پرسش. آیا \(-2\)، \(4\)، و \(-8\) میتوانند سه جمله از یک دنبالهٔ هندسی باشند؟
مثال ۲. ثابت کنید که اگر \(a\)، \(m\)، و \(b\) سه جملهٔ متوالی یک دنبالهٔ هندسی باشند، آنگاه \[m^2=ab.\](یا به‌عبارت دیگر، ثابت کنید که \(m\) واسطهٔ هندسی \(a\) و \(b\) است.)
فرض کنیم جملهٔ اول این دنبالهٔ هندسی برابر \(t_1\) و قدرنسبت آن برابر \(r\) باشد. در اینصورت اگر \(a=t_1r^k\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}m&=t_1r^{k+1}\\b&=t_1r^{k+2}\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}m^2&=\big(t_1r^{k+1}\big)^2\\[6pt]&=t_1^2r^{2k+2}\\[6pt]&=\big(t_1r^{k}\big)\big(t_1r^{k+2}\big)\\[6pt]&=ab.\end{aligned}\]
چون\[\begin{aligned}8^2&=4\times16\\&=2\times32\\&=1\times64\end{aligned}\] پس جملهٔ چهارم این دنباله، وسطهٔ هندسی جمله‌های سوم و پنجم، دوم و ششم، و اول و هفتم است.
مثال ۴. جمله‌های سوم و یازدهم یک دنباله هندسی کاهشی به‌ترتیب \(96\) و \(54\) است. جملهٔ هفتم این دنباله را بیابید. (در دنبالهٔ هندسی کاهشی، هر جمله از جملۀ قبلش کوچکتر است.)
در این مسئله، میتوانیم جملهٔ اول و قدرنسبت دنباله را بهدست آوریم و با استفاده از آنها جملهٔ هفتم را بیابیم. اما این کار را نمیکنیم!
فرض کنیم جملهٔ عمومی این دنباله \(t_n\) باشد. چون \(7\) میانگین دو عدد \(3\) و \(11\) است، پس \(t_7\) واسطهٔ هندسی \(t_3\) و \(t_{11}\) است.
بنابراین:
\[\begin{aligned}&t_7^2=t_3\times t_{11}\\&\Rightarrow t_7^2=54\times96\\&\Rightarrow t_7^2=(27\times2)\times(32\times3)\\&\Rightarrow t_7^2=81\times64\\&\Rightarrow t_7=\pm\sqrt{81\times64}\\&\Rightarrow t_7=\pm9\times8\\&\Rightarrow t_7=\pm72.\end{aligned}\] چون جمله‌های دنبالهٔ \(t_n\) کاهشی هستند، پس \(t_7\) نمیتواند برابر \(-72\) باشد. پس:
\[t_7=72.\]
پرسش. اگر جمله‌های دنبالهٔ \(t_n\) کاهشی نبودند، آیا \(t_7\) میتوانست برابر \(-72\) شود؟
مثال ۵. در هر دنبالهٔ هندسی، مانند $t_n$، ثابت کنید:
الف) اگر $p+q=i+j$، آن‌وقت $t_p\times t_q=t_i\times t_j$.
فرض کنیم جمله‌های این دنبالهٔ هندسی به‌صورت زیر باشند:
\[3,x,y,z,48,\dots.\]
می‌دانیم:
\[3\times48=y^2=xz.\quad(\star)\]
پس:
\[\begin{aligned}&y^2=3\times48\\&\Rightarrow y^2=144\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}y&=12\\y&=-12.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(y=12\)، آن‌وقت در دنبالهٔ
\[3,x,12,z,48,\dots\]
\(x\) واسهٔ هندسی \(3\) و \(12\)، و \(z\) واسطهٔ هندسی \(12\) , \(48\) است. پس داریم:
\[\begin{aligned}&x^2=3\times12\\&\Rightarrow x^2=36\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}x&=6\\x&=-6\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&z^2=12\times48\\&\Rightarrow z^2=(2^2\times3)\times(2^4\times3)\\&\Rightarrow z^2=2^6\times3^2\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}z&=2^3\times3=24\\z&=-2^3\times3=-24.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
از طرفی، با توجه به رابطهٔ \((\star)\)، \(x\) و \(z\) باید هم‌علامت باشند. پس در این حالت دو جواب داریم:
\[\begin{aligned}&3,6,12,24,48,\dots\\&3,-6,12,-24,48,\dots.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(y=-12\) آن‌وقت در دنبالهٔ
\[3,x,-12,z,48,\dots\]
\(x\) واسهٔ هندسی \(3\) و \(-12\)، و \(z\) واسطهٔ هندسی \(-12\) و \(48\) است. پس داریم:
\[x^2=-12\times3,\;z^2=-12\times48.\]
چون معادله‌های بالا جواب حقیقی ندارند، پس در حالت \(y=-12\)، این مسئله جواب حقیقی ندارد.
