دربارهٔ کسرهای مصری

درسنامهٔ مفصل کسرهای مصری به‌همراه مثال‌های و تمرین‌های متنوع، و ویدئوهای آموزشی، در سایت تکمیلی نوشته شده است. این درسنامه شامل پنج جلسه است:

جلسهٔ اول – تعریف کسر مصری تمرین‌های جلسهٔ‌ اول
جلسهٔ دوم – الگوریتم حریصانه تمرین‌های جلسهٔ‌ دوم
جلسهٔ سوم – فرمول کسر مصری با دو جمله تمرین‌های جلسهٔ‌ سوم
جلسهٔ چهارم – تمرین‌های گوناگون
جلسهٔ پنجم – مسئله‌های باز

در جلسهٔ پنجم درسنامهٔ کسر مصری، جدولی از کسرهای مختلف وجود دارد. به معلمان عزیز توصیه می‌کنیم که از این جدول برای طرح سؤالات مربوط به کسر مصری استفاده کنند.

توضیحاتی مختصر دربارهٔ کسرهای مصری

کسری با صورت $1$ و مخرج طبیعی را یک کسر واحد می‌نامند.
فرض کنید $0<\frac{m}{n}<1$. وقتی $\frac{m}{n}$ را به‌صورت مجموعی از کسرهای واحدِ متفاوت بنویسیم، به عبارت نوشته شده کسر مصری می‌گویند. برای مثال، عبارتِ
\[\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\]
کسر مصری است ولی عبارتِ
\[\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\]
کسر مصری نیست.

در مسئلهٔ ۱۳ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم چند مثال پراکنده و بی‌هدف از کسرهای مصری ارائه شده است؛ و توضیحات بیشتر به مقاله‌ای با عنوان کسرهای مصری در سایت www.webmath.ir ارجاع داده شده است. در مقالهٔ مذکور نیز به مسائل اساسی در کسرهای مصری پرداخته نشده است.

پرسش در کلاس ۱. هر کسر بین $0$ و $1$ را به چند روش می‌توان به‌صورت کسر مصری نوشت؟
راهنمایی. از روش حریصانه در مقالهٔ  کسرهای مصری و مثلث لایب‌نیتس کمک بگیرید.

در کسرهای مصری دو مسئلهٔ اساسی وجود دارد:
۱) برای $\frac{m}{n}$ داده شده، تعداد کسرهای واحد به‌کار رفته در کسر مصری، کمترین تعداد ممکن باشد.
برای مثال، تعداد کسرهای واحد در کسر مصریِ
\[\frac{21}{32}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{75}+\frac{1}{16800}\]
چهارتا است ولی تعداد کسرهای واحد در کسر مصریِ
\[\frac{21}{32}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}\]
سه‌تا است.

۲) اگر در کسر مصری، کسرهای واحد را از بزرگ به کوچک مرتب کنیم، مخرج کوچک‌ترین کسر واحد تا حد ممکن کوچک باشد.
برای مثال، مخرج کوچک‌ترین کسر واحد در کسر مصریِ
\[\frac{3}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\]
برابر $20$ است. ولی مخرج کوچک‌ترین کسر واحد در کسر مصریِ
\[\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\]
برابر $10$ است.

در ادامه می‌خواهیم ببینیم چه کسرهایی را می‌توان به‌صورت مجموع $2$تا کسر واحد نوشت.

برای ساختن کسرهای مصری می‌توانید از ماشین‌حساب‌های آنلاین کسرهای مصری استفاده کنید.

ماشین‌حساب کسر مصری

سپس سعی کنید برای هریک از خاصیت‌های گفته شده در زیر روشی برای ساختن کسرهای مصری بیابید.

پرسش در کلاس ۲. نشان دهید که اگر عدد طبیعی $n$ شمارندهٔ اولی داشته باشد که باقی‌ماندهٔ تقسیم این شمارنده بر $3$ برابر $2$ باشد، آنگاه $\frac{3}{n}$ را می‌توان به‌صورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت.
برای مثال، اگر $n=77$، آنگاه چون $77=7\times 11$ و باقی‌مانده $11$ بر $3$ برابر $2$ است، پس می‌توان $\dfrac{3}{77}$ را به‌صورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت:
\[\frac{3}{77}=\frac{1}{42}+\frac{1}{66}\]

پرسش در کلاس ۳. نشان دهید که اگر عدد طبیعی $n$ شمارندهٔ اولی داشته باشد که باقی‌ماندهٔ تقسیم این شمارنده بر $4$ برابر $3$ باشد، آنگاه $\frac{4}{n}$ را می‌توان به‌صورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت.
برای مثال، اگر $n=55$، آنگاه چون $55=5\times 11$ و باقی‌مانده $11$ بر $4$ برابر $3$ است، پس می‌توان $\dfrac{4}{55}$ را به‌صورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت:
\[\frac{4}{55}=\frac{1}{20}+\frac{1}{44}\]

پرسش در کلاس ۴. نشان دهید که اگر عدد طبیعی $n$ شمارندهٔ اولی داشته باشد که باقی‌ماندهٔ تقسیم این شمارنده بر $6$ برابر $5$ باشد، آنگاه $\frac{6}{n}$ را می‌توان به‌صورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت.
برای مثال، اگر $n=55$، آنگاه چون $55=5\times 11$ و باقی‌مانده $11$ بر $6$ برابر $5$ است، پس می‌توان $\dfrac{6}{55}$ را به‌صورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت:
\[\frac{6}{55}=\frac{1}{11}+\frac{1}{55}\]

پرسش در کلاس ۵. دربارهٔ اینکه چه کسرهایی را می‌توان به‌صورت مجموع سه کسر واحد متفاوت نوشت، تحقیق کنید.

پرسش در کلاس چیست؟