‌تر شود، فرض کنید به‌جای عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$ داده شده باشد.
در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، نُه‌تا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز نیست. زیرا:
\[\begin{aligned}&\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}+\sqrt{9}+\sqrt{10}\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+2\sqrt{2}+3+\sqrt{10}\\&=6+3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش حاصل عددی عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، شش‌تا است.

در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$،  هفتادوچهارتا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامت جمع مورد نیاز نیست. زیرا می‌توان دسته‌های زیر را در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$، در نظر گرفت. (در همهٔ موارد زیر، $n$ عددی طبیعی است)

دستهٔ اول. هشت‌ عدد به‌صورت $n\sqrt{1}$ داریم، یا به‌عبارتِ‌دیگر، هشت عدد صحیح داریم. (چرا؟)

بنابه دسته‌بندی بالا و پاسخِ پرسش‌های ۱ و ۲، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش عددیِ عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، چهل‌و شش علامت جمع است؛ به‌عبارتِ‌دیگر، اگر $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کنیم، چهل‌وشش علامت جمع داریم.

بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۱ درست است. (چرا؟)

مثال برای حالت اول:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{2}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $a$ نزدیکتر از $c$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{4}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت دوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{6}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $c$ نزدیکتر از $a$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{36}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت سوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{5}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت فاصلهٔ $b$ از $a$ و $c$ برابر است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{25}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0 < a < b < c < 1$ و $b^2$ به $a^2$ نزدیکتر از $c^2$ است.

پس برای هر سه حالت مثال وجود دارد. بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.