نهم. فصل ۳. قضیهٔ فیثاغورس و عکس آن

قضیه فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.

عکس قضیه فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد،‌ آن مثلث قائم‌الزاویه است.

---

فرض. مثلثی، مانند \(ABC\)، یک زاویهٔ قائمه، مانند زاویهٔ \(C\)، دارد.
حکم. \(AB^2=AC^2+BC^2\).

در عکس قضیه، جای فرض و حکم عوض می‌شود.

---

اثبات قضیهٔ فیثاغورس. فرض کنیم \(ABC\) یک مثلث قائم‌الزاویه باشد که \(\widehat{C}=90^\circ\) و اضلاع زاویه‌های حادهٔ آن به‌صورت زیر نام‌گذاری شده باشند.

می‌خواهیم ثابت کنیم که \(a^2+b^2=c^2\).

مربعی به ضلع \(a+b\) رسم می‌کنیم و مطابق شکل زیر، هر ضلع آن را به دو قسمت با اندازه‌های \(a\) و \(b\) تقسیم می‌کنیم.

واضح است که مساحت مربع \(DEFG\) برابر است با: \[\begin{aligned}S_{DEFG}&=(a+b)^2\\&=a^2+b^2+2ab.\quad(1)\end{aligned}\]

در شکل، نقاط روی ضلع‌های \(DE\)، \(EF\)، \(FG\)، و \(GD\) را به‌ترتیب \(M\)، \(N\)، \(P\)، و \(Q\) می‌نامیم. حال، اگر چهارضلعی \(MNPQ\) را رسم کنیم، چهار مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود که بنابه حالت ض‌ز‌ض، هریک از آنها با مثلث \(ABC\) همنهشت است(؟). در نتیجه، اندازهٔ وتر هریک از این مثلث‌های قائم‌الزاویه برابر \(c\) است و اندازهٔ زاویه‌های حادهٔ آنها به‌صورت زیر است.

اکنون به‌سادگی می‌توان نشان داد که چهارضلعی \(MNPQ\) مربع است. (چگونه؟)

پس مساحت مربع \(DEFG\) از مجموع مساحت چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ همنهشت و یک مربع به ضلع \(c\) نیز به‌دست می‌آید: \[\begin{aligned}S_{DEFG}&=4\Big(\frac{1}{2}ab\Big)+c^2\\[7pt]&=2ab+c^2.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&a^2+b^2+2ab=2ab+c^2\\&\Rightarrow a^2+b^2=c^2.\end{aligned}\]

---

اثبات عکس قضیهٔ فیثاغورس. فرض کنید در مثلث \(ABC\) داشته باشیم، \(AB^2+AC^2=BC^2\). می‌خواهیم ثابت کنیم که \(\widehat{A}=90^\circ\).

یک زاویهٔ قائمه رسم می‌کنیم و آن را \(\widehat{A’}\) می‌نامیم. روی ضلع‌های این زاویه، نقاط \(B’\) و \(C’\) را طوری انتخاب می‌کنیم که \(A’B’=AB\) و \(A’C’=AC\).

در این‌صورت \[BC=B’C’.\quad(1)\] (چرا؟)

در نتیجه، دو مثلث \(ABC\) و \(A’B’C’\) در حالت ض‌ض‌ض همنهشت هستند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABC\) و \(A’B’C’\) نتیجه می‌شود: \[\widehat{A}=\widehat{A^\prime}=90^\circ.\]