نهم. فصل ۳. قضیهٔ خطوط موازی و مورب و عکس آن

قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

---

فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورده است.
حکم. $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

---

اثبات. از برهان خلف استفاده می‌کنیم.
فرض کنیم زاویه‌های \(A_1\) و \(B_1\) برابر نباشند. پس یکی از آنها از دیگری بزرگ‌تر است. فرض کنیم زاویهٔ \(B_1\) از زاویهٔ \(A_1\) بزرگ‌تر باشد. در این‌صورت می‌توانیم، مطابق شکل زیر، زاویهٔ \(XBA\) را برابر با زاویهٔ \(A_1\) جدا کنیم.

توجه کنید که \(X\) نمی‌توند روی خط \(\ell_1\) باشد. (چرا؟)

می‌دانیم که از هر نقطهٔ بیرون از یک خط فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. پس \(XB\) موازی \(\ell_2\) نیست.
پس امتداد \(ٓXB\) خط \(\ell_2\) را قطع می‌کند. محل برخورد \(XB\) و \(\ell_2\) را \(Y\) می‌نامیم.

زاویهٔ \(A_1\)، زاویهٔ خارجی مثلث \(ABY\) است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری) داریم:
\[\widehat{A}_1 > ِY\widehat{B}A.\]
اما فرض کرده بودیم که \(Y\widehat{B}A\) (یا همان \(X\widehat{B}A\)) با \(\widehat{A}_1\) برابر است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه \(A_1\) با \(B_1\) برابر است.

---

پرسش. مسعود اثباتی برای قضیهٔ بالا نوشته است. تفاوت اثبات مسعود با اثبات بالا فقط در انتهای آن (نوشتهٔ قرمز رنگ) است. او انتهای اثبات را این‌گونه نوشته است:

زاویهٔ \(A_1\)، زاویهٔ خارجی مثلث \(ABY\) است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=Y\widehat{B}A+A\widehat{Y}B\\&\Rightarrow\widehat{A}_1 > Y\widehat{B}A.\end{aligned}\]اما فرض کرده بودیم که \(Y\widehat{B}A\) (یا همان \(X\widehat{B}A\)) با \(\widehat{A}_1\) برابر است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه \(A_1\) با \(B_1\) برابر است.

چرا استدلال مسعود نادرست است؟ 

---

عکس قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ پدید آیند به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.

---

فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ پدید آورده است به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.
حکم. خط‌های $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.

---

اثبات. از برهان خلف استفاده می‌کنیم.
فرض کنیم \(\ell_1\) و \(\ell_2\) موازی نباشند. پس این دو خط یکدیگر را در نقطه‌ای مانند \(D\) قطع می‌کنند.

نقطهٔ \(E\) را روی \(\ell_1\) چنان انتخاب می‌کنیم که \(BE=AD\).

از \(A\) به \(E\) وصل می‌کنیم و برای سادگی، زاویه‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

دو مثلث \(ABD\) و \(ABE\) در حالت ض‌ز‌ض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABD\) و \(ABE\) نتیجه می‌شود: \[\widehat{A}_2=\widehat{B}_2.\quad(1)\] پس داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{B}_1\quad\text{فرض مسئله}\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_2\quad(1)\\&\widehat{B}_1+\widehat{B}_2=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}_1+\widehat{A}_2=180^\circ.\quad(2)\]

چون \(\widehat{A}_1+\widehat{A}_2+\widehat{A}_3=180^\circ\)، پس مجموع زاویه‌های \(A_1\) و \(A_2\) کمتر از \(180\) درجه است. یعنی رابطهٔ \((2)\) نادرست است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه، \(\ell_1\) و \(\ell_2\) موازی‌اند.